کسرهای جزئی. مشتق تابع معکوس

کسرهای جزئی

دیده‌ایم که وقتی یک کسر را مشتق می‌گیریم باید یک عملیات نسبتاً پیچیده را انجام دهیم؛ و اگر کسر خود ساده نباشد، نتیجه قطعاً یک عبارت پیچیده خواهد بود. اگر بتوانیم کسر را به دو یا چند کسر ساده‌تر تقسیم کنیم به طوری که مجموع آن‌ها معادل کسر اصلی باشد، آنگاه می‌توانیم با مشتق‌گیری از هر یک از این عبارات ساده‌تر ادامه دهیم. و نتیجه مشتق‌گیری مجموع دو (یا چند) مشتق خواهد بود که هرکدام نسبتاً ساده هستند؛ در حالی که عبارت نهایی، هرچند البته همان خواهد بود که می‌توان بدون توسل به این شگرد به‌دست آورد، اما بدین ترتیب با تلاش بسیار کمتر و به صورت ساده‌شده‌ای به‌دست می‌آید.

ببینیم چگونه به این نتیجه برسیم. نخست کار جمع کردن دو کسر با یکدیگر برای تشکیل یک کسر حاصل را امتحان کنید. برای مثال، دو کسر $\frac{1}{x + 1}$ و $\frac{2}{x - 1}$ را در نظر بگیرید. هر دانشجویی می‌تواند این‌ها را با هم جمع کند و حاصل جمع آن‌ها را $\frac{3 x + 1}{x^{2} - 1}$ بیابد. و به همین ترتیب می‌توانند سه یا چند کسر را با هم جمع کنند. حال این فرایند را قطعاً می‌توان معکوس کرد: به این معنا که اگر این عبارت آخر داده شود، مسلماً می‌توان آن را به نحوی به مؤلفه‌های اصلی یا کسرهای جزئی‌اش بازشکافت. تنها نکته این است که در هر موردی که به ما ارائه شود نمی‌دانیم چگونه می‌توانیم آن را بشکافیم. برای پی بردن به این موضوع، ابتدا یک حالت ساده را بررسی می‌کنیم. اما مهم است به خاطر داشته باشیم که تمام آنچه در پی می‌آید تنها در مورد کسرهای جبری «سره» کاربرد دارد، یعنی کسرهایی مانند موارد فوق که درجه صورت کمتر از درجه مخرج است؛ یعنی کسرهایی که بالاترین توان $x$ در صورت کمتر از مخرج است. اگر با عبارتی مانند $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 1}$ سروکار داشته باشیم، می‌توانیم با تقسیم آن را ساده کنیم، زیرا معادل $1 + \frac{3}{x^{2} - 1}$ است؛ و $\frac{3}{x^{2} - 1}$ یک کسر جبری سره است که عمل شکافتن به کسرهای جزئی، همان‌طور که بعداً توضیح داده خواهد شد، می‌تواند بر آن اعمال شود.

حالت اول: وقتی همه عامل‌های مخرج از درجه اول $(𝒂 𝒙 + 𝒃)$ باشند و هیچ‌کدام تکراری نباشند

اگر جمع‌های زیادی از دو یا چند کسر انجام دهیم که مخرج آن‌ها فقط شامل جمله‌های $x$ ، و بدون جمله‌های $x^{2}$ ، $x^{3}$ یا هر توان دیگر $x$ باشد، همواره می‌یابیم که مخرج کسر نهایی حاصل، حاصل‌ضرب مخرج‌های کسرهایی است که برای تشکیل نتیجه با هم جمع شده‌اند. نتیجه می‌شود که با تجزیه مخرج این کسر نهایی، می‌توانیم تک‌تک مخرج‌های کسرهای جزئی مورد جستجو را بیابیم.

مثال 13.1. فرض کنید می‌خواهیم از $\frac{3 x + 1}{x^{2} - 1}$ به مؤلفه‌هایی که می‌دانیم $\frac{1}{x + 1}$ و $\frac{2}{x - 1}$ هستند بازگردیم. اگر نمی‌دانستیم آن مؤلفه‌ها چه هستند، باز هم می‌توانیم با نوشتن زیر راه را هموار کنیم: $\frac{3 x + 1}{x^{2} - 1} = \frac{3 x + 1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{}{x + 1} + \frac{}{x - 1},$ جاهای صورت‌ها را تا زمانی که بدانیم چه بگذاریم خالی می‌گذاریم. همواره می‌توانیم فرض کنیم که علامت بین کسرهای جزئی بعلاوه است، زیرا اگر منها باشد، به سادگی صورت متناظر را منفی می‌یابیم. حال، چون کسرهای جزئی کسرهای سره هستند، صورت‌ها صرفاً اعدادی بدون $x$ هستند و می‌توانیم آن‌ها را $A$ ، $B$ ، $C \dots$ بنامیم. بنابراین در این حالت داریم: $\frac{3 x + 1}{x^{2} - 1} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1} .$

اگر حالا جمع این دو کسر جزئی را انجام دهیم، $\frac{A (x - 1) + B (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ به‌دست می‌آید؛ و این باید برابر با $\frac{3 x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$ باشد. و از آن‌جا که مخرج‌ها در این دو عبارت یکسان هستند، صورت‌ها باید برابر باشند، که به ما می‌دهد: $3 x + 1 = A (x - 1) + B (x + 1) .$

اکنون، این یک معادله با دو مجهول است، و به نظر می‌رسد قبل از حل آن‌ها و یافتن $A$ و $B$ به یک معادله دیگر نیاز داریم. اما راه دیگری برای خروج از این دشواری وجود دارد. این معادله باید برای همه مقادیر $x$ برقرار باشد؛ بنابراین باید برای مقادیری از $x$ که باعث صفر شدن $x - 1$ و $x + 1$ می‌شوند نیز برقرار باشد، یعنی به ترتیب برای $x = 1$ و $x = - 1$ . اگر $x = 1$ قرار دهیم، داریم $4 = (A \times 0) + (B \times 2)$ ، پس $B = 2$ ؛ و اگر $x = - 1$ قرار دهیم، داریم $- 2 = (A \times - 2) + (B \times 0)$ ، پس $A = 1$ . با جایگذاری این مقادیر جدید به جای $A$ و $B$ در کسرهای جزئی، می‌یابیم که آن‌ها به $\frac{1}{x + 1}$ و $\frac{2}{x - 1}$ تبدیل می‌شوند؛ و کار تمام است.

