انتگرال‌گیری

این راز بزرگ از قبل فاش شده است که این نماد مرموز ${\displaystyle \int }$، که در واقع فقط یک $S$ کشیده است، صرفاً به معنای «مجموعِ» یا «مجموع تمام مقادیری از قبیلِ» است. بنابراین شبیه به آن نماد دیگر یعنی $\sum$ (حرف یونانی سیگما) است که آن هم علامت جمع‌بندی است. با این حال، در عملِ ریاضیدانان در استفاده از این علامت‌ها تفاوتی وجود دارد؛ در حالی که $\sum$ معمولاً برای نشان دادن مجموع تعدادی از مقادیر متناهی استفاده می‌شود، علامت انتگرال ${\displaystyle \int }$ عموماً برای نشان دادن جمع‌بندی تعداد بسیار زیادی از مقادیر کوچک با اندازه بی‌نهایت خُرد استفاده می‌شود، در واقع صرفاً عناصری که روی هم رفته مقدار کل مورد نیاز را می‌سازند. بنابراین ${\displaystyle \int dy=y}$ و ${\displaystyle \int dx=x}$.

هر کسی می‌تواند درک کند که چگونه می‌توان کلِ هر چیزی را متشکل از قطعات کوچکِ بسیاری تصور کرد؛ و هرچه این قطعات کوچکتر باشند، تعداد آن‌ها بیشتر خواهد بود. بنابراین، یک خط به طول یک اینچ را می‌توان متشکل از $10$ قطعه، که طول هر کدام $\frac{1}{10}$ اینچ است، تصور کرد؛ یا از $100$ قسمت، که هر قسمت $\frac{1}{100}$ اینچ طول دارد؛ یا از $1,000,000$ قسمت که هر کدام $\frac{1}{1,000,000}$ اینچ طول دارند؛ یا با سوق دادن این فکر به مرزهای قابل تصور، می‌توان آن را متشکل از بی‌نهایت عنصر در نظر گرفت که هر یک از آن‌ها بی‌نهایت کوچک هستند.

بله، خواهید گفت، اما فکر کردن به هر چیزی به این روش چه فایده‌ای دارد؟ چرا مستقیماً به عنوان یک کُل به آن فکر نکنیم؟ دلیل ساده‌اش این است که موارد بسیار زیادی وجود دارد که در آن‌ها نمی‌توان بزرگی یک چیز را به عنوان یک کل محاسبه کرد، مگر اینکه مجموع تعداد زیادی از قسمت‌های کوچک را محاسبه کنیم. فرآیند «انتگرال‌گیری» به ما امکان می‌دهد تا مقادیر کلی را محاسبه کنیم که در غیر این صورت قادر به تخمین مستقیم آن‌ها نبودیم.

اجازه دهید ابتدا یکی دو مورد ساده را بررسی کنیم تا با این مفهوم از جمع‌بندی قطعاتِ مجزای بسیار، آشنا شویم.

سری زیر را در نظر بگیرید: $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\cdots$$

در اینجا هر جمله از سری، با در نظر گرفتن نصف مقدار جمله قبلی ساخته می‌شود. اگر بتوانیم تا بی‌نهایت جمله پیش برویم، مقدار کُل چقدر خواهد بود؟ پاسخ $2$ است. در صورت تمایل، آن را به عنوان یک خط در نظر بگیرید. با

