روش‌های انتگرال‌گیری

A. انتگرال‌گیری جزء به جزء

قاعدهٔ را یادآوری می‌کنیم. اکنون فرض کنید می‌خواهیم انتگرال نامعین

\int h (x) d x,

را بیابیم که در آن $h (x)$ را می‌توان به صورت نوشت. شاید یافتن

آسان‌تر از یافتن

\int h (x) d x .

باشد. بنا بر خطی بودن،

یا

یعنی،

بنابراین یک انتگرال نامعین از $h (x)$ با کم کردن یک انتگرال نامعین از از $f (x) g (x)$ به دست می‌آید.

مثال‌ها

مثال 1.

\int x \sin x d x .

فرض کنید $f (x) = x$ و $g (x) = - \cos x$ . آن‌گاه ، ، و با جای‌گذاری به دست می‌آید

مثال 2.

\int \log x d x .

فرض کنید $f (x) = \log x$ و $g (x) = x$ . آن‌گاه ، ، و

\int \log x d x = x \log x - \int \frac{1}{x} \cdot x d x = x \log x - x .

مثال 3.

گاهی لازم است این روش را چندین بار تکرار کنیم. اغلب اتفاق می‌افتد که انتگرال اولیه با ضریبی غیر از ۱ دوباره ظاهر می‌شود، که در این صورت می‌توانیم آن را بر حسب خود انتگرال حل کنیم. برای مثال، $\int e^{x} \sin x d x$ را در نظر بگیرید. فرض کنید $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - \cos x$ . آن‌گاه

\int e^{x} \sin x d x = - e^{x} \cos x + \int e^{x} \cos x d x .

در $\int e^{x} \cos x d x$ ، فرض کنید $h (x) = e^{x}$ و $k (x) = \sin x$ . آن‌گاه ، و داریم

\int e^{x} \cos x d x = e^{x} \sin x - \int e^{x} \sin x d x .

بنابراین

\int e^{x} \sin x d x = - e^{x} \cos x + e^{x} \sin x - \int e^{x} \sin x d x .

با حل معادله برای $\int e^{x} \sin x d x$ ، به دست می‌آوریم

\int e^{x} \sin x d x = \frac{e^{x}}{2} (\sin x - \cos x) .

نکته. اگر در مرحلهٔ دوم از با $h (x) = \cos x$ و $k (x) = e^{x}$ استفاده می‌کردیم، معادلهٔ حاصل یک اتحاد بدیهی می‌شد؛ بنابراین اگر چنین معادله‌ای به دست آمد، باید تجزیهٔ دیگری را امتحان کرد.

B. انتگرال‌گیری با تغییر متغیر

برخی انتگرال‌ها اگر یک متغیر با متغیر جدیدی جایگزین شود بسیار ساده‌تر می‌شوند. در اینجا به جای متغیر قدیمی از متغیر جدیدی استفاده می‌شود که در بازهٔ انتگرال‌گیری، تابعی مشتق‌پذیر و اکیداً صعودی یا نزولی از متغیر قدیمی باشد. اگر $u$ متغیر جدید و $x$ متغیر قدیمی باشد، آن‌گاه از مشتق‌گیری توابع معکوس داریم .

فرض کنید می‌خواهیم انتگرال نامعین $\int f (x) d x$ را بیابیم؛ یعنی می‌خواهیم تابع $F (x)$ را بیابیم به طوری که باشد. ممکن است $x$ تابعی مشتق‌پذیر و اکیداً صعودی یا نزولی از متغیر جدید $u$ باشد، مثلاً $x = x (u)$ ، به طوری که انتگرال‌گیری از $f (x (u))$ ، که آن را $g (u)$ می‌نامیم، ساده‌تر باشد. آن‌گاه می‌توانیم سعی کنیم تابعی مانند $G (u)$ بیابیم به گونه‌ای که باشد. اگر $u (x)$ تابع معکوس $x (u)$ باشد، ممکن است $H (x) = G (u (x))$ را به عنوان پاسخی برای مسئلهٔ اصلی‌مان در نظر بگیریم. اما

که به اندازهٔ ضریب با $f (x)$ تفاوت دارد. بنابراین، در عوض بیایید سعی کنیم تابع $G (u)$ را چنان بیابیم که باشد. سپس قرار می‌دهیم $F (x) = G (u (x))$ . آن‌گاه داریم

یا $F (x)$ تابعی از نوع مطلوب است.