مثال 13.2. به عنوان مثالی دیگر، کسر $\frac{4 x^{2} + 2 x - 14}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}$ را در نظر بگیریم.

مخرج وقتی که $x$ مقدار $1$ را بگیرد صفر می‌شود؛ بنابراین $x - 1$ یک عامل آن است، و بدیهی است که عامل دیگر $x^{2} + 4 x + 3$ خواهد بود؛¹ و این دوباره می‌تواند به $(x + 1) (x + 3)$ تجزیه شود. بنابراین می‌توانیم کسر را چنین بنویسیم: $\frac{4 x^{2} + 2 x - 14}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 3},$ که سه عامل جزئی می‌سازد.

با ادامه دادن مانند قبل، می‌یابیم $4 x^{2} + 2 x - 14 = A (x - 1) (x + 3) + B (x + 1) (x + 3) + C (x + 1) (x - 1) .$

حال، اگر $x = 1$ قرار دهیم، داریم: $- 8 = (A \times 0) + B (2 \times 4) + (C \times 0); یعنی، B = - 1.$

اگر $x = - 1$ ، داریم: $- 12 = A (- 2 \times 2) + (B \times 0) + (C \times 0); که نتیجه می‌دهد A = 3.$

اگر $x = - 3$ ، داریم: $16 = (A \times 0) + (B \times 0) + C (- 2 \times - 4); که نتیجه می‌دهد C = 2.$

بنابراین کسرهای جزئی عبارتند از: $\frac{3}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 3},$ که مشتق‌گیری از آن نسبت به $x$ بسیار ساده‌تر از عبارت پیچیده‌ای است که از آن به‌دست آمده است.

حالت دوم: وقتی مخرج شامل عامل‌های درجه دوم $(𝒂 𝒙^{2} + 𝒃 𝒙 + 𝒄)$ باشد و هیچ‌کدام تکراری نباشند²

اگر برخی از عامل‌های مخرج شامل جمله‌های $x^{2}$ باشند، و به راحتی قابل تجزیه به عامل‌ها نباشند، آنگاه صورت متناظر ممکن است یک جمله شامل $x$ ، علاوه بر یک عدد ساده، داشته باشد؛ و بنابراین ضروری می‌شود که این صورت مجهول را نه با نماد $A$ بلکه با $A x + B$ نشان دهیم؛ و بقیه محاسبات مانند قبل انجام شود.

مثال 13.3. برای نمونه امتحان کنید: $\begin{matrix} \frac{- x^{2} - 3}{(x^{2} + 1) (x + 1)} . \\ \frac{- x^{2} - 3}{(x^{2} + 1) (x + 1)} = \frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C}{x + 1}; \\ - x^{2} - 3 = (A x + B) (x + 1) + C (x^{2} + 1) . \end{matrix}$

با قرار دادن $x = - 1$ ، داریم $- 4 = C \times 2$ ؛ و $C = - 2$ ؛

بنابراین $- x^{2} - 3 = (A x + B) (x + 1) - 2 x^{2} - 2;$ و $x^{2} - 1 = A x (x + 1) + B (x + 1) .$

با قرار دادن $x = 0$ ، داریم $- 1 = B$ ؛
بنابراین $x^{2} - 1 = A x (x + 1) - x - 1; یا x^{2} + x = A x (x + 1);$ و $x + 1 = A (x + 1),$ پس $A = 1$ ، و کسرهای جزئی عبارتند از: $\frac{x - 1}{x^{2} + 1} - \frac{2}{x + 1} .$

مثال 13.4. به عنوان مثالی دیگر کسر $\frac{x^{3} - 2}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)} .$ را در نظر بگیرید.

داریم

در این حالت تعیین $A$ ، $B$ ، $C$ ، $D$ چندان آسان نیست. ساده‌تر آن است که به صورت زیر عمل کنیم: از آن‌جا که کسر داده شده و کسری که از جمع کسرهای جزئی به‌دست می‌آید برابرند و مخرج‌های یکسانی دارند، صورت‌ها نیز باید عیناً یکسان باشند. در چنین حالتی، و برای عبارات جبری مانند آن‌هایی که در اینجا با آن‌ها سروکار داریم، ضرایب توان‌های یکسان $x$ برابر و هم‌علامت هستند.

بنابراین، از آن‌جا که داریم $1 = A + C$ ؛ $0 = B + D$ (ضریب $x^{2}$ در عبارت سمت چپ صفر است)؛ $0 = 2 A + C$ ؛ و $- 2 = 2 B + D$ . در اینجا چهار معادله داریم که از آن‌ها به سادگی $A = - 1$ ؛ $B = - 2$ ؛ $C = 2$ ؛ $D = 0$ را به‌دست می‌آوریم؛ به طوری که کسرهای جزئی $\frac{2 (x + 1)}{x^{2} + 2} - \frac{x + 2}{x^{2} + 1}$ می‌شوند. این روش همواره قابل استفاده است؛ اما روشی که ابتدا نشان داده شد در مورد عامل‌های شامل $x$ تنها، سریع‌ترین خواهد بود.

