تابع دلتای دیراک

الف. تابع دلتای دیراک

[اجازه دهید کمیتی 𝛿(x) معرفی کنیم که به x وابسته است و شرایط زیر را برآورده میکند:] $δ (x) = 0, x \neq 0 ، و به نحوی برای x = 0 بینهایت است$ با $\int_{- \infty}^{\infty} δ (x) d x = \int_{- ϵ}^{ϵ} δ (x) d x = 1$ [این کمیت تابع دلتای دیراک نامیده میشود و در فیزیک بسیار مفید است. میتوانیم نشان دهیم که] $\int_{- \infty}^{\infty} f (x) δ (x) d x = f (0)$

اثبات: $\int_{- \infty}^{- ϵ} f (x) δ (x) d x + \int_{- ϵ}^{ϵ} f (x) δ (x) d x + \int_{ϵ}^{\infty} f (x) δ (x) d x$ اگر f(x) در بازه $- ϵ$ تا $ϵ$ نسبتاً آهسته تغییر کند، میتوانیم آن را با میانگینی از f(x) روی آن بازه جایگزین کنیم. $\int_{- \infty}^{\infty} f (x) δ (x) d x = \int_{- ϵ}^{ϵ} \overset{―}{f (x)} δ (x) d x$ با فرض $ϵ \to 0$ ، به دست میآوریم

تابع دلتا مفید است زیرا میتوان با آن طوری عمل کرد که گویی یک تابع حقیقی است. تنها توجیهی که برای این کار ارائه میدهیم این است که پاسخ صحیح را میدهد. روابط مفید زیر را میتوان به راحتی اثبات کرد:

$δ (x) = δ (- x)$
$x δ (x) = 0$
$δ (a x) = \frac{1}{| a |} δ (x)$
$f (x) δ (x - a) = f (a) δ (x - a)$

شکلهای زیر نمایشهای تقریبی از $δ (x)$ و هستند.

یک نمودار یک قله تیز برای δ(x) در x=0 نشان میدهد

یک نمودار یک قله مثبت تیز و به دنبال آن یک قله منفی تیز برای δ'(x) در x=0 نشان میدهد

مسئله: (با انتگرالها)

اثبات کنید: $δ (a x) = \frac{1}{a} δ (x)$ برای $a > 0$
پیدا کنید:

ب. تابع پلهای

توضیح

تابعی که در سمت راست توصیف میشود، تابع پلهای هویساید است که اغلب به صورت H(x) یا θ(x) نوشته میشود.

حالت 1 (x<0): حد بالای انتگرال، یعنی x، منفی است. بازه انتگرالگیری از −∞ تا x است. این بازه شامل t=0 که تابع دلتا در آن غیرصفر است، نمیشود. بنابراین، شما در حال انتگرالگیری از تابعی هستید که در کل بازه صفر است و نتیجه 0 است.
حالت 2 (x>0): حد بالای انتگرال، یعنی x، مثبت است. بازه انتگرالگیری از −∞ تا x شامل t=0 میشود. زیرا کل «سنبله» تابع دلتا در بازه قرار میگیرد، انتگرال برابر با مساحت کل تابع دلتا، که 1 است، ارزیابی میشود.

توجه کنید که .

منحنی شکل زیر را در نظر بگیرید. مشتق آن را میتوان بر حسب تابع دلتا به صورت زیر بیان کرد:

یک نمودار تابع f(x) را با یک ناپیوستگی پلهای به ارتفاع c در x=a نشان میدهد

توضیح

هر تابع f(x) را در نظر بگیرید که در همه جا هموار است، به جز یک ناپیوستگی پلهای به ارتفاع c در x=a.

میتوانیم این تابع f(x) را به صورت مجموع دو بخش نمایش دهیم:

یک تابع «پایه» پیوسته و هموار، که آن را g(x) مینامیم.
یک تابع پلهای که پرش را در مکان مناسب اضافه میکند.