یک اینچ شروع کنید؛ نیم اینچ اضافه کنید، یک چهارم اضافه کنید؛ یک هشتم اضافه کنید؛ و به همین ترتیب. اگر در هر نقطه‌ای از عملیات متوقف شویم، هنوز قطعه‌ای برای کامل کردن $2$ اینچِ کامل کم خواهد بود؛ و قطعه گمشده همیشه هم‌اندازه آخرین قطعه اضافه شده خواهد بود. بنابراین، اگر بعد از کنار هم قرار دادن $1$، $\frac{1}{2}$ و $\frac{1}{4}$ متوقف شویم، مقدار $\frac{1}{4}$ کم خواهد بود. اگر ادامه دهیم تا $\frac{1}{64}$ را اضافه کنیم، باز هم $\frac{1}{64}$ کم خواهد بود. باقیمانده مورد نیاز همیشه برابر با آخرین جمله اضافه شده است. تنها با تعداد بی‌نهایت عملیات می‌توانیم به $2$ اینچ واقعی برسیم. عملاً زمانی به آن می‌رسیم که به قطعاتی چنان کوچک برسیم که نتوان آن‌ها را ترسیم کرد—این بعد از حدود $10$ جمله اتفاق می‌افتد، زیرا جمله یازدهم $\frac{1}{1024}$ است. اگر بخواهیم تا جایی پیش برویم که حتی پیشرفته‌ترین ابزارهای اندازه‌گیری هم نتوانند آن را تشخیص دهند، فقط باید تا حدود $40$ جمله پیش برویم. یک میکروسکوپ نوری معمولی حتی جمله $18$ام را نشان نمی‌دهد! بنابراین، تعداد نامتناهی عملیات، آنقدرها هم چیز وحشتناکی نیست. انتگرال به سادگی به معنای تمامِ این مجموعه است. اما همانطور که خواهیم دید، مواردی وجود دارد که حساب انتگرال ما را قادر می‌سازد تا به مقدار کُلِ دقیقی دست یابیم که نتیجه تعداد بی‌نهایت عملیات خواهد بود. در چنین مواردی حساب انتگرال به ما راهی سریع و آسان برای رسیدن به نتیجه‌ای می‌دهد که در غیر این صورت به انجام محاسبات دقیق و بی‌پایان نیاز داشت. پس بهتر است برای یادگیری نحوه انتگرال‌گیری وقت را تلف نکنیم.

شیب منحنی‌ها، و خود منحنی‌ها

بیایید یک بررسی مقدماتی کوچک درباره شیب منحنی‌ها انجام دهیم. زیرا دیدیم که مشتق‌گیری از یک منحنی به معنای یافتن عبارتی برای شیب آن (یا برای شیب‌های آن در نقاط مختلف) است. آیا در صورتی که شیب (یا شیب‌ها) برای ما مشخص شده باشد، می‌توانیم فرآیند معکوس یعنی بازسازی کل منحنی را انجام دهیم؟

به مثال [Case2] برگردید. در اینجا ساده‌ترینِ منحنی‌ها را داریم، یک خط شیب‌دار با معادله $$y=ax+b.$$

می‌دانیم که در اینجا $b$ نشان‌دهنده ارتفاع اولیه $y$ در زمان $x=0$ است، و این‌که $a$، که همان ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ است، «شیب» خط می‌باشد. این خط دارای شیب ثابت است. در امتداد آن، مثلث‌های ابتدایی

دارای نسبت یکسانی بین ارتفاع و قاعده هستند. فرض کنید بخواهیم $dx$ها و $dy$ها را با اندازه متناهی در نظر بگیریم، طوری که $10$ عدد $dx$ یک اینچ را بسازند، در این صورت ده مثلث کوچک خواهیم داشت مانند

حالا فرض کنید به ما دستور داده شده که با شروع صرفاً از این اطلاعات که ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=a$، «منحنی» را بازسازی کنیم. چه کاری می‌توانیم انجام دهیم؟ با در نظر گرفتنِ مجددِ $d$های کوچک با اندازه متناهی، می‌توانیم $10$ تای آن‌ها را رسم کنیم، که همه دارای یک شیب هستند، و سپس آن‌ها را پشت سر هم، در کنار هم قرار دهیم، مانند این:

و از آنجا که شیب برای همه یکسان است، آن‌ها به هم می‌پیوندند تا مانند شکل بالا، یک خط شیب‌دار با شیب صحیح ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=a$ بسازند. و چه $dy$ها و $dx$ها را متناهی در نظر بگیریم و چه بی‌نهایت کوچک، چون همه آن‌ها مشابه هستند، واضح است که ${\displaystyle \frac{y}{x}}=a$، به شرطی که $y$ را به عنوان مجموع تمام $dy$ها، و $x$ را مجموع تمام $dx$ها در نظر بگیریم. اما این خط شیب‌دار را باید در کجا قرار دهیم؟ آیا باید از مبدأ $O$ شروع کنیم یا بالاتر از آن؟ از آنجا که تنها اطلاعاتی که داریم در مورد شیب است، هیچ دستورالعملی در مورد ارتفاع خاص بالاتر از $O$ نداریم؛ در واقع ارتفاع اولیه نامشخص است. شیب هر چه که ارتفاع اولیه باشد، ثابت خواهد ماند. بنابراین بیایید آنچه را که ممکن است مورد نظر باشد امتحان کنیم و خط شیب‌دار را در ارتفاع $C$ بالای $O$ شروع کنیم. یعنی، معادله زیر را داریم: $$y=ax+C.$$

