روش‌های انتگرال‌گیری

مثال 20.1. ${\displaystyle \int w\cdot \sin wdw}$ را بیابید.

حل. قرار دهید $u=w$ و برای $\sin w\cdot dw$ بنویسید $dv$. آنگاه خواهیم داشت $du=dw$، در حالی که ${\displaystyle \int \sin w\cdot dw=-\cos w=v}$.

با قرار دادن این‌ها در فرمول، به دست می‌آوریم:

مثال 20.2. ${\displaystyle \int x{e}^{x}dx}$ را بیابید.

حل. قرار دهید سپس و

مثال 20.3. ${\displaystyle \int {\cos }^2\theta d\theta }$ را امتحان کنید.

حل. از این رو از این رو و که در آن .

مثال 20.4. ${\displaystyle \int x^2\sin xdx}$ را بیابید.

حل. قرار دهید سپس $$\int x^2\sin xdx=-x^2\cos x+2\int x\cos xdx.$$

اکنون ${\displaystyle \int x\cos xdx}$ را با انتگرال‌گیری جزء به جزء بیابید (مانند مثال 20.1 بالا): $$\int x\cos xdx=x\sin x+\cos x+C.$$

از این رو

مثال 20.5. ${\displaystyle \int \sqrt{1-x^2}dx}$ را بیابید.

حل. قرار دهید سپس و $x=v$؛ بنابراین $$\int \sqrt{1-x^2}dx=x\sqrt{1-x^2}+\int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-x^2}}.$$

در اینجا می‌توانیم از یک دوج کوچک استفاده کنیم، زیرا می‌توانیم بنویسیم $$\int \sqrt{1-x^2}dx=\int \frac{(1-x^2)dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}-\int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-x^2}}.$$

با جمع این دو معادله آخر، از شر ${\displaystyle \int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-x^2}}}$ خلاص می‌شویم و داریم $$2\int \sqrt{1-x^2}dx=x\sqrt{1-x^2}+\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$$

آیا به یاد دارید که با ${\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}$ برخورد کرده‌اید؟ این عبارت از مشتق‌گیری $y=\arcsin x$ به دست می‌آید که به صورت $y={\sin }^{-1}x$ نیز نوشته می‌شود (به اینجا مراجعه کنید). از این رو انتگرال آن $\arcsin x$ است، و بنابراین $$\int \sqrt{1-x^2}dx=\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+\frac{1}{2}\arcsin x+C.$$

مثال 20.6. ${\displaystyle \int \sqrt{3+x}dx}$ را ارزیابی کنید.

حل. قرار دهید جایگزین کنید

مثال 20.7. ${\displaystyle \int \frac{dx}{e^x+e^{-x}}}$ را ارزیابی کنید.¹

حل. قرار دهید $$e^x=u,\frac{du}{dx}=e^x,\text{and}dx=\frac{du}{e^x};$$ بنابراین

${\displaystyle \frac{du}{1+u^2}}$ نتیجه مشتق‌گیری $\arctan x$ است (که به صورت ${\tan }^{-1}x$ نیز نوشته می‌شود).

از این رو انتگرال برابر است با $\arctan \left(e^x\right)+C$.

مثال 20.8. ${\displaystyle \int \frac{dx}{x^2+2x+3}}$ را ارزیابی کنید.

حل. $$\int \frac{dx}{x^2+2x+3}=\int \frac{dx}{x^2+2x+1+2}=\int \frac{dx}{(x+1{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}$$ قرار دهید $$x+1=u,dx=du;$$ سپس انتگرال به ${\displaystyle \int \frac{du}{u^2+(\sqrt{2}{)}^2}}$ تبدیل می‌شود؛ اما ${\displaystyle \frac{du}{u^2+a^2}}$ نتیجه مشتق‌گیری ${\displaystyle \frac{1}{a}}\arctan {\displaystyle \frac{u}{a}}$ است.

