انتگرال به‌عنوان معکوس مشتق‌گیری

مشتق‌گیری فرآیندی است که وقتی $y$ به ما داده شود (به عنوان تابعی از $x$)، می‌توانیم ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ را بیابیم.

همانند هر عمل ریاضی دیگر، فرآیند مشتق‌گیری ممکن است معکوس شود؛ بنابراین، اگر مشتق‌گیری از $y=x^4$ به ما ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=4x^3$ را بدهد؛ اگر کسی با ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=4x^3$ شروع کند، خواهد گفت که معکوس کردن فرآیند منجر به $y=x^4$ می‌شود. اما اینجا نکته جالبی پیش می‌آید. ما ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=4x^3$ را به دست می‌آوردیم اگر با هر یک از موارد زیر شروع می‌کردیم: $x^4$، یا $x^4+a$، یا $x^4+c$، یا $x^4$ با هر ثابت اضافه. بنابراین واضح است که در کار معکوس از ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ به $y$، باید امکان وجود یک ثابت اضافه را در نظر گرفت، مقداری که تا زمانی که به روش دیگری مشخص نشود، نامعین خواهد بود. بنابراین، اگر مشتق‌گیری از $x^n$ منجر به $n{x}^{n-1}$ شود، معکوس کردن از ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=n{x}^{n-1}$ به ما $y=x^n+C$ را خواهد داد؛ که در آن $C$ نشان‌دهنده ثابت ممکن هنوز نامعین است.

به وضوح، در برخورد با توان‌های $x$، قاعده کار معکوس این خواهد بود: توان را به اندازه $1$ افزایش دهید، سپس بر همان توان افزایش‌یافته تقسیم کنید و ثابت نامعین را اضافه کنید.

بنابراین، در حالتی که $$\frac{dy}{dx}=x^n,$$ با کار معکوس، به $$y=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C.$$ می‌رسیم.

اگر مشتق‌گیری از معادله $y=a{x}^n$ به ما $$\frac{dy}{dx}=an{x}^{n-1},$$ را بدهد، بدیهی است که شروع با $$\frac{dy}{dx}=an{x}^{n-1},$$ و معکوس کردن فرآیند، به ما $$y=a{x}^n.$$ را خواهد داد. بنابراین، وقتی با یک ثابت ضربی سروکار داریم، باید به سادگی ثابت را به عنوان ضریب نتیجه انتگرال‌گیری قرار دهیم.

از این رو، اگر ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=4x^2$، فرآیند معکوس به ما $y=\frac{4}{3}{x}^3$ را می‌دهد.

اما این ناقص است. زیرا باید به خاطر داشته باشیم که اگر با $$y=a{x}^n+C,$$ شروع می‌کردیم، که در آن $C$ هر مقدار ثابتی باشد، به همان اندازه $$\frac{dy}{dx}=an{x}^{n-1}.$$ را می‌یافتیم.

بنابراین، وقتی فرآیند را معکوس می‌کنیم، باید همیشه به یاد داشته باشیم که این ثابت نامعین را اضافه کنیم، حتی اگر هنوز ندانیم مقدار آن چه خواهد بود.

این فرآیند، معکوس مشتق‌گیری، انتگرال‌گیری نامیده می‌شود؛ زیرا شامل یافتن مقدار کل کمیت $y$ است وقتی فقط عبارتی برای $dy$ یا برای ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ به شما داده شده باشد. تاکنون تا حد امکان $dy$ و $dx$ را به عنوان یک مشتق با هم نگه داشته‌ایم: از این پس بیشتر اوقات مجبور خواهیم بود آنها را از هم جدا کنیم.

اگر با یک مورد ساده شروع کنیم، $$\frac{dy}{dx}=x^2,$$ می‌توانیم این را، اگر دوست داشته باشیم، به صورت $$dy=x^{2}dx.$$ بنویسیم.

اکنون این یک «معادله دیفرانسیل» است که به ما می‌گوید یک جزء $y$ برابر است با جزء متناظر $x$ ضرب در $x^2$. اکنون، آنچه می‌خواهیم انتگرال است؛ بنابراین، دستورات انتگرال‌گیری از هر دو طرف را با نماد مناسب بنویسید، به این صورت: $$\int dy=\int x^{2}dx.$$

[نکته‌ای در مورد خواندن انتگرال‌ها: عبارت بالا به این صورت خوانده می‌شود:

«انتگرال دی-وای برابر است با انتگرال ایکس-توان‌دو دی-ایکس.»]