یک روش صوری برای به خاطر سپردن این محاسبه وجود دارد، به این صورت: در $\int f (x) d x$ ، بنویسید $d x = \frac{d x}{d u} \cdot d u$ . اگر $f (x) = g (u)$ باشد، آن‌گاه

\int f (x) d x = \int g (u) \cdot \frac{d x}{d u} \cdot d u .

البته پاسخ سمت راست تابعی از $u$ است که سپس باید آن را بر حسب $x$ جایگزین کنیم. توجه داشته باشید که انتگرال سمت راست همان یا همان $G (u)$ ما است. چندین مثال این روش را نشان خواهند داد.

مثال‌ها

مثال 4.

\int \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}} d x .

فرض کنید $u = e^{x}$ و $x = \log u$ . آن‌گاه . بنابراین باید مقدار زیر را بیابیم

\int \frac{u}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u = \arctan u .

بنابراین انتگرال نامعین مطلوب ما $\arctan (e^{x})$ است.

مثال 5.

\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x .

فرض کنید $x = \sin u$ (این کار امکان‌پذیر است، زیرا $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ تنها در صورتی تعریف شده است که $- 1 < x < 1$ ). آن‌گاه

و $\sqrt{1 - x^{2}} = \cos u$ ، زیرا وقتی $u$ در برد $\arcsin x$ قرار دارد، $- \frac{π}{2} < u < \frac{π}{2}$ است. بنابراین باید مقدار زیر را بیابیم

اکنون فرض کنید $v = \cos u$ . آن‌گاه ، ، و حداقل برای $0 < u < \frac{π}{2}$ $(* *)$ داریم

بنابراین

\int \sin^{3} u d u = - \cos u + \frac{\cos^{3} u}{3},

از آنجا که هرگاه $- 1 < x < 1$ باشد، مشتق این تابع واقعاً برابر با $\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ است، در نقاطی از فرایند مانند (**) که ممکن بود چیزی را از دست داده باشیم، چیزی از دست نداده‌ایم.

C. کسرهای جزئی

فرض کنید می‌خواهیم انتگرال نامعین $\frac{f (x)}{g (x)}$ را بیابیم، که در آن $f (x)$ و $g (x)$ چندجمله‌ای هستند (این گونه توابع را توابع گویا می‌نامند). می‌توانیم فرض کنیم که درجهٔ $f (x)$ (بزرگ‌ترین توان ظاهرشده از $x$ ) کمتر از درجهٔ $g (x)$ است؛ زیرا در غیر این صورت، می‌توانیم $f (x)$ را بر $g (x)$ تقسیم کرده و به دست آوریم

\frac{f (x)}{g (x)} = P (x) + \frac{h (x)}{g (x)},

که در آن $P (x)$ یک چندجمله‌ای است و $h (x)$ ، باقی‌ماندهٔ تقسیم $f (x)$ بر $g (x)$ ، درجه‌ای کمتر از $g (x)$ دارد. همچنین فرض کنید بتوانیم $g (x)$ را به حاصل‌ضرب چندجمله‌ای‌هایی به شکل‌های $(x - a)$ و $x^{2} + b x + c$ با $b^{2} - 4 c < 0$ تجزیه کنیم. (این کار همواره امکان‌پذیر است، اگرچه تعیین مقادیر $a$ ، $b$ و $c$ معمولاً دشوار است.) پس از انجام این تجزیه، فرایندی را آغاز می‌کنیم که به ما امکان می‌دهد از $\frac{f (x)}{g (x)}$ انتگرال بگیریم.

