روشهای بیشتر در انتگرالگیری

الف. بررسی وجود انتگرال‌ها.

توضیح

بسیار خب، قبل از اینکه شروع به حل یک انتگرال پیچیده کنیم، باید یک سؤال اساسی بپرسیم: آیا اصلاً جواب متناهی دارد؟ یک انتگرال از صفر تا بی‌نهایت می‌تواند در دو مکان دچار مشکل شود: در نقطه شروع، $x = 0$ (یا در یک عدد متناهی)، اگر تابع به سمت بی‌نهایت برود، یا در انتها، $x = \infty$ ، اگر تابع به اندازه کافی سریع به صفر نرسد. ما باید هر دو «منطقه خطر» را بررسی کنیم. اگر در هر یک از دو انتها شکست بخورد، کل چیز بی‌نهایت است و می‌توانیم از تلف کردن وقت خود دست برداریم.

مثال: در نظر بگیرید: $\int_{0}^{\infty} e^{- a x} \frac{d x}{x}$ در نزدیکی 0 $\sim \int \frac{d x}{x} = \ln 0 + اعداد$ انتگرال بی‌نهایت است.

توضیح

بیایید به این مورد نگاه کنیم. اولین منطقه خطر را بررسی می‌کنیم: $x$ نزدیک صفر. وقتی $x$ عدد بسیار کوچکی است، $e^{- a x}$ چیست؟ آن $e$ به توان یک عدد خیلی کوچک است که عملاً برابر با $e^{0} = 1$ است. بنابراین، انتگرالده پیچیده‌نمای ما $\frac{e^{- a x}}{x}$ در نزدیکی مبدأ تقریباً دقیقاً مانند تابع بسیار ساده‌تر $\frac{1}{x}$ رفتار می‌کند.

و همه ما می‌دانیم وقتی می‌خواهید $\frac{1}{x}$ را از صفر انتگرال بگیرید چه اتفاقی می‌افتد. پادمشتق آن $\ln (x)$ است. هرچه $x$ به صفر نزدیک‌تر می‌شود، $\ln (x)$ به سمت منفی بی‌نهایت می‌رود. از آنجایی که انتگرال در حد پایینی به سمت بی‌نهایت می‌رود، حتی نیازی به بررسی آنچه در بی‌نهایت اتفاق می‌افتد نداریم. کل چیز بی‌نهایت است. فایده‌ای ندارد.

مثال: در نظر بگیرید: $\int_{0}^{\infty} \frac{1 - e^{- a x}}{x} d x$ $x \sim 0$ $\int_{0} a d x = 0 + \dots$

$x \to \infty$ $\int^{\infty} \frac{d x}{x} = \ln \infty + \dots$ باز هم انتگرال بی‌نهایت است.

توضیح

حالا برای این یکی. تقریباً یکسان به نظر می‌رسد، اما آن $1 - . . .$ کوچک در صورت‌کننده همه تفاوت را ایجاد می‌کند. بیایید دوباره مناطق خطر خود را بررسی کنیم.

نزدیک صفر: وقتی $x \to 0$ ، یک مشکل داریم. مخرج صفر است. اما صبر کنید! صورت‌کننده $1 - e^{- a x}$ نیز به سمت صفر می‌رود، زیرا $e^{- a x} \to 1$ . ما یک وضعیت $0 / 0$ داریم، به این معنی که باید دقیق‌تر باشیم. بسط تیلور برای تابع نمایی را به خاطر دارید، درست است؟ برای هر چیز کوچک « $u$ »، $e^{- u}$ تقریباً برابر با $1 - u$ است. در اینجا، چیز کوچک ما $a x$ است. بنابراین، برای $x$ کوچک، $e^{- a x} \approx 1 - a x$ .

بیایید آن تقریب را در صورت‌کننده قرار دهیم: $1 - (1 - a x) = a x$ . بنابراین کل تابع ما شبیه $\frac{a x}{x}$ است. $x$ ها حذف می‌شوند! در نزدیکی مبدأ، انتگرالده ما دقیقاً مانند ثابت $a$ رفتار می‌کند. انتگرال گرفتن از یک ثابت هیچ مشکلی ندارد؛ کاملاً متناهی است. بنابراین، در صفر ایمن است.

حالا برای بی‌نهایت: وقتی $x$ خیلی خیلی بزرگ می‌شود چه اتفاقی می‌افتد؟ عبارت $e^{- a x}$ (برای $a > 0$ ) به صورت نمایی سریع کاهش می‌یابد. به صفر می‌رسد. بنابراین برای $x$ بزرگ، انتگرالده ما شبیه $\frac{1 - 0}{x} = \frac{1}{x}$ است. آه، اما می‌دانیم که انتگرال گرفتن از $\frac{1}{x}$ تا بی‌نهایت به شما یک لگاریتم می‌دهد، $\ln (\infty)$ ، که به سمت بی‌نهایت می‌رود.