ما هنوز انتگرال نگرفته‌ایم: فقط دستورات انتگرال‌گیری را نوشته‌ایم — اگر بتوانیم. بیایید تلاش کنیم. بسیاری از احمق‌های دیگر می‌توانند این کار را انجام دهند — چرا ما هم نتوانیم؟ طرف چپ معادله خود به خود ساده است. مجموع تمام تکه‌های $y$ همان خود $y$ است. پس بلافاصله می‌توانیم بنویسیم: $$y=\int x^{2}dx.$$

اما وقتی به طرف راست معادله می‌رسیم، باید به خاطر داشته باشیم که آنچه باید با هم جمع کنیم همۀ $dx$‌ها نیست، بلکه تمام جملاتی مانند $x^{2}dx$ است؛ و این با ${\displaystyle x^2\int dx}$ یکسان نخواهد بود، زیرا $x^2$ ثابت نیست. زیرا برخی از $dx$‌ها در مقادیر بزرگ $x^2$ ضرب خواهند شد، و برخی در مقادیر کوچک $x^2$، بسته به اینکه $x$ چه مقداری داشته باشد. بنابراین باید به این بیندیشیم که درباره این فرآیند انتگرال‌گیری که معکوس مشتق‌گیری است چه می‌دانیم. اکنون، قاعده ما برای این فرآیند معکوس هنگام کار با $x^n$ این است: «توان را یک واحد افزایش دهید و بر همان عدد افزایش‌یافته تقسیم کنید.» به عبارت دیگر، $x^{2}dx$ به $\frac{1}{3}{x}^3$ تبدیل خواهد شد¹. این را در معادله قرار دهید؛ اما فراموش نکنید که «ثابت انتگرال‌گیری» $C$ را در انتها اضافه کنید. بنابراین به دست می‌آوریم: $$y=\frac{1}{3}{x}^3+C.$$

شما واقعاً انتگرال‌گیری را انجام دادید. چقدر آسان!

بیایید یک مورد ساده دیگر را امتحان کنیم.

فرض کنید $$\frac{dy}{dx}=a{x}^{12},$$ که در آن $a$ هر ضریب ثابتی باشد. خوب، ما دریافتیم که هنگام مشتق‌گیری، هر عامل ثابتی در مقدار $y$ بدون تغییر در مقدار ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ ظاهر می‌شود. در فرآیند معکوس انتگرال‌گیری، بنابراین آن نیز در مقدار $y$ ظاهر خواهد شد. پس می‌توانیم مانند قبل عمل کنیم، به این صورت

پس این هم انجام شد. چقدر آسان!

اکنون کم‌کم متوجه می‌شویم که انتگرال‌گیری فرآیندی از پیدا کردن راه بازگشت است، در مقایسه با مشتق‌گیری. اگر در طول مشتق‌گیری، هر عبارت خاصی را یافته باشیم — در این مثال $a{x}^{12}$ — می‌توانیم راه بازگشت به $y$‌ای که از آن مشتق گرفته شده را پیدا کنیم. تضاد بین این دو فرآیند را می‌توان با این اظهار نظر از یک معلم مشهور نشان داد. اگر غریبه‌ای را در میدان ترافالگار پیاده کنند و به او بگویند راهش را به ایستگاه یوستون پیدا کند، ممکن است کار را ناامیدکننده بیابد. اما اگر قبلاً شخصاً از ایستگاه یوستون به میدان ترافالگار هدایت شده باشد، نسبتاً برایش آسان خواهد بود که راه بازگشت به ایستگاه یوستون را پیدا کند.

انتگرال‌گیری از مجموع یا تفاضل دو تابع

فرض کنید آنگاه

دلیلی وجود ندارد که هر جمله را جداگانه انتگرال نگیریم: زیرا، همانطور که قبلاً دیده شد، دریافتیم که وقتی مجموع دو تابع جداگانه را مشتق می‌گیریم، مشتق به سادگی مجموع دو مشتق‌گیری جداگانه است. بنابراین، وقتی معکوس عمل می‌کنیم و انتگرال می‌گیریم، انتگرال به سادگی مجموع دو انتگرال‌گیری جداگانه خواهد بود.

دستورالعمل ما در این صورت خواهد بود:

اگر هر یک از جمله‌ها کمیتی منفی می‌بود، جمله متناظر در انتگرال نیز منفی می‌شد. بنابراین با تفاضل‌ها نیز به همان آسانی مجموع‌ها برخورد می‌شود.

چگونه با جملات ثابت برخورد کنیم

فرض کنید در عبارتی که باید انتگرال گرفته شود یک جمله ثابت وجود داشته باشد — مانند این: $$\frac{dy}{dx}=x^n+b.$$

این به طرز خنده‌داری آسان است. زیرا فقط باید به خاطر داشته باشید که وقتی عبارت $y=ax$ را مشتق گرفتید، نتیجه ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=a$ بود. از این رو، وقتی در جهت معکوس عمل می‌کنید و انتگرال می‌گیرید، ثابت دوباره ظاهر می‌شود و در $x$ ضرب می‌شود. بنابراین به دست می‌آوریم

در اینجا تعداد زیادی مثال آورده شده است که می‌توانید توانایی‌های تازه کسب‌شده خود را روی آنها امتحان کنید.