کاری که انجام می‌دهیم تفکیک عامل‌های با شکل‌های بالا در $g (x)$ و تلاش برای نوشتن $\frac{f (x)}{g (x)}$ به صورت مجموعی از خارج‌قسمت‌های چندجمله‌ای‌ها است. مخرج‌ها عامل‌های مجزای $g (x)$ خواهند بود و صورت‌ها درجاتی کمتر از مخرج‌ها خواهند داشت. اگر عاملی مانند $x - a$ یا $x^{2} + b x + c$ بیش از یک بار، مثلاً $n$ بار، $g (x)$ را عاد کند، باید $n$ جمله در نظر بگیریم که مخرج هر یک از آن‌ها توان‌های $1, 2, \dots, n$ از آن عامل باشد. در هر یک از این جملات، هنوز کافی است فرض کنیم که صورت یک مقدار ثابت یا از درجهٔ یک است (در حالتی که مخرج توانی از $x^{2} + b x + c$ باشد). برای مثال، اگر عبارتی به شکل

\frac{d x^{3} + e x^{2} + f x + g}{(x^{2} + b x + c)^{2}} = \frac{d x^{3} + e x^{2}}{(x^{2} + b x + c)^{2}} + \frac{f x + g}{(x^{2} + b x + c)^{2}},

داشتیم، می‌توانستیم $d x^{3} + e x^{2}$ را بر $x^{2} + b x + c$ تقسیم کنیم تا یک خارج‌قسمت $P (x)$ از درجهٔ ۱ و یک باقی‌مانده $R (x)$ با حداکثر درجهٔ ۱ به دست آوریم. آن‌گاه

\frac{d x^{3} + e x^{2}}{(x^{2} + b x + c)^{2}} = \frac{P (x)}{x^{2} + b x + c} + \frac{R (x)}{(x^{2} + b x + c)^{2}},

به طوری که عبارت به شکلی که بررسی خواهیم کرد کاهش می‌یابد.

فرض کنید $g (x) = (x - a_{1})^{m_{1}} \dots (x - a_{r})^{m_{r}} (x^{2} + b_{1} x + c_{1})^{n_{1}} \dots (x^{2} + b_{s} x + c_{s})^{n_{s}}$ . فرض کنید $n = m_{1} + \dots + m_{r} + 2 n_{1} + \dots + 2 n_{s}$ . آن‌گاه $f (x)$ درجه‌ای کمتر از $n$ دارد، و می‌توانیم بنویسیم $f (x) = d_{n - 1} x^{n - 1} + d_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + d_{1} x + d_{0}$ که در آن ممکن است برخی از $d$ ها برابر با ۰ باشند. اکنون سعی می‌کنیم بنویسیم

در اینجا $A, B, C$ مجهول هستند، و در مجموع

m_{1} + \dots + m_{r} + 2 n_{1} + \dots + 2 n_{s} = n

تا از آن‌ها وجود دارد. اگر سمت راست معادله را مخرج مشترک بگیریم، این مخرج $g (x)$ خواهد بود. بنابراین صورت باید $f (x)$ باشد؛ پس جملهٔ ثابت صورت باید $d_{0}$ ، ضریب $x$ باید $d_{1}$ و غیره باشد. این کار به ما $n$ معادله با $n$ مجهول $A, B, C$ می‌دهد که آن‌ها را حل می‌کنیم. با جای‌گذاری این جواب‌ها در سمت راست معادله، تنها کافی است از آن عبارت جمله به جمله انتگرال بگیریم. حال

از آنجا که $x^{2} + b x + c = {(x + \frac{b}{2})}^{2} + (c - \frac{b^{2}}{4})$ و $c - \frac{b^{2}}{4} > 0$ ، می‌توانیم $x + \frac{b}{2}$ را به جای $x$ قرار دهیم و فرض کنیم $x^{2} + b x + c$ صرفاً به شکل $x^{2} + c$ با $c > 0$ است.

