نرخ‌های تغییر. سرعت و شتاب

برخی از مهم‌ترین مسائل حسابان آن‌هایی هستند که در آن‌ها زمان متغیر مستقل است و ما باید به مقادیر کمیت دیگری فکر کنیم که با تغییر زمان تغییر می‌کند. برخی چیزها با گذشت زمان بزرگتر می‌شوند؛ برخی چیزهای دیگر کوچکتر می‌شوند. مسافتی که یک قطار از نقطه شروع خود طی کرده است با گذشت زمان پیوسته افزایش می‌یابد. درختان با گذشت سال‌ها بلندتر می‌شوند. کدام یک با نرخ بیشتری رشد می‌کند؛ گیاهی به ارتفاع $12$ اینچ که در یک ماه به ارتفاع $14$ اینچ می‌رسد، یا درختی به ارتفاع $12$ فوت که در یک سال به ارتفاع $14$ فوت می‌رسد؟

در این فصل ما از واژه نرخ بسیار استفاده خواهیم کرد. هیچ ربطی به نرخ مالیات فقرا یا نرخ آب ندارد (جز اینکه حتی در اینجا هم این واژه یک نسبت—یک نسبت—را به ذهن متبادر می‌کند: تعدادی پنی در هر پوند). حتی ربطی به نرخ تولد یا نرخ مرگ ندارد، هرچند این عبارات تعداد تولدها یا مرگ‌ها در هر هزار نفر جمعیت را نشان می‌دهند. وقتی خودرویی با سرعت از کنارمان می‌گذرد، می‌گوییم: چه نرخ وحشتناکی! وقتی یک ولخرج پولش را به باد می‌دهد، می‌گوییم که آن جوان با نرخ شگفت‌آوری زندگی می‌کند. منظورمان از نرخ چیست؟ در هر دوی این موارد، ما در حال مقایسه ذهنی چیزی هستیم که اتفاق می‌افتد و مدت زمانی که وقوع آن طول می‌کشد. اگر خودرو با سرعت $40$ یارد در ثانیه از کنار ما بگذرد، یک محاسبه ذهنی ساده نشان خواهد داد که این معادل—تا زمانی که ادامه دارد—با نرخ $2400$ یارد در دقیقه، یا حدود $82$ مایل در ساعت است.¹

حال به چه معنا این گفته صحیح است که سرعت $40$ یارد در ثانیه با $2400$ یارد در دقیقه یکسان است؟ چهل یارد با $2400$ یارد یکسان نیست، یک ثانیه هم با یک دقیقه یکسان نیست. منظور ما از اینکه می‌گوییم نرخ یکسان است، این است که نسبت بین مسافت طی شده و زمان صرف شده برای طی آن، در هر دو حالت یکسان است.

مثال دیگری را در نظر بگیرید. یک مرد ممکن است تنها چند پوند در اختیار داشته باشد، و با این حال بتواند با نرخ میلیون‌ها پوند در سال پول خرج کند—به شرطی که فقط برای چند دقیقه با آن نرخ به خرج کردن ادامه دهد. فرض کنید شما یک شیلینگ روی پیشخوان می‌دهید تا بهای کالایی را بپردازید؛ و فرض کنید این عملیات دقیقاً یک ثانیه طول بکشد. آنگاه، در طول آن عملیات کوتاه، شما پول خود را با نرخ $1$ شیلینگ² در ثانیه از دست می‌دهید، که همان نرخ £$3$ در دقیقه، یا £$180$ در ساعت، یا £$4320$ در روز، یا £$1,576,800$ در سال است! اگر شما £$10$ در جیب داشته باشید، می‌توانید فقط برای $5\frac{1}{4}$ دقیقه با نرخ یک میلیون در سال پول خرج کنید.

اکنون سعی کنید برخی از این ایده‌ها را به نمادگذاری دیفرانسیلی بیان کنید.

در اینجا بگذارید $y$ نمایانگر پول، و $t$ نمایانگر زمان باشد.

