معنای هندسی مشتق‌گیری

در نظر گرفتن اینکه چه معنای هندسی می‌توان به مشتق داد، مفید است.

در وهله اول، هر تابعی از $x$، مانند $x^2$، یا $\sqrt{x}$، یا $ax+b$، می‌تواند به صورت یک منحنی رسم شود؛ و امروزه بسیاری از دانشجویان با فرایند رسم منحنی آشنا هستند. ابزارهای مختلفی برای رسم منحنی‌ها در دسترس است، مانند ماشین‌حساب‌های نموداری، Wolfram Alpha،¹ MATLAB، Python، یا حتی Microsoft Excel.

فرض کنید $PQR$، در شکل بعدی، بخشی از یک منحنی باشد که نسبت به محورهای $x$ و $y$ رسم شده است. هر نقطه $Q$ روی این منحنی را با مختصات $(x,y)$ در نظر بگیرید (یعنی طول نقطه $x$ و عرض آن $y$ است).

حال مشاهده کنید که $y$ چگونه با تغییر $x$ تغییر می‌کند. اگر $x$ با یک افزایش کوچک $dx$ به سمت راست افزایش یابد، مشاهده خواهد شد که $y$ نیز (در این منحنی خاص) با یک افزایش کوچک $dy$ افزایش می‌یابد (زیرا این منحنی خاص اتفاقاً یک منحنی صعودی است). آنگاه نسبت $dy$ به $dx$ معیاری از درجه شیب منحنی به سمت بالا بین دو نقطه $Q$ و $T$ است. در واقع، در شکل می‌توان دید که منحنی بین $Q$ و $T$ شیب‌های مختلف زیادی دارد، به طوری که نمی‌توان به خوبی از شیب منحنی بین $Q$ و $T$ صحبت کرد. با این حال، اگر $Q$ و $T$ آنقدر به هم نزدیک باشند که بخش کوچک $QT$ از منحنی عملاً مستقیم باشد، آنگاه درست است که بگوییم نسبت ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ شیب منحنی در امتداد $QT$ است. خط مستقیم $QT$ که از هر دو طرف امتداد یابد، منحنی را فقط در امتداد بخش $QT$ لمس می‌کند، و اگر این بخش به طور نامحدود کوچک باشد، خط مستقیم منحنی را عملاً فقط در یک نقطه لمس خواهد کرد، و بنابراین یک مماس بر منحنی خواهد بود.

این مماس بر منحنی به وضوح همان شیب $QT$ را دارد، به طوری که ${\displaystyle \frac{𝒅𝒚}{𝒅𝒙}}$ شیب مماس بر منحنی در نقطه $Q$ است که مقدار ${\displaystyle \frac{𝒅𝒚}{𝒅𝒙}}$ برای آن یافت می‌شود.

دیده‌ایم که عبارت کوتاه «شیب یک منحنی» معنای دقیقی ندارد، زیرا یک منحنی شیب‌های زیادی دارد—در واقع، هر بخش کوچک از یک منحنی شیب متفاوتی دارد. با این حال، «شیب یک منحنی در یک نقطه» یک چیز کاملاً تعریف‌شده است؛ این شیب یک بخش بسیار کوچک از منحنی است که دقیقاً در آن نقطه قرار دارد؛ و دیده‌ایم که این همان «شیب مماس بر منحنی در آن نقطه» است.

توجه کنید که $dx$ یک گام کوتاه به سمت راست است، و $dy$ گام کوتاه متناظر به سمت بالا. این گام‌ها باید تا حد امکان کوتاه در نظر گرفته شوند—در واقع به طور نامحدود کوتاه—هرچند در نمودارها مجبوریم آن‌ها را با قطعاتی نشان دهیم که بی‌نهایت کوچک نیستند، وگرنه دیده نمی‌شدند.

در ادامه از این موضوع که ${\displaystyle \frac{𝒅𝒚}{𝒅𝒙}}$ نشان‌دهنده شیب منحنی در هر نقطه است، استفاده قابل توجهی خواهیم کرد.

اگر یک منحنی در یک نقطه خاص با زاویه ${45}^{\circ }$ شیب صعودی داشته باشد، مانند شکل بعدی، $dy$ و $dx$ برابر خواهند بود، و مقدار ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=1$.