اکنون بدیهی می‌شود که در این مورد، ثابتِ اضافه شده، به معنای مقدار خاصی است که $y$ در زمان $x=0$ دارد.

حالا بیایید مورد سخت‌تری را در نظر بگیریم، مورد خطی که شیب آن ثابت نیست، بلکه بیشتر و بیشتر به سمت بالا می‌رود. بیایید فرض کنیم که شیب رو به بالا به تناسب افزایش $x$ بزرگتر و بزرگتر می‌شود. این به صورت نمادین اینگونه است: $$\frac{dy}{dx}=ax.$$ یا برای ارائه یک حالت ملموس، فرض کنید $a=\frac{1}{5}$ باشد، به طوری که $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{5}x.$$

بنابراین بهتر است با محاسبه چند مقدارِ شیب در مقادیر مختلفِ $x$ شروع کنیم و نمودارهای کوچکی از آن‌ها رسم کنیم.

هنگامی که

$x=0$	${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=0$
$x=1$	${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=0.2$
$x=2$	${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=0.4$
$x=3$	${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=0.6$
$x=4$	${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=0.8$
$x=5$	${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=1.0$

حالا سعی کنید قطعات را کنار هم قرار دهید، و هر کدام را طوری تنظیم کنید که وسطِ قاعده آن در فاصله مناسبی در سمت راست قرار گیرد، و در گوشه‌ها به هم متصل شوند؛ بدین ترتیب (به شکل زیر مراجعه کنید). نتیجه، البته یک منحنی هموار نیست: اما تقریبی از آن است.

اگر قطعاتی با طولِ نصف و تعدادِ دو برابر انتخاب می‌کردیم، مانند شکل بعدی، تقریب بهتری داشتیم. اما برای داشتن یک منحنی کامل، باید هر $dx$ و $dy$ متناظر با آن را بی‌نهایت کوچک، و به تعدادِ بی‌نهایت زیاد در نظر بگیریم.

در این صورت، مقدار هر $y$ چقدر باید باشد؟ واضح است که در هر نقطه $P$ از منحنی، مقدار $y$ مجموع همه $dy$های کوچک از $0$ تا آن سطح خواهد بود، یعنی، ${\displaystyle \int dy=y}$. و از آنجا که هر $dy$ برابر با $\frac{1}{5}x\cdot dx$ است، نتیجه می‌شود که کل $y$ برابر با مجموع همه قطعاتی مانند $\frac{1}{5}x\cdot dx$ خواهد بود، یا همانطور که باید آن را بنویسیم، ${\displaystyle \int \frac{1}{5}x\cdot dx}$.

حالا اگر $x$ ثابت می‌بود، ${\displaystyle \int \frac{1}{5}x\cdot dx}$ همانند $\frac{1}{5}x\int dx$ یا $\frac{1}{5}{x}^2$ می‌شد. اما مقدار $x$ از $0$ شروع شد و تا مقدار خاصِ $x$ در نقطه $P$ افزایش می‌یابد، بنابراین مقدار میانگین آن از $0$ تا آن نقطه $\frac{1}{2}x$ است. در نتیجه ${\displaystyle \int \frac{1}{5}xdx=\frac{1}{10}{x}^2}$؛ یا $y=\frac{1}{10}{x}^2$.

اما مانند مورد قبلی، این امر مستلزم اضافه کردن یک ثابتِ نامشخصِ $C$ است، زیرا به ما گفته نشده است که منحنی از چه ارتفاعی بالاتر از مبدأ شروع می‌شود، وقتی که $x=0$ است. بنابراین، به عنوان معادله منحنی رسم شده در زیر، می‌نویسیم: $$y=\frac{1}{10}{x}^2+C.$$

تمرین‌ها

```