اگر شما در حال خرج کردن پول هستید، و مقداری که در یک بازه زمانی کوتاه $dt$ خرج می‌کنید $dy$ نامیده شود، نرخ خرج کردن آن ${\displaystyle \frac{dy}{dt}}$ خواهد بود، یا بهتر است با علامت منفی نوشته شود، به صورت $-{\displaystyle \frac{dy}{dt}}$، زیرا $dy$ یک کاهش است، نه افزایش. اما پول مثال خوبی برای حسابان نیست، زیرا معمولاً به صورت جهشی وارد و خارج می‌شود، نه با یک جریان پیوسته—شما ممکن است £$200$ در سال درآمد داشته باشید، اما این پول تمام روز به صورت جریانی باریک سرازیر نمی‌شود؛ تنها به صورت هفتگی، ماهانه یا سه‌ماهه، به صورت توده‌ای وارد می‌شود: و مخارج شما نیز با پرداخت‌های ناگهانی خارج می‌شود.

یک نمونه مناسب‌تر برای مفهوم نرخ، سرعت یک جسم متحرک است. از لندن (ایستگاه یوستون) تا لیورپول $200$ مایل است. اگر قطاری ساعت $7$ لندن را ترک کند، و ساعت $11$ به لیورپول برسد، می‌دانید که چون $200$ مایل را در $4$ ساعت طی کرده است، نرخ متوسط آن باید $50$ مایل در ساعت بوده باشد؛ زیرا $\frac{200}{4}=\frac{50}{1}$. در اینجا شما واقعاً در حال مقایسه ذهنی بین مسافت طی شده و زمان صرف شده برای طی آن هستید. شما یکی را بر دیگری تقسیم می‌کنید. اگر $y$ کل مسافت، و $t$ کل زمان باشد، واضح است که نرخ متوسط برابر با ${\displaystyle \frac{y}{t}}$ است. اکنون سرعت در تمام مسیر واقعاً ثابت نبود: در شروع، و هنگام کاهش سرعت در انتهای سفر، سرعت کمتر بود. احتمالاً در بخشی، وقتی قطار سراشیبی حرکت می‌کرد، سرعت بیش از $60$ مایل در ساعت بوده است. اگر در طول هر عنصر زمانی مشخص $dt$، عنصر متناظر مسافت طی شده $dy$ باشد، آنگاه در آن بخش از سفر سرعت ${\displaystyle \frac{dy}{dt}}$ بوده است. نرخی که در آن یک کمیت (در این مثال، مسافت) نسبت به کمیت دیگر (در این مورد، زمان) تغییر می‌کند، با بیان مشتق یکی نسبت به دیگری به درستی بیان می‌شود. سرعت، به بیان علمی، نرخی است که در آن یک مسافت بسیار کوچک در هر جهت معین طی می‌شود؛ و بنابراین می‌توان آن را به صورت $$v=\frac{dy}{dt}.$$ نوشت.

اما اگر سرعت $v$ یکنواخت نباشد، آنگاه یا باید در حال افزایش یا کاهش باشد. نرخ افزایش سرعت شتاب نامیده می‌شود. اگر یک جسم متحرک، در یک لحظه خاص، سرعت اضافی $dv$ را در یک عنصر زمانی $dt$ کسب کند، آنگاه شتاب $a$ در آن لحظه را می‌توان به صورت $$a=\frac{dv}{dt};$$ نوشت؛ اما $dv$ خود $d\left({\displaystyle \frac{dy}{dt}}\right)$ است. بنابراین می‌توانیم قرار دهیم $$a=\frac{d\left({\displaystyle \frac{dy}{dt}}\right)}{dt};$$ و این معمولاً به صورت $a={\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{t}^2}}$ نوشته می‌شود؛ یا شتاب، مشتق دوم مسافت نسبت به زمان است. شتاب به صورت تغییر سرعت در واحد زمان بیان می‌شود، مثلاً به صورت چند فوت در ثانیه در ثانیه؛ نماد استفاده شده $\text{feet}/{\text{second}}^2$ است.