حالت سوم: وقتی مخرج شامل عامل‌های درجه اول یا دوم باشد و برخی تکراری باشند

وقتی که در میان عامل‌های مخرج برخی به توانی رسیده باشند، باید امکان وجود کسرهای جزئی با مخرج‌های توان‌های مختلف آن عامل تا بالاترین توان را در نظر گرفت.

مثال 13.5. برای شکافتن کسر $\frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{(x + 1)^{2} (x - 2)}$ باید امکان وجود مخرج $x + 1$ و همچنین $(x + 1)^{2}$ و $(x - 2)$ را در نظر بگیریم.

امکان دارد تصور شود که، چون صورت کسری که مخرج آن $(x + 1)^{2}$ است ممکن است شامل جمله‌هایی بر حسب $x$ باشد، باید این را با نوشتن $A x + B$ برای صورت آن در نظر بگیریم، به طوری که $\frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{(x + 1)^{2} (x - 2)} = \frac{A x + B}{(x + 1)^{2}} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x - 2} .$ با این حال، اگر سعی کنیم $A$ ، $B$ ، $C$ و $D$ را در این حالت بیابیم، شکست می‌خوریم، زیرا چهار مجهول داریم و تنها سه رابطه بین آن‌ها برقرار است، در حالی که $\frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{(x + 1)^{2} (x - 2)} = \frac{x - 1}{(x + 1)^{2}} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 2} .$

اما اگر بنویسیم $\frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{(x + 1)^{2} (x - 2)} = \frac{A}{(x + 1)^{2}} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 2},$ داریم $3 x^{2} - 2 x + 1 = A (x - 2) + B (x + 1) (x - 2) + C (x + 1)^{2},$ که برای $x = 2$ نتیجه می‌دهد $C = 1$ . با جایگذاری $C$ با مقدارش، جابجا کردن، جمع‌آوری جمله‌های متشابه و تقسیم بر $x - 2$ ، داریم $- 2 x = A + B (x + 1)$ ، که برای $x = - 1$ نتیجه می‌دهد $A = - 2$ . با جایگذاری $A$ با مقدارش، داریم $2 x = - 2 + B (x + 1) .$

بنابراین $B = 2$ ؛ به طوری که کسرهای جزئی عبارتند از: $\frac{2}{x + 1} - \frac{2}{(x + 1)^{2}} + \frac{1}{x - 2},$ به جای $\frac{1}{x + 1} + \frac{x - 1}{(x + 1)^{2}} + \frac{1}{x - 2}$ که در بالا به عنوان کسرهایی ذکر شدند که $\frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{(x + 1)^{2} (x - 2)}$ از آن‌ها به‌دست آمده بود. این راز آشکار می‌شود اگر توجه کنیم که $\frac{x - 1}{(x + 1)^{2}}$ خود می‌تواند به دو کسر $\frac{1}{x + 1} - \frac{2}{(x + 1)^{2}}$ شکافته شود، به طوری که سه کسر داده شده واقعاً معادلند با $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{(x + 1)^{2}} + \frac{1}{x - 2} = \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{(x + 1)^{2}} + \frac{1}{x - 2},$ که همان کسرهای جزئی به‌دست آمده هستند.

همان‌طور که از مثال قبل می‌بینیم، کافی است برای هر صورت یک جمله عددی در نظر بگیریم، و این همواره کسرهای جزئی نهایی را به‌دست می‌دهد.

با این حال، وقتی در مخرج توانی از یک عامل $x^{2}$ وجود داشته باشد، صورت‌های متناظر باید به شکل $A x + B$ باشند.

مثال 13.6. $\frac{3 x - 1}{(2 x^{2} - 1)^{2} (x + 1)} = \frac{A x + B}{(2 x^{2} - 1)^{2}} + \frac{C x + D}{2 x^{2} - 1} + \frac{E}{x + 1},$

که نتیجه می‌دهد $3 x - 1 = (A x + B) (x + 1) + (C x + D) (x + 1) (2 x^{2} - 1) + E (2 x^{2} - 1)^{2} .$

برای $x = - 1$ ، این $E = - 4$ را می‌دهد. با جایگذاری، جابجا کردن، جمع‌آوری جمله‌های متشابه، و تقسیم بر $x + 1$ ، داریم $16 x^{3} - 16 x^{2} + 3 = 2 C x^{3} + 2 D x^{2} + x (A - C) + (B - D) .$

بنابراین $2 C = 16$ و $C = 8$ ؛ $2 D = - 16$ و $D = - 8$ ؛ $A - C = 0$ یا $A - 8 = 0$ و $A = 8$ ، و سرانجام، $B - D = 3$ یا $B = - 5$ . به طوری که کسرهای جزئی عبارتند از: $\frac{(8 x - 5)}{(2 x^{2} - 1)^{2}} + \frac{8 (x - 1)}{2 x^{2} - 1} - \frac{4}{x + 1} .$

بررسی نتایج به‌دست آمده مفید است. ساده‌ترین راه جایگذاری $x$ با یک مقدار تنها، مثلاً $+ 1$ ، هم در عبارت داده شده و هم در کسرهای جزئی به‌دست آمده است.

هرگاه مخرج تنها شامل توانی از یک عامل منفرد باشد، روش بسیار سریع به قرار زیر است:

مثال 13.7. برای مثال، با در نظر گرفتن $\frac{4 x + 1}{(x + 1)^{3}}$ ، فرض کنید $x + 1 = z$ ؛ آنگاه $x = z - 1$ .