فرمول به این صورت است: $f (x) = g (x) + c \cdot H (x - a)$

چگونه g(x) را پیدا کنیم؟ تابع g(x) به سادگی بخش «قبل از پرش» تابع است که در کل دامنه گسترش یافته است.

برای x < a، داریم H(x-a)=0، بنابراین f(x) = g(x). این بدان معناست که g(x) قبل از پرش با f(x) یکسان است.
برای x > a، داریم H(x-a)=1، بنابراین f(x) = g(x) + c. این به درستی تابع را بعد از پرش توصیف میکند.

مشتقگیری از نمایش

حال که f(x) را به صورتی بیان کردهایم که مجموع توابع خوشرفتار (یک تابع پیوسته و یک تابع هویساید) است، میتوانیم با استفاده از قاعده جمع، از آن مشتق بگیریم:

با استفاده از رابطه $\frac{d}{d x} H (x - a) = δ (x - a)$ ، به دست میآوریم:

حال، g’(x) چیست؟ از آنجا که g(x) نسخه پیوسته f(x) است، مشتق آن، یعنی g’(x)، دقیقاً همان مشتق f(x) به دور از پرش، یعنی برای $x \neq a$ است.

بنابراین، میتوانیم g’(x) را با نماد f’(x)_{x a} جایگزین کنیم تا فرمول نهایی به دست آید:

ج. تابع دلتا و انتگرال cos(ßx)

انتگرال زیر را در نظر بگیرید: $\int_{- \infty}^{\infty} \cos β x d x$ . نشان خواهیم داد که برابر با $2 π δ (β)$ است. $\int_{0}^{\infty} \cos β x d x = π δ (β) .$

توضیح

توجه کنید که $\int_{0}^{\infty}$ cos(ßx) dx به معنای معمول همگرا نمیشود، زیرا تابع کسینوس برای همیشه نوسان میکند. برای اینکه به آن مقدار معناداری بدهیم، آن را به عنوان یک توزیع با بررسی رفتارش در یک حد در نظر میگیریم.

$lim_{a \to 0} \int_{0}^{\infty} e^{- a x} \cos β x d x = lim_{a \to 0} \frac{a}{a^{2} + β^{2}}$

توضیح

قبلاً نشان داده شد که $\int_{0}^{\infty} e^{- a x} \cos (β x) d x = \frac{a}{a^{2} + β^{2}}$

برای $a$ کوچک، این انتگرال تقریباً مانند شکل زیر به نظر میرسد.

یک نمودار یک منحنی زنگولهای شکل را در مرکز ß = 0 با ارتفاع 1/a نشان میدهد

مساحت زیر منحنی برابر است با: $A = \int_{- \infty}^{\infty} (\frac{a}{a^{2} + β^{2}}) d β = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{a^{2}}{a^{2} + a^{2} z^{2}} d z$ $= \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d z}{1 + z^{2}} = {\tan^{- 1} z |}_{- \infty}^{\infty} = π$ توجه کنید که مساحت مستقل از مقدار a است.

توضیح

تابع $\frac{a}{a^{2} + β^{2}}$ برای هر مقدار a مساحتی برابر با π دارد. وقتی a→0، تابع به یک سنبله بینهایت نازک و بینهایت بلند در β=0 تبدیل میشود، در حالی که مساحت کل آن π باقی میماند. این دقیقاً رفتار πδ(β) است.

د. استفاده از تابع دلتا در ارزیابی یک انتگرال معین

مثال: انتگرال زیر را در نظر بگیرید $\int_{0}^{π} \cos (m \tan θ) d θ$ جایگزین کنید $\tan θ = x$ $\int_{0}^{\infty} \cos m x (1 + x^{2})^{- 1} d x = S (m)$ جواب کلی چنین معادله دیفرانسیلی به صورت زیر است: $S (m) = \frac{e^{- m}}{2} \int_{- \infty}^{m} e^{- t} f (t) d t - \frac{e^{m}}{2} \int_{- \infty}^{m} e^{t} f (t) d t + A e^{m} + B e^{- m}$ که در آن $f (t) = π δ (t)$