وقتی یک قطار تازه شروع به حرکت می‌کند، سرعت $v$ آن کم است؛ اما به سرعت در حال افزایش سرعت است—با تلاش لوکوموتیو شتاب می‌گیرد. بنابراین ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{t}^2}}$ آن بزرگ است. وقتی به حداکثر سرعت خود رسید، دیگر شتاب نمی‌گیرد، بنابراین ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{t}^2}}$ به صفر کاهش یافته است. اما وقتی به محل توقف نزدیک می‌شود سرعتش شروع به کاهش می‌کند؛ حتی ممکن است اگر ترمزها کشیده شوند بسیار سریع کاهش یابد، و در طول این دوره کاهش شتاب یا کند شدن، مقدار ${\displaystyle \frac{dv}{dt}}$، یعنی ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{t}^2}}$ منفی خواهد بود.

برای شتاب دادن به یک جرم $m$ اعمال پیوسته نیرو لازم است. نیروی لازم برای شتاب دادن به یک جرم با جرم متناسب است، و همچنین با شتابی که به آن داده می‌شود متناسب است. بنابراین می‌توانیم برای نیروی $f$ عبارت $$f=ma;$$ یا $$f=m\frac{dv}{dt};$$ یا $$f=m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}.$$ را بنویسیم.

حاصلضرب جرم در سرعتی که با آن حرکت می‌کند تکانه نامیده می‌شود، و به صورت نمادین $mv$ است. اگر تکانه را نسبت به زمان مشتق بگیریم، ${\displaystyle \frac{d(mv)}{dt}}$ برای نرخ تغییر تکانه به دست خواهد آمد. اما، چون $m$ یک کمیت ثابت است، این را می‌توان به صورت $m{\displaystyle \frac{dv}{dt}}$ نوشت، که در بالا دیدیم با $f$ یکسان است. به عبارت دیگر، نیرو می‌تواند یا به صورت جرم ضربدر شتاب، یا به صورت نرخ تغییر تکانه بیان شود.

دوباره، اگر نیرویی برای حرکت دادن چیزی (در مقابل نیروی متقابل برابر و مخالف) به کار رود، کار انجام می‌دهد؛ و مقدار کار انجام شده با حاصلضرب نیرو در مسافتی (در جهت خودش) که نقطه اثر آن به جلو حرکت می‌کند اندازه‌گیری می‌شود. بنابراین اگر نیروی $f$ در طول مسافت $y$ به جلو حرکت کند، کار انجام شده (که می‌توانیم آن را $w$ بنامیم) برابر با $$w=f\times y;$$ خواهد بود، که در آن $f$ را نیروی ثابت در نظر می‌گیریم. اگر نیرو در بخش‌های مختلف گستره $y$ تغییر کند، آنگاه باید بیانی برای مقدار آن از نقطه‌ای به نقطه دیگر پیدا کنیم. اگر $f$ نیرو در طول عنصر کوچک $dy$ باشد، مقدار کار انجام شده $f\times dy$ خواهد بود. اما چون $dy$ فقط یک عنصر طول است، تنها یک عنصر کار انجام می‌شود. اگر $w$ را برای کار بنویسیم، آنگاه یک عنصر کار $dw$ خواهد بود؛ و داریم $$dw=f\times dy;$$ که می‌توان نوشت $$dw=ma\cdot dy;$$ یا $$dw=m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\cdot dy;$$ یا $$dw=m\frac{dv}{dt}\cdot dy.$$ علاوه بر این، می‌توانیم عبارت را جابجا کرده و بنویسیم $$\frac{dw}{dy}=f.$$

این به ما تعریف سومی از نیرو می‌دهد؛ که اگر برای ایجاد جابجایی در هر جهتی به کار رود، نیرو (در آن جهت) برابر است با نرخ انجام کار در واحد طول در آن جهت. در این جمله آخر واژه نرخ واضح است که نه به معنای زمانی، بلکه به معنای نسبت یا تناسب به کار رفته است.