با جایگذاری، داریم $\frac{4 (z - 1) + 1}{z^{3}} = \frac{4 z - 3}{z^{3}} = \frac{4}{z^{2}} - \frac{3}{z^{3}} .$

بنابراین کسرهای جزئی عبارتند از $\frac{4}{(x + 1)^{2}} - \frac{3}{(x + 1)^{3}} .$

کاربرد کسرهای جزئی در مشتق‌گیری

فرض کنید خواسته باشیم $y = \frac{5 - 4 x}{6 x^{2} + 7 x - 3}$ را مشتق بگیریم؛ داریم

اما اگر عبارت داده شده را به $\frac{1}{3 x - 1} - \frac{2}{2 x + 3},$ بشکنیم، به‌دست می‌آوریم $\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{(3 x - 1)^{2}} + \frac{4}{(2 x + 3)^{2}},$ که واقعاً همان نتیجه‌ای است که در بالا به کسرهای جزئی شکسته شد. اما شکافتن، اگر پس از مشتق‌گیری انجام شود، پیچیده‌تر است، چنان‌که به آسانی می‌توان دید. وقتی به مبحث انتگرال‌گیری چنین عباراتی بپردازیم، خواهیم دید که شکافتن به کسرهای جزئی کمکی ارزشمند خواهد بود (نگاه کنید به اینجا).

تمرین‌ها

به کسرهای جزئی تجزیه کنید

تمرین 13.1. $\frac{3 x + 5}{(x - 3) (x + 4)}$ .

پاسخ

$\frac{2}{x - 3} + \frac{1}{x + 4}$ .

راه‌حل

$\Rightarrow A (x + 4) + B (x - 3) = 3 x + 5 (*)$

For $x = 3$ , we get $7 A + B \times 0 = 3 \times 3 + 5 = 14$ $\Rightarrow A = 2$

Putting $x = - 4$ in (*), we get $0 \times A - 7 B = - 12 + 5 = - 7$ $\Rightarrow B = 1$ Therefore $\frac{3 x + 5}{(x - 3) (x + 4)} = \frac{2}{x - 3} + \frac{1}{x + 4}$

Exercise 13.2. $\frac{3 x - 4}{(x - 1) (x - 2)}$ .

Answer

$\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}$ .

Solution

$\frac{3 x - 4}{(x - 1) (x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}$

$\Rightarrow 3 x - 4 = A (x - 2) + B (x - 1) (*)$

Putting $x = 1$ in (*), we get $- 1 = A (- 1) + B \times 0$ $\Rightarrow A = 1$

Putting $x = 2$ in (*), we get $3 \times 2 - 4 = A \times 0 + B$ $\Rightarrow B = 2$

Therefore,

$\frac{3 x - 4}{(x - 1) (x - 2)} = \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}$

Exercise 13.3. $\frac{3 x + 5}{x^{2} + x - 12}$ .

Answer

$\frac{2}{x - 3} + \frac{1}{x + 4}$ .

Solution

$\frac{3 x + 5}{x^{2} + x - 12}$

Since $x^{2} + x - 12 = (x + 4) (x - 3)$ , we write

$\frac{3 x + 5}{x^{2} + x - 12} = \frac{A}{x + 4} + \frac{B}{x - 3}$ $\Rightarrow 3 x + 5 = A (x - 3) + B (x + 4) (*)$

Putting $x = - 4$ in (*), we get

$- 7 = A (- 7) \Rightarrow A = 1$

Putting $x = 3$ in (*), we get

$\begin{matrix} 14 = A \times 0 + 7 B \\ \Rightarrow B = 2 \end{matrix}$ $\frac{3 x + 5}{x^{2} + x - 12} = \frac{1}{x + 4} + \frac{2}{x - 3} .$

Exercise 13.4. $\frac{x + 1}{x^{2} - 7 x + 12}$ .

Answer

$\frac{5}{x - 4} - \frac{4}{x - 3}$ .

Solution

$\frac{x + 1}{x^{2} - 7 x + 12}$

Since $x^{2} - 7 x + 12 = (x - 4) (x - 3)$ $\frac{x + 1}{x^{2} - 7 x + 12} = \frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 3}$ $\Rightarrow x + 1 = A (x - 3) + B (x - 4) (*)$

Putting $x = 4$ in (*), we get $5 = A + 0 \Rightarrow A = 5$

Putting $x = 3$ in (*), we get $4 = 0 - B \Rightarrow B = - 4$

Therefore,

$\frac{x + 1}{x^{2} - 7 x + 12} = \frac{5}{x - 4} - \frac{4}{x - 3}$

Exercise 13.5. $\frac{x - 8}{(2 x + 3) (3 x - 2)}$ .

Answer

$\frac{19}{13 (2 x + 3)} - \frac{22}{13 (3 x - 2)}$ .

Solution

$\frac{x - 8}{(2 x + 3) (3 x - 2)} = \frac{A}{2 x + 3} + \frac{B}{3 x - 2}$ $\Rightarrow x - 8 = A (3 x - 2) + B (2 x + 3) (*)$

Putting $x = - \frac{3}{2}$ in (*), we get

$- \frac{19}{2} = - \frac{13}{2} A + 0$

$\Rightarrow A = \frac{19}{13}$

Putting $x = \frac{2}{3}$ in (*), we get

$\begin{matrix} - \frac{22}{3} = A \times 0 + B \times \frac{13}{3} \\ B = - \frac{22}{13} \end{matrix}$

Hence, $\frac{x - 8}{(2 x + 3) (3 x - 2)} = \frac{19}{13 (2 x + 3)} - \frac{22}{13 (3 x - 2)} .$

Exercise 13.6. $\frac{x^{2} - 13 x + 26}{(x - 2) (x - 3) (x - 4)}$ .