توضیح

از معادلات دیفرانسیل، به خاطر بیاورید که اگر $y_{1} (x)$ و $y_{2} (x)$ دو جواب معادله باشند، آنگاه یک جواب خصوصی برای به صورت زیر داده میشود: $- y_{1} (x) \int_{x_{0}}^{x} \frac{y_{2} (t) R (t)}{W (t)} d t + y_{2} (x) \int_{x_{0}}^{x} \frac{y_{1} (t) R (t)}{W (t)} d t$ که در آن $W (t) = W [y_{1} (t), y_{2} (t)]$ ورونسکین است.

برای معادله ، به دنبال جوابهایی به شکل $e^{r m}$ میگردیم. معادله مشخصه $r^{2} - 1 = 0$ است که ریشههای $r = \pm 1$ را دارد. این به ما دو جواب مستقل از معادله همگن متناظر میدهد: $S_{1} (m) = e^{m}, S_{2} (m) = e^{- m} .$ جواب همگن به صورت زیر است: $S_{h} (m) = A S_{1} (m) + B S_{2} (m) = A e^{m} + B e^{- m} .$ ورونسکین برابر است با طبق قضیه ذکر شده در بالا، یک جواب خصوصی به صورت زیر داده میشود: $S_{p} (m) = e^{m} \int_{- \infty}^{m} \frac{e^{- t} f (t)}{- 2} d t - e^{- m} \int_{- \infty}^{m} \frac{e^{t} f (t)}{- 2} d t$ و جواب کل به صورت زیر است: $S (m) = S_{h} (m) + S_{p} (m)$

جوابها:

توضیح

قبلاً به دست آوردیم $S_{p} (m) = \frac{π}{2} e^{- m} \int_{- \infty}^{m} δ (t) e^{- t} d t - \frac{π}{2} e^{m} \int_{- \infty}^{m} δ (t) e^{- t} d t$ اگر $m < 0$ : $S_{p} (m) = 0$ و جواب کل به صورت زیر است: $S (m) = A e^{m} + B e^{- m}$ اگر $m > 0$ آنگاه $S_{p} (m) = \frac{π}{2} e^{- m} e^{0} - \frac{π}{2} e^{m} e^{0}$ و جواب کل به صورت زیر است: $S (m) = A e^{m} + B e^{- m} + \frac{π}{2} e^{- m} - \frac{π}{2} e^{m}$

$S (0) = \frac{π}{2} = A + B$ $S (m) = S (- m) ∴ A - B = \frac{π}{2}$ $A = \frac{π}{2}, B = 0$ $m < 0 S = \frac{π}{2} e^{m}$ $m > 0 S = \frac{π}{2} e^{- m}$

مثال: انتگرال زیر را در نظر بگیرید $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\sin β x}{x} d x = S (β)$ [اگر نسبت به $β$ مشتق بگیریم، $\int_{0}^{\infty} \cos β x d x$ را به دست میآوریم که میدانیم برابر با $2 π δ (β)$ است:] [با حل این معادله دیفرانسیل، به دست میآوریم:] توجه میکنیم که $S (β) = - S (- β)$ $2 π + C = - C$ $C = - π$ (یک نمودار یک تابع پلهای را نشان میدهد که از -π برای β<0 به +π برای β>0 میرود)

حال انتگرال زیر را در نظر بگیرید $\int_{0}^{\infty} e^{- α x} \frac{\sin β x}{x} d x = \frac{π}{2} - \tan^{- 1} (α / β)$

توضیح

توجه کنید که ما قبلاً این انتگرال را مطالعه کردهایم.

نمودار این انتگرال به صورت زیر است:

در حد $α \to 0$ ، این انتگرال به انتگرال قبلی کاهش مییابد (یک ضریب 2 باید در نظر گرفته شود)

مرجع: اصول مکانیک کوانتومی، پل دیراک، ویرایش چهارم، ص. ۵۸–۶۱