سری

الف. سریهای توانی

مسئله: ثابت کنید $1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots = \frac{1}{1 - x}$

راهنما

مجموع یک دنباله هندسی (تصاعد هندسی) را به خاطر بیاورید: $a + a q + a q^{2} + \dots + a q^{n - 1} = \frac{a (1 - q^{n})}{1 - q}$

مسئله: مجموع $1 + a \cos θ + a^{2} \cos 2 θ + a^{3} \cos 3 θ + \dots$

راهنما

توجه کنید که $(e^{i θ})^{n} = \cos n θ + i \sin n θ$ .

ب. جمعبندی با انتگرالگیری و مشتقگیری

سری زیر را در نظر بگیرید $1 (x) - \frac{1}{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} (x^{3}) - \frac{1}{4} (x^{4}) + \dots = S (x)$

توضیح

این خط یک سری نامتناهی را به عنوان یک تابع تعریف میکند که آن را S(x) مینامیم. این نوع سری که شامل توانهایی از x است، به عنوان سری توانی شناخته میشود. هدف یافتن یک تابع رایجتر (مانند sin(x) یا ln(x)) است که با این مجموع نامتناهی برابر باشد.

توضیح

در اینجا، شما مشتق سری S(x) را جمله به جمله گرفتهاید.

مشتق x برابر با 1 است.
مشتق -(1/2)x² برابر با -x است.
مشتق (1/3)x³ برابر با x² است.
گرفتن مشتق اغلب یک سری را به یک الگوی قابل تشخیصتر ساده میکند. نتیجه با S’(x)، مشتق S(x)، برچسبگذاری شده است.

توضیح

این مرحله تشخیص میدهد که سری جدید (1 - x + x² - …) یک الگوی شناختهشده به نام سری هندسی است. فرمول یک سری هندسی a / (1 - r) است، که در آن a جمله اول و r نسبت مشترک است. در این مورد، جمله اول a=1 و نسبت r = -x است. با قرار دادن این مقادیر در فرمول، 1 / (1 - (-x)) به دست میآید که به 1 / (1+x) ساده میشود.

$S (x) = \ln (1 + x) + C$

توضیح

برای بازگشت به تابع اصلی S(x) از مشتق آن S’(x)، باید عمل مخالف مشتقگیری یعنی انتگرالگیری را انجام دهید. انتگرال 1 / (1+x) برابر با ln(1+x) است. هر زمان که یک انتگرال نامعین پیدا میکنید، باید یک ثابت انتگرالگیری را که به صورت + C نوشته میشود اضافه کنید، زیرا مشتق هر ثابتی صفر است.

ثابت را برای $x = 0$ ارزیابی کنید $S (0) = \ln 1 + C$ $0 = 0 + C$

توضیح

در سمت راست، میدانیم که ln(1) = 0.
در سمت چپ، x=0 را در اولین خط یادداشتهای خود قرار میدهیم: S(0) = 1(0) - (1/2)(0)² + …. هر جمله صفر میشود، بنابراین S(0) = 0.
این معادله ساده 0 = 0 + C را به ما میدهد، که به این معنی است که C باید 0 باشد.

$S (1) = \ln 2 = .69315$

[از حسابان، قضیه زیر را به خاطر بیاورید: ]

همگرایی: آزمون نسبت اگر $lim_{n \to \infty} x_{n + 1} / x_{n} < 1$ باشد، سری همگرا است.

ج. جمعپذیری آبل.

سری $1 - 2 + 3 - \dots$ را در نظر بگیرید. آن را به صورت زیر به یک سری توانی در x تبدیل کنید: $S (x) = 1 - 2 x + 3 x^{2} - \dots$ این سری توانی را جمع بزنید: $\int S (x) d x = x - x^{2} + x^{3} - \dots = \frac{x}{1 + x}$ $S (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{1 + x}) = \frac{1}{(1 + x)^{2}}$ جمع آبل سری اصلی به صورت $lim_{x \to 1} S (x)$ تعریف میشود $جمع آبل = lim_{x \to 1} [\frac{1}{(1 + x)^{2}}] = \frac{1}{4}$ به طور کلی، سریهای نوسانی را میتوان جمع زد، اما ترتیب جملات نباید تغییر کند.

توضیح

در حالی که سری $1 - 2 + 3 - \dots$ به معنای معمول واگرا است، از نظر آبل جمعپذیر به $\frac{1}{4}$ است. این مفهوم متفاوتی از همگرایی است که بر اساس گرفتن حد یک سری توانی مرتبط به هنگام $x \to 1^{-}$ است. برای جزئیات بیشتر، به جمعپذیری آبل مراجعه کنید.