Answer

$\frac{2}{x - 2} + \frac{4}{x - 3} - \frac{5}{x - 4}$ .

Solution

$\frac{x^{2} - 13 x + 26}{(x - 2) (x - 3) (x - 4)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x - 4} .$ Thus $x^{2} - 13 x + 26 = A (x - 3) (x - 4) + B (x - 2) (x - 4) + C (x - 2) (x - 3) (*)$

Putting $x = 2$ in (*), we get $4 = A (- 1) (- 2) + 0 + 0$ $\Rightarrow A = 2$

Putting $x = 3$ in (*), we get

$- 4 = 0 + B (1) (- 1) + 0$ $\Rightarrow B = 4$

Putting $x = 4$ in (*), we get

$\begin{matrix} - 10 = 0 + 0 + C (2) (1) \\ \Rightarrow C = - 5 \end{matrix}$

Therefore,

$\frac{x^{2} - 13 x + 26}{(x - 2) (x - 3) (x - 4)} = \frac{2}{x - 2} + \frac{4}{x - 3} - \frac{5}{x - 4}$

Exercise 13.7. $\frac{x^{2} - 3 x + 1}{(x - 1) (x + 2) (x - 3)}$ .

Answer

$\frac{1}{6 (x - 1)} + \frac{11}{15 (x + 2)} + \frac{1}{10 (x - 3)}$ .

Solution

$\frac{x^{2} - 3 x + 1}{(x - 1) (x + 2) (x - 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 3}$ Therefore, $x^{2} - 3 x + 1 = A (x + 2) (x - 3) + B (x - 1) (x - 3) + C (x - 1) (x + 2) (*)$

Putting $x = 1$ in (*)

$\begin{matrix} - 1 = A \times 3 \times (- 2) + 0 + 0 \\ A = \frac{1}{6} \end{matrix}$

Putting $x = - 2$ in (*)

$\begin{matrix} 11 = 0 + B (- 3) (- 5) + 0 \\ B = \frac{11}{15} \end{matrix}$

Putting $x = 3$ in (*) $\begin{matrix} 1 = 0 + 0 + C (2) (5) \\ C = \frac{1}{10} \end{matrix}$

Thus

$\frac{x^{2} - 3 x + 1}{(x - 1) (x + 2) (x - 3)} = \frac{1}{6 (x - 1)} + \frac{11}{15 (x + 2)} + \frac{1}{10 (x - 3)}$

Exercise 13.8. $\frac{5 x^{2} + 7 x + 1}{(2 x + 1) (3 x - 2) (3 x + 1)}$ .

Answer

$\frac{7}{9 (3 x + 1)} + \frac{71}{63 (3 x - 2)} - \frac{5}{7 (2 x + 1)}$ .

Solution

$\frac{5 x^{2} + 7 x + 1}{(2 x + 1) (3 x - 2) (3 x + 1)} = \frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{3 x - 2} + \frac{C}{3 x + 1}$ Therefore, $5 x^{2} + 7 x + 1 = A (3 x - 2) (3 x + 1) + B (2 x + 1) (3 x + 1) + C (2 x + 1) (3 x - 2) (*)$

Putting $x = - \frac{1}{2}$ in (*), $- \frac{5}{4} = A (- \frac{7}{2}) (- \frac{1}{2}) + 0 + 0$

$\Rightarrow A = - \frac{5}{7}$

Putting $x = \frac{2}{3}$ in (*)

$\begin{matrix} \frac{71}{9} = 0 + B (\frac{7}{3}) (3) \\ \Rightarrow B = \frac{71}{63} \end{matrix}$

Putting $x = - \frac{1}{3}$ in (*)

$\begin{matrix} - \frac{7}{9} = 0 + 0 + C (\frac{1}{3}) (- 3) \\ \Rightarrow C = \frac{7}{9} \end{matrix}$

Therefore, $\frac{5 x^{2} + 7 x + 1}{(2 x + 1) (3 x - 2) (3 x + 1)} = - \frac{5}{7 (2 x + 1)} + \frac{71}{63 (3 x - 2)} + \frac{7}{9 (3 x + 1)}$

Exercise 13.9. $\frac{x^{2}}{x^{3} - 1}$ .

Answer

$\frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$ .

Solution

$\frac{x^{2}}{x^{3} - 1} = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ It follows that $x^{2} = A (x^{2} + x + 1) + (B x + C) (x - 1) (*)$ For $x = 1$ , we have $1 = A (3) + (B + C) (0)$ $\Rightarrow A = \frac{1}{3}$ Substituting $A = \frac{1}{3}$ in (*), expanding, and collecting like terms, we get Therefore, we must have $B + \frac{1}{3} = 1$ , $C - B + \frac{1}{3} = 0$ , and $- C + \frac{1}{3} = 0$ :

Therefore

$\frac{x^{2}}{x^{3} - 1} = \frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Exercise 13.10. $\frac{x^{4} + 1}{x^{3} + 1}$ .

Answer

$x + \frac{2}{3 (x + 1)} + \frac{1 - 2 x}{3 (x^{2} - x + 1)}$ .