اگر منحنی تندتر از ${45}^{\circ }$ شیب صعودی داشته باشد (شکل بعدی)، ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ بزرگتر از $1$ خواهد بود.

اگر منحنی بسیار ملایم شیب صعودی داشته باشد، مانند شکل بعدی، ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ کسری کوچکتر از $1$ خواهد بود.

برای یک خط افقی، یا یک مکان افقی در یک منحنی، $dy=0$، و بنابراین ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=0$.

اگر یک منحنی شیب نزولی داشته باشد، مانند شکل بعدی، $dy$ یک گام به پایین خواهد بود، و بنابراین باید با مقدار منفی در نظر گرفته شود؛ از این رو ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ نیز علامت منفی خواهد داشت.

اگر «منحنی» اتفاقاً یک خط مستقیم باشد، مانند آنچه در شکل زیر آمده است، مقدار ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ در تمام نقاط آن یکسان خواهد بود. به عبارت دیگر شیب آن ثابت است.

اگر منحنی‌ای باشد که هرچه به سمت راست می‌رود بیشتر به سمت بالا می‌چرخد، مقادیر ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ با افزایش تندی، بزرگ و بزرگتر خواهند شد، مانند شکل زیر.

اگر منحنی‌ای باشد که هرچه جلو می‌رود مسطح‌تر و مسطح‌تر می‌شود، مقادیر ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ با رسیدن به بخش مسطح‌تر، کوچک و کوچکتر خواهند شد، مانند شکل بعدی.

اگر یک منحنی ابتدا نزول کند، و سپس دوباره بالا رود، مانند شکل بعدی، که یک تقعر رو به بالا ارائه می‌دهد، آنگاه به وضوح ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ ابتدا منفی خواهد بود، با مقادیر کاهشی هم‌زمان با مسطح شدن منحنی، سپس در نقطه‌ای که به انتهای فرورفتگی منحنی می‌رسیم صفر خواهد بود؛ و از این نقطه به بعد ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ مقادیر مثبتی خواهد داشت که افزایش می‌یابند. در چنین حالتی گفته می‌شود که $y$ از یک کمینه عبور می‌کند. مقدار کمینه $y$ لزوماً کوچکترین مقدار $y$ نیست، بلکه آن مقدار $y$ متناظر با انتهای فرورفتگی است؛ برای مثال، در شکل بعدی، مقدار $y$ متناظر با انتهای فرورفتگی $1$ است، در حالی که $y$ در جاهای دیگر مقادیری کوچکتر از این می‌گیرد. ویژگی یک کمینه این است که $y$ باید در هر دو طرف آن افزایش یابد.

توجه—برای مقدار خاص $x$ که $y$ را یک کمینه می‌کند، مقدار ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=0$.

اگر یک منحنی ابتدا صعود کند و سپس نزول کند، مقادیر ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ ابتدا مثبت خواهند بود؛ سپس با رسیدن به قله، صفر؛ سپس با شیب نزولی منحنی، منفی، مانند شکل بعدی. در این حالت گفته می‌شود که $y$ از یک بیشینه عبور می‌کند، اما مقدار بیشینه $y$ لزوماً بزرگترین مقدار $y$ نیست. در شکل بالا، بیشینه $y$ برابر $2\frac{1}{3}$ است، اما این به هیچ وجه بزرگترین مقداری نیست که $y$ می‌تواند در نقطه دیگری از منحنی داشته باشد.

توجه—برای مقدار خاص $x$ که $y$ را یک بیشینه می‌کند، مقدار ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=0$.

اگر یک منحنی شکل خاص شکل زیر را داشته باشد، مقادیر ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ همیشه مثبت خواهند بود؛ اما یک مکان خاص وجود خواهد داشت که شیب در آن کمترین تندی را دارد، جایی که مقدار ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ یک کمینه خواهد بود؛ یعنی کمتر از هر بخش دیگری از منحنی.

اگر یک منحنی شکل شکل زیر را داشته باشد، مقدار ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ در بخش بالایی منفی، و در بخش پایینی مثبت خواهد بود؛ در حالی که در نوک منحنی جایی که عملاً عمود می‌شود، مقدار ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ بی‌نهایت بزرگ خواهد بود.

به طور خلاصه:

اکنون که می‌دانیم ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ تندی یک منحنی را در هر نقطه اندازه‌گیری می‌کند، بیایید به برخی از معادلاتی بپردازیم که قبلاً یاد گرفته‌ایم چگونه مشتق بگیریم.