\int \frac{1}{(x^{2} + c)^{n}} d x

را می‌توان با تغییر متغیر $x = \sqrt{c} \tan u$ یا $u = \arctan (\frac{x}{\sqrt{c}})$ محاسبه کرد.

مثال‌ها

مثال 6.

\int \frac{1}{(x - 2) (x + 3)} d x .

آن‌گاه

\frac{1}{(x - 2) (x + 3)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 3},

یا

\frac{(A + B) x + (3 A - 2 B)}{(x - 2) (x + 3)} = \frac{1}{(x - 2) (x + 3)} .

آن‌گاه $A + B = 0$ ، $3 A - 2 B = 1$ ، $A = \frac{1}{5}$ ، $B = - \frac{1}{5}$ ، و

\int \frac{1}{(x - 2) (x + 3)} d x = \frac{1}{5} \log (x - 2) - \frac{1}{5} \log (x + 3) .

مثال 7.

\int \frac{4 x + 3}{(x - 1) (x^{2} + 2)^{2}} d x .

می‌نویسیم

\frac{4 x + 3}{(x - 1) (x^{2} + 2)^{2}} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 2} + \frac{D x + E}{(x^{2} + 2)^{2}} .

معادلات زیر را به دست می‌آوریم

A + B = 0 (ضریب x^{4})

- B + C = 0 (ضریب x^{3})

4 A + 2 B - C + D = 0 (ضریب x^{2})

- 2 B + 2 C - D + E = 4 (ضریب x)

4 A - 2 C - E = 3 (جملهٔ ثابت).

که نتیجه می‌دهند:

A = \frac{7}{9}, B = - \frac{7}{9} = C, D = - \frac{7}{3}, E = \frac{5}{3} .

بنابراین باید مقدار زیر را بیابیم

در آخرین انتگرال، فرض کنید $x = \sqrt{2} \tan u$ . آن‌گاه ، و باید مقدار زیر را بیابیم

\int \frac{1}{4 \sec^{4} u} \cdot \sqrt{2} \sec^{2} u d u = \int \frac{1}{(x^{2} + 2)^{2}} d x,

یا

\frac{1}{2 \sqrt{2}} \int \cos^{2} u d u .

اکنون $\cos 2 u = 2 \cos^{2} u - 1$ یا $\cos^{2} u = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 u)$ . بنابراین باید مقدار زیر را بیابیم

پاسخ کامل برابر است با

با یک تغییر متغیر مناسب، می‌توان انتگرال‌های توابع گویا بر حسب $\sin x$ و $\cos x$ را به مسئلهٔ انتگرال‌گیری از توابع گویا بر حسب متغیر جدید $u$ تبدیل کرد. شگرد کار این است که فرض کنیم $u = \tan \frac{x}{2}$ . آن‌گاه $x = 2 \arctan u$ و

همچنین،

\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{\sec^{2} \frac{x}{2}} = \frac{2 u}{1 + u^{2}},

بنابراین، برای مثال،

\int \frac{1}{\sin x + \cos x} d x = \int \frac{1}{\frac{2 u}{1 + u^{2}} + \frac{1 - u^{2}}{1 + u^{2}}} \cdot \frac{2}{1 + u^{2}} d u

= \int \frac{2}{2 u + 1 - u^{2}} d u .

اکنون $2 u + 1 - u^{2} = - (u - (1 + \sqrt{2})) (u - (1 - \sqrt{2}))$ ، و می‌توانیم روش کسرهای جزئی را برای تکمیل کار به کار ببریم.

تمرین‌ها

تمرین 1.

کورانت: ص ۲۲۵، تمرین‌های ۱-۱۱؛ ص ۲۳۴، تمرین‌های ۱-۱۴.

اوکلی: ص ۱۰۰، تمرین‌های ۱-۱۲.

شروود و تیلور، حساب دیفرانسیل و انتگرال، ویرایش اول: صص ۲۰۲، ۲۰۶، ۲۱۵، ۲۱۸، ۲۲۲، ۲۲۹، ۲۳۱، ۳۷۷، ۳۸۰.