د. جمعبندی سریها با انتگرالگیری و مشتقگیری.

$S = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \dots$

توضیح

این سری نامتناهی است که میخواهیم آن را درک کنیم یا احتمالاً مجموع آن را بیابیم. این مجموع معکوس مربعهای کامل است که میتوان آن را به صورت $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ نوشت. این سری خاص به عنوان مسئله بازل شناخته میشود و مجموع آن به طور معروف $\frac{π^{2}}{6}$ است.

$S (x) = x + x^{2} / 4 + x^{3} / 9 + \dots$

توضیح

برای استفاده از حسابان، مجموع را به یک تابع سری توانی، $S (x)$ ، تبدیل میکنیم. توجه کنید که اگر $x = 1$ را در این تابع قرار دهید، سری اصلی $S$ را به دست میآورید. بنابراین، هدف یافتن یک عبارت بسته برای $S (x)$ و سپس ارزیابی آن در $x = 1$ است. این سری توانی خاص را میتوان به صورت $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}}$ نوشت.

توضیح

در اینجا، شما مشتق $S (x)$ را جمله به جمله گرفتهاید.

توضیح

این مرحله حیاتی است که در آن سری سادهشده را به عنوان یک تابع شناختهشده تشخیص میدهید. سری $1 + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{3} + \dots$ دقیقاً بسط $- \frac{\ln (1 - x)}{x}$ است.

(این از بسط سری تیلور $\ln (1 - x) = - x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} - \dots$ و سپس تقسیم بر $x$ به دست میآید. برای بسط $\ln (1 - x)$ به زیر مراجعه کنید.)

$S (x) = - \int \frac{\ln (1 - x)}{x} d x$

توضیح

برای بازگشت به تابع اصلی $S (x)$ از مشتق آن ، عمل ضدمشتقگیری (انتگرالگیری) را انجام میدهید. بنابراین، $S (x)$ انتگرال نامعین عبارتی است که برای یافتید.

باید سریهای عبارات زیر را دانست و تشخیص داد: (1) $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots$ (2) $- \ln (1 - x) = x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + \dots$ (3) $\tan^{- 1} x = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7} + \dots$ (4) $e^{x} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots$ (5) $\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots$ (6) $\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots$ (7) $\frac{1}{(1 + x)^{2}} = 1 - 2 x + 3 x^{2} - \dots$ (8) $\frac{1}{(1 + x)^{1 / 2}} = 1 - \frac{1}{2} x + \frac{3}{8} x^{2} - \frac{5}{16} x^{3} + \dots$ یک رابطه مفید $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$

مسئله: مجموع: $\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \dots$ $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots$

ه. جمعبندی سریها با افزودن جملات.

سری $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots$ را در نظر بگیرید. میتوانیم آن را به صورت زیر جمع بزنیم: 1.000+ .250 +.111 + .0625 + …

با گرفتن تعداد کافی جملات میتوانیم به هر دقت دلخواهی دست یابیم. اگر سری به کندی همگرا شود، گاهی اوقات میتوان جملات بالاتر را با یک انتگرال جایگزین کرد:

یک نمودار منحنی y=1/x² را با مستطیلهایی در زیر آن نشان میدهد که آزمون انتگرال برای همگرایی را نشان میدهد. ناحیه بین منحنی و بالای مستطیلها سایهزده شده است.

بررسی نمودار بالا نشان میدهد که $\frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \dots \approx \int_{2.5}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}}$ $\approx \frac{1}{2.5} = .4$ مجموع سری ما سپس 1.000+ .250 + .400 = 1.650 است

توضیح

در اینجا ما در تلاش برای یافتن مجموع سری هستیم: $S = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \dots = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$

دو روش برای یافتن این مجموع وجود دارد:

جمع مستقیم: روش اول این است که به سادگی شروع به افزودن جملات یکی یکی کنیم (1.000 + 0.250 + 0.111 + ...). ما توجه میکنیم که برای یک سری «کند همگرا»، این روش ناکارآمد است. برای به دست آوردن یک پاسخ دقیق باید هزاران جمله اضافه کنید.
تقریب انتگرالی: روش دوم و هوشمندانهتر این است که چند جمله اول را مستقیماً اضافه کنیم و سپس بقیه مجموع («دم» سری) را با یک انتگرال تقریب بزنیم. این کار به این دلیل مؤثر است که مجموع سری را میتوان به عنوان مساحت مجموعهای از مستطیلها تجسم کرد که میتوان آن را به دقت با مساحت زیر یک منحنی صاف تقریب زد.