Solution

$\frac{x^{4} + 1}{x^{3} + 1}$

Since the degree of the numerator is larger than the degree of the denominator, we do not have a proper fraction. We can divide the numerator by the denominator to get a proper fraction:

Therefore

$\frac{x^{4} + 1}{x^{3} + 1} = x + \frac{1 - x}{x^{3} + 1}$

Since $x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ , we write

$\frac{1 - x}{x^{3} + 1} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} - x + 1}$

$1 - x = A (x^{2} - x + 1) + (B x + C) (x + 1) (*)$

Putting $x = - 1$ in (*), we get $\begin{matrix} 2 = A (3) + (C - B) (0) \\ \Rightarrow A = \frac{2}{3} \end{matrix}$

Thus $1 - x = \frac{2}{3} (x^{2} - x + 1) + B x^{2} + B x + C x + C$ Expanding, and collecting like terms, we get $(\frac{2}{3} + B) x^{2} + (- \frac{2}{3} + 1 + B + C) x + C + \frac{2}{3} - 1 = 0$ We must have $\frac{2}{3} + B = 0$ , $- \frac{2}{3} + 1 + B + C = 0$ , and $C + \frac{2}{3} - 1 = 0$ :

$- \frac{2}{3} + 1 + B + C = - \frac{2}{3} + 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 0 (check)$

Therefore

$\frac{x^{4} + 1}{x^{3} + 1} = x + \frac{2}{3 (x + 1)} + \frac{1 - 2 x}{3 (x^{2} - x + 1)}$

Exercise 13.11. $\frac{5 x^{2} + 6 x + 4}{(x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

Answer

$\frac{3}{(x + 1)} + \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

Solution

$\frac{5 x^{2} + 6 x + 4}{(x + 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ $5 x^{2} + 6 x + 4 = A (x^{2} + x + 1) + (B x + C) (x + 1) (*)$

For $x = - 1$ , we have $3 = A (1) + (B x + C) (0)$ $\Rightarrow A = 3$ Substituting $A = 3$ in (*) leads to

Therefore

$\frac{5 x^{2} + 6 x + 4}{(x + 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{3}{x + 1} + \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1}$

Exercise 13.12. $\frac{x}{(x - 1) (x - 2)^{2}}$ .

Answer

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{(x - 2)^{2}}$ .

Solution

$\frac{x}{(x - 1) (x - 2)^{2}} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{(x - 2)^{2}}$

For every $x$ , we must have

$x = A (x - 2)^{2} + B (x - 1) (x - 2) + C (x - 1)$

For $x = 1$ ,

For $x = 2$ ,

$2 = 0 + 0 + C \Rightarrow C = 2$

Since no other value of $x$ will make any factor vanish, we choose a convenient value of $x$ to simplify the calculation. For example, for $x = 0$ , we get

$0 = 1 \times (0 - 2)^{2} + B (0 - 1) (0 - 2) + 2 (0 - 1)$

$0 = 4 + 2 B - 2 \Rightarrow B = - 1$

Therefore

$\frac{x}{(x - 1) (x - 2)^{2}} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{(x - 2)^{2}}$

Exercise 13.13. $\frac{x}{(x^{2} - 1) (x + 1)}$ .

Answer

$\frac{1}{4 (x - 1)} - \frac{1}{4 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x + 1)^{2}}$ .

Solution

$\frac{x}{(x^{2} - 1) (x + 1)} = \frac{x}{(x - 1) (x + 1)^{2}} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{(x + 1)^{2}}$

Therefore, for every $x$ , we must have

$x = A (x + 1)^{2} + B (x - 1) (x + 1) + C (x - 1)$

For $x = 1$

$1 = A \times 2^{2} + 0 + 0 \Rightarrow A = \frac{1}{4}$

For $x = - 1$

$- 1 = 0 + 0 + C (- 2) \Rightarrow C = \frac{1}{2}$

For $x = 0$

$0 = \frac{1}{4} \times (0 + 1)^{2} - B + \frac{1}{2} (- 1) \Rightarrow B = - \frac{1}{4}$

Hence $\frac{x}{(x^{2} - 1) (x + 1)} = \frac{1}{4 (x - 1)} - \frac{1}{4 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x + 1)^{2}}$

Exercise 13.14. $\frac{x + 3}{(x + 2)^{2} (x - 1)}$ .

Answer

$\frac{4}{9 (x - 1)} - \frac{4}{9 (x + 2)} - \frac{1}{3 (x + 2)^{2}}$ .

Solution

$\frac{x + 3}{(x + 2)^{2} (x - 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{(x + 2)^{2}}$

For every $x$ , we must have

$x + 3 = A (x + 2)^{2} + B (x - 1) (x + 2) + C (x - 1)$

For $x = 1$

$4 = 9 A + 0 + 0 \Rightarrow A = \frac{4}{9}$

For $x = - 2$

$1 = 0 + 0 + C (- 3) \Rightarrow C = - \frac{1}{3}$

A convenient choice for $x$ to simplify calculations is zero. But you can choose anther value for $x$ .

For $x = 0$

Hence

$\frac{x + 3}{(x + 2)^{2} (x - 1)} = \frac{4}{9 (x - 1)} - \frac{4}{9 (x + 2)} - \frac{1}{3 (x + 2)^{2}}$

Exercise 13.15. $\frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{(x + 2) (x^{2} + x + 1)^{2}}$ .

Answer

$\frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{1}{(x^{2} + x + 1)^{2}}$ .

Solution

$\frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{(x + 2) {(x^{2} + x + 1)}^{2}} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1} + \frac{D x + E}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

برای هر $x$ ، داریم $3 x^{2} + 2 x + 1 = A {(x^{2} + x + 1)}^{2} + (B x + E) (x^{2} + x + 1) (x + 2) + (D x + E) (x + 2)$

برای $x = - 2$ ، داریم

$9 = A \times 3^{2} + 0 + 0 \Rightarrow A = 1$

برای یافتن $B, C, D$ و $E$ ، چند مقدار مناسب از $x$ را انتخاب می‌کنیم. سپس سعی می‌کنیم دستگاه معادلات را حل کنیم.