سر آیزاک نیوتن، که (همراه با گوتفرید ویلهلم لایبنیتز) یکی از ابداع‌کنندگان روش‌های حسابان بود، تمام کمیت‌های متغیر را در حال شارش در نظر می‌گرفت؛ و نسبتی را که امروز مشتق می‌نامیم، او نرخ شارش، یا فلاکسیون کمیت مورد نظر می‌دانست. او از نمادگذاری $dy$ و $dx$ و $dt$ (که مربوط به لایبنیتز بود) استفاده نمی‌کرد، بلکه به جای آن نمادگذاری خاص خود را داشت. اگر $y$ کمیتی متغیر یا “شارنده” بود، آنگاه نماد او برای نرخ تغییرش (یا “فلاکسیون”) $\dot{y}$ بود. اگر $x$ متغیر بود، فلاکسیون آن با $\dot{x}$ نشان داده می‌شد. نقطه روی حرف نشان می‌داد که مشتق گرفته شده است. در فیزیک، این نمادگذاری هنوز به کار می‌رود، اما منحصراً در جایی که زمان متغیر مستقل است. در آن صورت، $\dot{y}$ به معنی ${\displaystyle \frac{dy}{dt}}$ و $\dot{u}$ به معنی ${\displaystyle \frac{du}{dt}}$ خواهد بود؛ و $\ddot{x}$ به معنی ${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}}$.

با اتخاذ این نمادگذاری فلاکسیونی می‌توانیم معادلات مکانیکی که در پاراگراف‌های قبل بررسی شد را به صورت زیر بنویسیم:

مثال‌ها

مثال 8.1. جسمی به گونه‌ای حرکت می‌کند که مسافت $x$ (بر حسب فوت) که از نقطه معین $O$ طی می‌کند (شکل زیر را ببینید)، با رابطه $x=0.2t^2+10.4$ داده می‌شود، که در آن $t$ زمان بر حسب ثانیه سپری شده از یک لحظه معین است. (الف) سرعت و شتاب را $5$ ثانیه پس از شروع حرکت جسم بیابید. (ب) مقادیر متناظر را وقتی مسافت طی شده $100$ فوت است پیدا کنید. (ج) همچنین سرعت متوسط را در طول $10$ ثانیه اول حرکت آن محاسبه کنید. (فرض کنید مسافت‌ها و حرکت به سمت راست مثبت باشند.)

راه‌حل. اکنون $$\begin{array}{c}x=0.2t^2+10.4\\ v=\dot{x}=\frac{dx}{dt}=0.4t;\text{and}a=\ddot{x}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=0.4=\text{constant.}\end{array}$$

نمودارهای $x$، $v$ و $a$ بر حسب $t$ در زیر نشان داده شده‌اند.

هنگامی که $t=0$، $x=10.4$ و $v=0$ است. جسم از نقطه‌ای به فاصله $10.4$ فوت در سمت راست نقطه $O$ شروع به حرکت کرده است؛ و زمان از لحظه شروع حرکت جسم محاسبه شده است.

(الف) وقتی $t=5$، $v=0.4\times 5=2\text{ft/s}$؛ $a=0.4{\text{ft/s}}^2$.

(ب) وقتی $x=100$، $100=0.2t^2+10.4$، یا $t^2=448$، و $t=21.17\text{s}$؛ $v=0.4\times 21.17=8.468\text{ft/s}$

(ج) وقتی $t=10$، $$\begin{array}{c}\text{distance travelled}=0.2\times {10}^2+10.4-10.4=20\text{ft.}\\ \text{Average velocity}=\frac{20}{10}=2\text{ft/s.}\end{array}$$

(این همان سرعتی است که در وسط بازه، $t=5$ وجود دارد؛ زیرا با توجه به ثابت بودن شتاب، سرعت به طور یکنواخت از صفر در $t=0$ تا $4\text{ft/s}$ در $t=10$ ثانیه تغییر کرده است.)

(ج) برای یافتن مسافت طی‌شده در طول $10$ ثانیه اول حرکت، باید دانست که جسم هنگام شروع چقدر از نقطه $O$ فاصله داشته است.

وقتی $t=-7.5$، $$x=0.2\times (-7.5{)}^2-3\times 7.5+10.4=-0.85\text{ft}$$ یعنی $0.85$ فوت به سمت چپ نقطه $O$.

حال، وقتی $t=2.5$، $$x=0.2\times {2.5}^2+3\times 2.5+10.4=19.15.$$

بنابراین، در $10$ ثانیه، مسافت طی‌شده برابر است با $19.15+0.85=20$ فوت، و $$\text{the average velocity }=\frac{20}{10}=2\text{ ft/s}.$$