پس این یکی برعکس است: در شروع کاملاً خوب است، اما در انتها به سمت بی‌نهایت می‌رود. نتیجه نهایی همچنان این است که انتگرال بی‌نهایت است.

جدول زیر از توابع ممکن است در تعیین اینکه آیا یک انتگرال معین وجود دارد یا خیر مفید باشد.

	$x \to \infty$	$x \to 0$
$d x / x^{2}$	O.K.	N.G.
$d x / x$	N.G.	N.G.
$d x / x^{1 - ϵ}$	N.G.	O.K.
$d x / x^{1 + ϵ}$	O.K.	N.G.
$d x$	N.G.	O.K.

توضیح

این جدول فقط خلاصه‌ای از کارهایی است که انجام می‌دادیم. در بیشتر مواقع، همگرایی یک انتگرال در هر انتها بستگی به رفتار آن در مقایسه با $\int \frac{d x}{x^{p}}$ دارد. تابع $\frac{1}{x}$ (که در آن $p = 1$ ) خط تقسیم بزرگ است.

در بی‌نهایت، تابع شما باید سریع‌تر از $\frac{1}{x}$ به صفر برسد تا همگرا شود. به همین دلیل است که $1 / x^{1 + ϵ}$ O.K. است اما $1 / x^{1 - ϵ}$ خوب نیست.

در نزدیکی صفر، وضعیت برعکس است. تابع شما باید آهسته‌تر از $\frac{1}{x}$ به سمت بی‌نهایت برود تا همگرا شود. به همین دلیل است که $1 / x^{1 - ϵ}$ در آنجا O.K. است، اما $1 / x^{1 + ϵ}$ خیلی سریع به سمت بی‌نهایت می‌رود و خوب نیست. این یک قانون سرانگشتی بسیار مفید برای بررسی سریع اینکه آیا یک انتگرال ارزش وقت شما را دارد یا خیر است.

ب. روش ویژه محاسبه انتگرال معین.

(این روش برای مسائل 1 و 3 قابل استفاده است) $A = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x$

توضیح

بسیار خب، چگونه این انتگرال را حل می‌کنید؟ اگر تمام روش‌های استاندارد دبیرستانی را امتحان کنید—انتگرال‌گیری جزء به جزء، تغییر متغیر—به هیچ نتیجه‌ای نخواهید رسید. پادمشتق $e^{- x^{2}}$ یک «تابع ابتدایی» نیست. نمی‌توانید آن را با سینوس‌ها، کسینوس‌ها، لگاریتم‌ها و غیره بنویسید. بنابراین باید باهوش باشیم. به یک ترفند نیاز داریم.

توضیح

ترفند این است: به جای محاسبه $A$ ، بیایید سعی کنیم $A^{2}$ را محاسبه کنیم. به نظر می‌رسد دیوانگی است که مسئله را پیچیده‌تر کنیم، اما تماشا کنید. ما $A^{2}$ را به عنوان انتگرال ضرب‌در خودش می‌نویسیم. از آنجایی که متغیر انتگرال‌گیری فقط یک متغیر ساختگی است، می‌توانیم در انتگرال اول آن را $x$ و در دومی $y$ بنامیم. حالا می‌توانیم آنها را در یک انتگرال دوگانه واحد بر روی کل صفحه $x y$ ترکیب کنیم.

جایگزینی $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ $x = r \cos θ$ $y = r \sin θ$

توضیح

حالا، به آنچه داخل انتگرال است نگاه کنید: $e^{- (x^{2} + y^{2})}$ . هر وقت $x^{2} + y^{2}$ را می‌بینید، مغز شما باید روشن شود و فریاد بزند «دایره‌ها! مختصات قطبی!» در مختصات قطبی، $x^{2} + y^{2}$ فقط $r^{2}$ است. عنصر مساحت $d x d y$ به $r d r d θ$ تبدیل می‌شود.

اینجاست که جادو اتفاق می‌افتد. انتگرال ما به $\int e^{- r^{2}} (r d r d θ)$ تبدیل می‌شود. ما یک عامل اضافی $r$ از تغییر مختصات گرفتیم، و این دقیقاً همان چیزی است که برای حل انتگرال به آن نیاز داشتیم! مشتق توان $(- r^{2})$ برابر با $- 2 r$ است. ما یک $r$ داریم، بنابراین انتگرال اکنون آسان است.

انتگرال بر روی $θ$ از $0$ تا $2 π$ فقط یک عامل $2 π$ می‌دهد (یادداشت‌ها از تقارن استفاده می‌کنند و از $0$ تا $π / 2$ می‌روند و در نهایت عاملی برابر با $4 \times π / 2 = 2 π$ می‌دهند، اما نتیجه $π$ است). انتگرال $\int_{0}^{\infty} 2 r e^{- r^{2}} d r$ فقط $- e^{- r^{2}}$ است که از $0$ تا $\infty$ ارزیابی می‌شود، که برابر با $- (0 - 1) = 1$ است.