برای $x = 0$

$\begin{matrix} 1 = 1 \times 1 + C (1) (2) + E (2) \\ \Rightarrow 2 C + 2 E = 0 \\ E = - C \end{matrix}$

برای $x = 1$ ،

برای $x = - 1$ ،

$\begin{matrix} 2 = 1 + (C - B) (1) (1) + (- C - D) (1) \\ B + D = - 1 \end{matrix}$

برای $x = 2$ ،

یا

${\begin{matrix} 9 B + 6 C + 3 D = - 3 \\ B + D = - 1 \\ 14 B + 6 C + 2 D = - 8 \end{matrix} \Rightarrow B = - 1, C = 1, D = 0$ بنابراین

$\frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{(x + 2) {(x^{2} + x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

تمرین 13.16. $\frac{5 x^{2} + 8 x - 12}{(x + 4)^{3}}$ .

پاسخ

$\frac{5}{x + 4} - \frac{32}{(x + 4)^{2}} + \frac{36}{(x + 4)^{3}}$ .

راه‌ حل

$\frac{5 x^{2} + 8 x - 12}{(x + 4)^{3}} = \frac{A}{x + 4} + \frac{B}{(x + 4)^{2}} + \frac{C}{(x + 4)^{3}}$

برای هر $x$ ، باید داشته باشیم

$5 x^{2} + 8 x - 12 = A (x + 4)^{2} + B (x + 4) + C$

برای $x = - 4$

$36 = 0 + 0 + C \Rightarrow C = 36$

برای $x = - 3$

$9 = A + B + 36 \Rightarrow A + B = - 27$

برای $x = 0$

$- 12 = 16 A + 4 B + 36 \Rightarrow 4 A + B = - 12$

${\begin{cases} A + B = - 27 \\ 4 A + B = - 12 \end{cases} \Rightarrow A = 5, B = - 32$

بنابراین

$\frac{5 x^{2} + 8 x - 12}{(x + 4)^{3}} = \frac{5}{x + 4} - \frac{32}{(x + 4)^{2}} + \frac{36}{(x + 4)^{3}}$

تمرین 13.17. $\frac{7 x^{2} + 9 x - 1}{(3 x - 2)^{4}}$ .

پاسخ

$\frac{7}{9 (3 x - 2)^{2}} + \frac{55}{9 (3 x - 2)^{3}} + \frac{73}{9 (3 x - 2)^{4}}$ .

راه‌ حل

قرار دهید $3 x - 2 = z$ ، آنگاه $x = \frac{1}{3} (z + 2)$ و $7 x^{2} + 9 x - 1 = \frac{1}{9} (7 z^{2} + 55 z + 73)$ بنابراین، $\frac{\frac{1}{9} (7 z^{2} + 55 z + 73)}{z^{4}} = \frac{A}{z} + \frac{B}{z^{2}} + \frac{C}{z^{3}} + \frac{D}{z^{4}}$

برای هر $z$ ، داریم

$\frac{1}{9} (7 z^{2} + 55 z + 73) = A z^{3} + B z^{2} + C z + D$

برای $z = 0$

$\frac{73}{9} = 0 + 0 + 0 + D \Rightarrow D = \frac{73}{9}$

برای $z = 1$

$\frac{135}{9} = A + B + C + \frac{73}{9}$ $\Rightarrow A + B + C = \frac{62}{9} E Q_{1}$

برای $z = - 1$

$\frac{25}{9} = - A + B - C + \frac{73}{9}$ $\Rightarrow - A + B - C = - \frac{16}{3} E Q_{2}$

برای $z = - 2$

$- 1 = - 8 A + 4 B - 2 C + \frac{73}{9}$ $\Rightarrow - 4 A + 2 B - C = - \frac{41}{9} E Q_{3}$

اگر $E Q_{1}$ و $E Q_{2}$ را با هم جمع کنیم، خواهیم داشت $2 B = \frac{14}{9} \Rightarrow B = \frac{7}{9}$

با جایگذاری $B = \frac{7}{9}$ در $E Q_{2}$ و $E Q_{3}$ ، خواهیم داشت و از یکی از این معادلات ساده شده، به دست می‌آوریم $C = \frac{55}{9}$

بنابراین

$A = 0, B = \frac{7}{9}, C = \frac{55}{9}, D = \frac{73}{9},$ و

$\frac{7 x^{2} + 9 x - 1}{(3 x - 2)^{4}} = \frac{7}{9 (3 x - 2)^{2}} + \frac{55}{9 (3 x - 2)^{3}} + \frac{73}{9 (3 x - 2)^{4}}$

تمرین 13.18. $\frac{x^{2}}{(x^{3} - 8) (x - 2)}$ .

پاسخ

$\frac{1}{6 (x - 2)} + \frac{1}{3 (x - 2)^{2}} - \frac{x}{6 (x^{2} + 2 x + 4)}$ .

راه‌ حل

به یاد آورید که $A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$ بنابراین می‌توانیم بنویسیم $x^{3} - 2^{3} = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ و در نتیجه $\frac{x^{2}}{(x^{3} - 8) (x - 2)} = \frac{x^{2}}{(x - 2)^{2} (x^{2} + 2 x + 4)}$ برای تجزیه عبارت داده شده به کسرها، می‌نویسیم $\frac{x^{2}}{(x - 2)^{2} (x^{2} + 2 x + 4)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{(x - 2)^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2 x + 4}$ برای هر $x$ ، داریم $x^{2} = A (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + B (x^{2} + 2 x + 4) + (C x + D) (x - 2)^{2}$ برای $x = 2$ : $4 = 0 + 12 B + 0 \Rightarrow B = \frac{1}{3}$ با دانستن $B = \frac{1}{3}$ ، برای $x = 0$ : $0 = A (- 2) (4) + \frac{4}{3} + 4 D$