از این رو در نهایت مقدار انتگرال داده شده برابر است با ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\arctan {\displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{2}}}+C$.

مثال 20.9. ${\displaystyle \int \frac{3x+1}{x^2-1}dx}$ را ارزیابی کنید.

حل. در مثال 13.1، نشان دادیم که $$\frac{3x+1}{x^2-1}=\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x-1}.$$ از این رو

مثال 20.10. ${\displaystyle \int \frac{-x^2-3}{(x^2+1)(x+1)}dx}$ را ارزیابی کنید.

حل. در مثال 13.3، نشان دادیم که $$\frac{-x^2-3}{(x^2+1)(x+1)}=\frac{x-1}{x^2+1}-\frac{2}{x+1}.$$ از این رو، برای یافتن ${\displaystyle \int \frac{x}{x^2+1}dx}$، قرار دهید $u=x^2+1$. سپس $du=2xdx$ یا $xdx=\frac{1}{2}du$ و $$\int \frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln |u|+C_1=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C_1.$$

از آنجا که ${\displaystyle \int \frac{1}{x^2+1}dx=\arctan x+C_2}$ و ${\displaystyle \int \frac{1}{x+1}dx=\ln |x+1|+C_3}$، به دست می‌آوریم $$\int \frac{-x^2-3}{(x^2+1)(x+1)}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-\arctan x-2\ln |x+1|+C.$$

مثال 20.11. یک فرمول کاهش برای ${\displaystyle \int x^n{e}^{ax}dx}$ به دست آورید و از آن برای ارزیابی ${\displaystyle \int x^3{e}^{-x}dx}$ استفاده کنید.

حل. قرار دهید $u=x^n$ و $dv=e^{ax}dx$. سپس $$du=n{x}^{n-1}dx,v=\frac{1}{a}{e}^{ax}.$$ با استفاده از انتگرال‌گیری جزء به جزء، به دست می‌آوریم با قرار دادن $a=-1$ و $n=3,2,1$ به ترتیب در آن، به دست می‌آوریم از (B) و (C)، به دست می‌آوریم با $C_2=2C_1$.

از (A) و (D)، به دست می‌آوریم $$\int x^3{e}^{-x}dx=-x^3{e}^{-x}+3(-x^2{e}^{-x}-2x{e}^{-x}-2e^{-x})+C,$$ با $C=3C_2$.

مثال 20.12. یک فرمول کاهش برای ${\displaystyle \int {\cos }^{n}xdx}$ به دست آورید.

حل. می‌نویسیم $$\int {\cos }^{n}dx=\int {\cos }^{n-1}x\cdot \cos xdx$$ و قرار می‌دهیم $u=-{\cos }^{n-1}x$ و $dv=\cos x$. سپس $$du=(n-1)\sin x{\cos }^{n-2}xdx,v=\sin x.$$ از انتگرال‌گیری جزء به جزء نتیجه می‌شود که از این رو، $$n\int {\cos }^{n}xdx=\sin x{\cos }^{n-1}x+(n-1)\int {\cos }^{n-2}xdx,$$ یا $$\int {\cos }^{n}xdx=\frac{1}{n}\sin x{\cos }^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int {\cos }^{n-2}xdx.$$

مثال 20.13. ${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x+3}-\sqrt[4]{x+3}}dx}$ را ارزیابی کنید.

حل. با قرار دادن $u^4=x+3$، از شر رادیکال‌ها خلاص می‌شویم. سپس $$u^4=x+3\Rightarrow 4u^{3}du=dx$$ و

مثال 20.14. ${\displaystyle \int \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}dx}$ را ارزیابی کنید.

حل. با ضرب صورت و مخرج در $\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}$، به دست می‌آوریم از این رو $$\int \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}dx=\int \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}dx.$$ برای ارزیابی آخرین انتگرال و خلاص شدن از رادیکال، قرار دهید $u^2=1-x^2$. سپس $udu=-xdx$ و