مثال 1.

مثال 10.1. به عنوان ساده‌ترین حالت این را در نظر بگیرید: $$y=x+b.$$

این در شکل زیر رسم شده است، با استفاده از مقیاس‌های مساوی برای $x$ و $y$. اگر $x=0$ قرار دهیم، آنگاه عرض متناظر $y=b$ خواهد بود؛ به عبارت دیگر، «منحنی» محور $y$ را در ارتفاع $b$ قطع می‌کند. از اینجا با زاویه ${45}^{\circ }$ صعود می‌کند؛ زیرا هر مقادیری که به $x$ در سمت راست بدهیم، یک $y$ مساوی برای صعود داریم. این خط دارای شیب $1$ در $1$ است.

حال $y=x+b$ را با قواعدی که قبلاً یاد گرفته‌ایم مشتق بگیرید، و ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=1$ به دست می‌آید.

شیب خط به گونه‌ای است که به ازای هر گام کوچک $dx$ به سمت راست، یک گام کوچک مساوی $dy$ به سمت بالا می‌رویم. و این شیب ثابت است—همواره همان شیب.

مثال 2.

مثال 10.2. حالت دیگری را در نظر بگیرید: $$y=ax+b.$$ می‌دانیم که این منحنی، مانند منحنی قبلی، از ارتفاع $b$ روی محور $y$ شروع خواهد شد. اما قبل از رسم منحنی، بیایید شیب آن را با مشتق‌گیری پیدا کنیم؛ که ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=a$ به دست می‌دهد. شیب ثابت خواهد بود، در زاویه‌ای که تانژانت آن در اینجا $a$ نامیده می‌شود. بیایید به $a$ یک مقدار عددی نسبت دهیم—مثلاً $\frac{1}{3}$. آنگاه باید چنان شیبی به آن بدهیم که $1$ در $3$ صعود کند؛ یا $dx$ $3$ برابر $dy$ خواهد بود؛ همانطور که در شکل زیر بزرگنمایی شده است.

بنابراین، خط را در شکل بعدی با این شیب رسم کنید.

حال برای یک حالت کمی دشوارتر.

مثال 3.

مثال 10.3. فرض کنید $$y=a{x}^2+b.$$

باز هم منحنی روی محور $y$ در ارتفاع $b$ بالای مبدأ شروع خواهد شد.

حال مشتق بگیرید. [اگر فراموش کرده‌اید، به عقب برگردید؛ یا بهتر است، برنگردید، بلکه مشتق‌گیری را خودتان به یاد آورید.] $$\frac{dy}{dx}=2ax.$$

این نشان می‌دهد که تندی ثابت نخواهد بود: با افزایش $x$ افزایش می‌یابد. در نقطه شروع $P$، جایی که $x=0$، منحنی (شکل بعدی) هیچ تندی ندارد—یعنی تراز است. در سمت چپ مبدأ، جایی که $x$ مقادیر منفی دارد، ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ نیز مقادیر منفی خواهد داشت، یا از چپ به راست نزول خواهد کرد، همانطور که در شکل دیده می‌شود.

بیایید این را با حل یک مثال خاص توضیح دهیم. با در نظر گرفتن معادله $$y=\frac{1}{4}{x}^2+3,$$ و مشتق‌گیری از آن، به دست می‌آوریم $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}x.$$ حال چند مقدار متوالی، مثلاً از $0$ تا $5$، به $x$ نسبت دهید؛ و مقادیر متناظر $y$ را با معادله اول محاسبه کنید؛ و ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ را از معادله دوم. با جدول‌بندی نتایج، داریم:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$3$	$3\frac{1}{4}$	$4$	$5\frac{1}{4}$	$7$	$9\frac{1}{4}$
${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$1$	$1\frac{1}{2}$	$2$	$2\frac{1}{2}$

سپس آن‌ها را در دو منحنی رسم کنید، شکل 10.18 و شکل 10.19؛ در شکل 10.18 مقادیر $y$ را در مقابل مقادیر $x$ رسم کنید و در شکل 10.19 مقادیر ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ را در مقابل مقادیر $x$. برای هر مقدار مفروض $x$، ارتفاع عرض در منحنی دوم با شیب منحنی اول متناسب است.