$\Rightarrow - 2 A + D = - \frac{1}{3} E Q_{1}$

با دانستن $B = \frac{1}{3}$ ، برای $x = 1$ : $1 = A (- 1) (7) + \frac{7}{3} + (C + D)$

$\Rightarrow - 7 A + C + D = - \frac{4}{3} E Q_{2}$

به طور مشابه برای $x = - 1$ : $1 = A (- 3) (3) + 1 + 9 (D - C)$

$\Rightarrow - A - C + D = 0 E Q_{3}$

$E Q_{2} + E Q_{3} - 2 E Q_{1}$ برابر است با $- 4 A + 0 C + 0 D = - \frac{2}{3}$

$\Rightarrow A = \frac{1}{6}$

از آنجایی که $- 2 A + D = - \frac{1}{3}$ ، بنابراین $D = 0$ با توجه به اینکه $- A - C + D = 0$ ، $A = \frac{1}{6}$ و $D = 0$ ، به دست می‌آوریم $C = - \frac{1}{6} .$ بنابراین، $\frac{x^{2}}{(x - 2)^{2} (x^{2} + 2 x + 4)} = \frac{1}{6 (x - 2)} + \frac{1}{3 (x - 2)^{2}} - \frac{x}{6 (x^{2} + 2 x + 4)}$

مشتق تابع وارون

تابع $y = 3 x$ را در نظر بگیرید؛ می‌توان آن را به صورت $x = \frac{y}{3}$ بیان کرد؛ این شکل اخیر را تابع وارون تابع اصلی داده شده می‌نامند.

اگر $y = 3 x$ ، $\frac{d y}{d x} = 3$ ؛ اگر $x = \frac{y}{3}$ ، $\frac{d x}{d y} = \frac{1}{3}$ ، و می‌بینیم که $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}} or \frac{d y}{d x} \times \frac{d x}{d y} = 1.$

تابع $y = 4 x^{2}$ را در نظر بگیرید (برای $x \geq 0$ )، $\frac{d y}{d x} = 8 x$ ؛ تابع وارون عبارت است از $x = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2}, and \frac{d x}{d y} = \frac{1}{4 \sqrt{y}} = \frac{1}{4 \times 2 x} = \frac{1}{8 x} .$

در اینجا نیز $\frac{d y}{d x} \times \frac{d x}{d y} = 1.$

می‌توان نشان داد که برای تمام توابعی که می‌توانند به فرم وارون نوشته شوند، همواره می‌توان نوشت $\frac{d y}{d x} \times \frac{d x}{d y} = 1$ $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}} .$

نتیجه می‌شود که اگر تابعی داده شده باشد و مشتق‌گیری از تابع وارون آسان‌تر باشد، می‌توان این کار را انجام داد، و معکوس مشتق تابع وارون، مشتق خود تابع داده شده را به دست می‌دهد.

مثال 13.8. فرض کنید می‌خواهیم از $y = \sqrt{\frac{3}{x} - 1}$ مشتق بگیریم.

یک روش برای انجام این کار را دیده‌ایم، با نوشتن $u = \frac{3}{x} - 1$ و یافتن $\frac{d y}{d u}$ و $\frac{d u}{d x}$ . این به ما می‌دهد $\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{2 x^{2} \sqrt{\frac{3}{x} - 1}} .$

اگر نحوه انجام این روش را فراموش کرده‌ایم، یا می‌خواهیم نتیجه خود را با روش دیگری برای به دست آوردن مشتق بررسی کنیم، یا به هر دلیل دیگری نمی‌توانیم از روش معمولی استفاده کنیم، می‌توانیم به صورت زیر عمل کنیم: تابع وارون³ عبارت است از $x = \frac{3}{1 + y^{2}}$ . $\frac{d x}{d y} = - \frac{3 \times 2 y}{(1 + y^{2})^{2}} = - \frac{6 y}{(1 + y^{2})^{2}};$

بنابراین $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}} = - \frac{(1 + y^{2})^{2}}{6 y} = - \frac{{(1 + \frac{3}{x} - 1)}^{2}}{6 \sqrt{\frac{3}{x} - 1}} = - \frac{3}{2 x^{2} \sqrt{\frac{3}{x} - 1}} .$

مثال 13.9. به عنوان مثالی دیگر، در نظر بگیرید

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{θ + 5}} .$

تابع وارون $θ = \frac{1}{y^{3}} - 5$ یا $θ = y^{- 3} - 5$ است، و $\frac{d θ}{d y} = - 3 y^{- 4} = - 3 \sqrt[3]{(θ + 5)^{4}} .$

نتیجه می‌شود که $\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 \sqrt{(θ + 5)^{4}}}$ ، همان‌طور که ممکن بود از راه دیگری نیز به دست آید.

این شگرد را بعداً بسیار مفید خواهیم یافت؛ در عین حال توصیه می‌شود با تأیید نتایج به‌دست‌آمده در تمرین‌های 5، 6، 7 فصل قانون توان؛ مثال‌های 9.1، 9.2، 9.4؛ و تمرین‌های 1، 2، 3 و 4 فصل قانون زنجیره‌ای، با آن آشنا شوید.

از این فصل و فصل قبل به یقین پی خواهید برد که حساب دیفرانسیل و انتگرال از بسیاری جهات یک هنر است تا یک علم: هنری که تنها، مانند همه هنرهای دیگر، با تمرین به دست می‌آید. بنابراین باید مثال‌های زیادی را حل کنید و مثال‌های دیگری را برای خود طرح کنید تا ببینید می‌توانید آن‌ها را حل کنید، تا زمانی که شگردهای مختلف بر اثر استفاده برایتان آشنا شوند.