بنابراین، $A^{2} = π \times 1 = π$ . و این بدان معناست که انتگرال اصلی و به ظاهر غیرممکن ما به سادگی $A = \sqrt{π}$ است. چه ترفند زیبایی!

ج. حل سری برای محاسبه انتگرال‌ها.

توضیح

ما قصد داریم یک ترفند قدرتمند دیگر برای شکستن انتگرال‌های دشوار یاد بگیریم.

ایده به طرز شگفت‌آوری ساده است. اگر تابعی دارید که انتگرال‌گیری از آن خیلی سخت است، چرا آن را با چیز آسان‌تری جایگزین نکنید؟ یا بهتر از آن، آن را با فهرستی نامتناهی از چیزهایی جایگزین کنید که همگی به طور باورنکردنی آسان انتگرال‌گیری می‌شوند. این کل بازی است. ما قصد داریم یک مسئله سخت را با تعداد نامتناهی مسئله آسان معامله کنیم. تا زمانی که بتوانیم پاسخ‌های همه مسائل آسان را جمع کنیم، مسئله سخت اصلی را حل کرده‌ایم.

مثال: در نظر بگیرید: $\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{e^{m x} + e^{- m x}} = \frac{π}{4 m}$

توضیح

اینجا برنامه است: اگر نمی‌توانید مستقیماً از یک تابع انتگرال بگیرید، شاید بتوانید آن را به یک سری نامتناهی از توابع ساده‌تر تبدیل کنید که بتوانید از آنها انتگرال بگیرید.

ابتدا، بیایید انتگرالده را تمیز کنیم. می‌توانیم صورت و مخرج را در $e^{- m x}$ ضرب کنیم. این به ما $\frac{e^{- m x}}{1 + e^{- 2 m x}}$ می‌دهد. چرا این بهتر است؟ زیرا وقتی $x$ بزرگ می‌شود، عبارت $e^{- 2 m x}$ بسیار کوچک می‌شود. این بدان معناست که مخرج ما شبیه $1 / (1 + u)$ است که در آن $0 < u < 1$ است.

و ما دقیقاً می‌دانیم با آن چه کنیم! این یک سری هندسی است: $\frac{1}{1 + u} = 1 - u + u^{2} - u^{3} + \dots$ . بنابراین می‌توانیم کسر پیچیده خود را با یک مجموع نامتناهی از توابع نمایی ساده و زیبا جایگزین کنیم.

توضیح

ما سری را جمله به جمله انتگرال می‌گیریم. هر جمله فقط $\int_{0}^{\infty} e^{- k x} d x$ است، که یکی از آسان‌ترین انتگرال‌های جهان است. پاسخ به سادگی $1 / k$ است.

بنابراین انتگرال ما به یک مجموع از اعداد تبدیل می‌شود: $\frac{1}{m} - \frac{1}{3 m} + \frac{1}{5 m} - \dots$ . می‌توانیم عامل مشترک $1 / m$ را بیرون بکشیم.

$∴ \int_{0}^{\infty} \frac{d x}{e^{m x} + e^{- m x}} = \frac{1}{m} (\frac{π}{4})$

توضیح

ما با سری متناوب معروف $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots$ باقی مانده‌ایم. این سری شناخته‌شده است؛ این سری لایب‌نیتس است و به $π / 4$ همگرا می‌شود. می‌توانید آن را از بسط تیلور برای $\tan^{- 1} (x)$ با قرار دادن $x = 1$ استخراج کنید.

بنابراین، $π / 4$ را جایگزین سری می‌کنیم، و پاسخ ما اینجاست! ما یک انتگرال سخت را با تعداد نامتناهی انتگرال آسان معامله کردیم، و نتیجه فوق‌العاده بود.

ترکیبی از روش‌های انتگرال‌گیری که تا اینجا بحث شد برای حل هر انتگرالی که وجود دارد کافی است. هنوز روش‌های دیگری نیز وجود دارند که ممکن است استفاده شوند و در بسیاری از موارد آسان‌تر هستند. ما برخی از آنها را بعداً بررسی خواهیم کرد.

مسئله 1: انتگرال $\int_{0}^{\infty} \frac{1 - e^{- a x^{2}}}{x^{2}} d x$ وجود دارد. مقدار آن را بیابید.

مسئله 2: انتگرال بگیرید: $\int_{0}^{\infty} \frac{\cos m x}{(1 + x^{2})^{2}} d x$

مسئله 3: ثابت کنید: $\int_{0}^{\infty} \cos (x^{2}) d x = \int_{0}^{\infty} \sin (x^{2}) d x = \frac{1}{2} \sqrt{π / 2}$

مسئله 4: انتگرال بگیرید $\int_{0}^{\infty} \frac{x d x}{e^{m x} - e^{- m x}}$

مسئله 5: فرض کنید $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin a x}{e^{x} - e^{- x}} d x = S (a)$

S(1) را تا 3 رقم با معنی بیابید
عبارات تقریبی برای S(a) برای a بزرگ و کوچک بیابید.