** چرا انتگرال از 2.5 شروع میشود (با استفاده از نمودار)**

هسته این تکنیک تقریب مجموع «جملات بالاتر» با یک انتگرال است. در این مثال، نویسنده تصمیم میگیرد دو جمله اول را دقیقاً محاسبه کند و بقیه را تقریب بزند:

$S = \underset{دقیقاً محاسبه شده}{\underset{⏟}{1 + \frac{1}{4}}} + \underset{برای تقریب}{\underset{⏟}{(\frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \dots)}}$

این «دم» سری را میتوان به صورت زیر نوشت: $دم = \sum_{n = 3}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$

حال، بیایید به نمودار نگاه کنیم تا تقریب این دم را درک کنیم.

مستطیلها نشاندهنده مجموع هستند: نمودار تابع y = 1/x² را نشان میدهد. مستطیلها نشاندهنده جملات سری هستند.
- مستطیل در x=3 دارای عرض 1 و ارتفاع 1/3² = 1/9 است. مساحت آن 1/9 است.
- مستطیل در x=4 دارای عرض 1 و ارتفاع 1/4² = 1/16 است. مساحت آن 1/16 است.
- بنابراین، مجموع دم، 1/9 + 1/16 + ...، برابر با مساحت کل همه مستطیلها از x=3 شروع میشود است.
انتگرال نشاندهنده مساحت زیر منحنی است: انتگرال ∫(1/x²) dx مساحت زیر منحنی صاف y = 1/x² را محاسبه میکند.
یافتن بهترین تقریب: ما میخواهیم انتگرالی را پیدا کنیم که مساحت آن بسیار نزدیک به مساحت مستطیلها از x=3 به بعد باشد.
- اگر انتگرال را از x=3 شروع کنیم (یعنی ∫ از 3 تا ∞)، منحنی از زیر بالای مستطیلها عبور میکند. این به ما یک تخمین کمتر از مقدار واقعی میدهد.
- اگر انتگرال را از x=2 شروع کنیم (یعنی ∫ از 2 تا ∞)، منحنی از بالای مستطیلها عبور میکند. این به ما یک تخمین بیشتر از مقدار واقعی میدهد.
بنابراین ما x = 2.5 را به عنوان نقطه شروع انتخاب میکنیم. این یک انتخاب بسیار هوشمندانه بر اساس قانون نقطه میانی در تقریب است.
با شروع انتگرال از 2.5، شما فرض میکنید که مساحت مستطیل در x=3 به بهترین شکل با مساحت زیر منحنی در بازه [2.5, 3.5] تقریب زده میشود.
همانطور که در این نمودار بهبودیافته میبینید، مقدار کمی از مساحت که انتگرال در سمت چپ مستطیل از دست میدهد (ناحیه سفید با حاشیه قرمز) تقریباً به طور کامل توسط مساحت اضافی که انتگرال در سمت راست شامل میشود (ناحیه سایهدار) خنثی میشود.
این منطق به همه جملات دیگر نیز تعمیم مییابد. مساحت مستطیل در x=4 با انتگرال از 3.5 تا 4.5 تقریب زده میشود، و به همین ترتیب. بنابراین، کل مجموع دم با انتگرال شروعشونده از 2.5 تقریب زده میشود: $\sum_{n = 3}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \approx \int_{2.5}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x$

** محاسبه نهایی**

یادداشتها فرآیند را کامل میکنند:

محاسبه انتگرال: $\int_{2.5}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x = {[- \frac{1}{x}]}_{2.5}^{\infty} = (- \frac{1}{\infty}) - (- \frac{1}{2.5}) = 0 + \frac{1}{2.5} = 0.4$
جمع کردن اجزا: $S \approx 1 + 0.250 + 0.400 = 1.650$

این یک تقریب عالی است. مجموع واقعی این سری (مسئله بازل) به عنوان π²/6 ≈ 1.6449 شناخته میشود، بنابراین این روش ساده به طور قابل توجهی دقیق است.

از آنجایی که خطا عمدتاً در جملات اول خواهد بود، میتوان با نگاه کردن به بهترین تقریب بعدی، ایدهای از بزرگی آن به دست آورد: $\frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \dots \approx \int_{3.5}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}}$ $\approx .286$ مجموع جدید این است: 1.000+ .250 + .111 + .286 = 1.647 میبینیم که فقط خطایی به اندازه .003 مرتکب شدهایم. میتوانیم از این حدس بزنیم که رقم سوم احتمالاً حدود 6 است.