مثال‌ها

همۀ اینها به اندازه کافی آسان هستند. بیایید یک مورد دیگر را امتحان کنیم.

فرض کنید

مانند قبل پیش می‌رویم و می‌نویسیم

خوب، اما انتگرال $x^{-1}dx$ چیست؟

اگر به نتایج مشتق‌گیری از $x^2$ و $x^3$ و $x^n$ و غیره نگاه کنید، خواهید دید که ما هرگز $x^{-1}$ را به عنوان مقدار ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ از هیچ‌یک از آنها به دست نیاورده‌ایم. ما $3x^2$ را از $x^3$ به دست آوردیم؛ ما $2x$ را از $x^2$ به دست آوردیم؛ ما $1$ را از $x^1$ (یعنی از خود $x$ ) به دست آوردیم؛ اما $x^{-1}$ را از $x^0$ به دست نیاوردیم، به دو دلیل بسیار خوب. اول، $x^0$ به سادگی $=1$ است و یک ثابت است، و مشتق یک ثابت صفر است (نه $x^{-1}$). دوم، حتی اگر آن را با قاعده توان مشتق بگیریم، مشتق آن $0\times x^{-1}$ خواهد بود، و آن ضرب در صفر به آن مقدار صفر می‌دهد!² بنابراین، وقتی اکنون سعی می‌کنیم $x^{-1}dx$ را انتگرال بگیریم، می‌بینیم که در هیچ‌یک از توان‌های $x$ که توسط قاعده داده می‌شود جایی ندارد: $$\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C.$$ این یک مورد استثنایی است.

خوب؛ اما دوباره تلاش کنید. تمام مشتق‌های مختلف به‌دست‌آمده از توابع مختلف $x$ را بررسی کنید و سعی کنید $x^{-1}$ را در میان آنها بیابید. جستجوی کافی نشان خواهد داد که ما واقعاً ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=x^{-1}$ را به عنوان نتیجه مشتق‌گیری از تابع $y=\ln x$ به دست آوردیم (به اینجا مراجعه کنید).

سپس، البته، چون می‌دانیم که مشتق‌گیری از $\ln x$ به ما $x^{-1}$ می‌دهد، می‌دانیم که با معکوس کردن فرآیند، انتگرال‌گیری از $dy=x^{-1}dx$ به ما $y=\ln x$ را خواهد داد. اما نباید عامل ثابت $a$ را که داده شده بود فراموش کنیم، و همچنین نباید از اضافه کردن ثابت نامعین انتگرال‌گیری غافل شویم. این به ما به عنوان جواب مسئله حاضر، $$y=a\ln x+C.$$ را می‌دهد. فرمول بالا وقتی $x$ منفی باشد قابل قبول نیست زیرا لگاریتم اعداد منفی موهومی است. اکنون سؤال این است: مشتق چه تابعی وقتی باشد $x^{-1}$ را می‌دهد؟ وقتی ، می‌توانیم لگاریتم $-x$ را بگیریم زیرا . بیایید ببینیم مشتق $\ln (-x)$ چیست. برای مشتق‌گیری از $\ln (-x)$، قرار دهید $u=-x$ و سپس قاعده زنجیری را اعمال کنید: بنابراین از آنجا که مشتق‌گیری از $\ln (-x)$ برای به ما $x^{-1}$ می‌دهد، انتگرال‌گیری از $dy=x^{-1}dx$ برای به ما $y=\ln (-x)$ را خواهد داد. با دانستن این می‌توانیم بنویسیم که در آن $C_1$ و $C_2$ دو ثابت دلخواه هستند که نیازی نیست برابر باشند. برای هر بازه‌ای که شامل $x=0$ نباشد، می‌توانیم این دو حالت را ترکیب کرده و بنویسیم $$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$$ که در آن $|x|$ قدر مطلق $x$ نامیده می‌شود و به صورت زیر تعریف می‌شود بنابراین، $$\int \frac{a}{x}dx=a\ln |x|+C.$$

به طور خلاصه

توجه—در اینجا به این واقعیت بسیار قابل توجه توجه کنید که ما در مورد بالا نمی‌توانستیم انتگرال بگیریم اگر اتفاقاً مشتق‌گیری متناظر را نمی‌دانستیم. اگر هیچ‌کس کشف نمی‌کرد که مشتق‌گیری از $\ln x$ $x^{-1}$ را می‌دهد، ما کاملاً در مسئله چگونگی انتگرال‌گیری از $x^{-1}dx$ گیر می‌کردیم. در واقع باید صادقانه اعتراف کرد که این یکی از ویژگی‌های عجیب حساب انتگرال است:—اینکه شما نمی‌توانید چیزی را انتگرال بگیرید مگر اینکه فرآیند معکوس مشتق‌گیری از چیز دیگری آن عبارتی را که می‌خواهید انتگرال بگیرید به دست داده باشد. هیچ‌کس، حتی امروز، قادر به یافتن انتگرال عمومی عبارت $$\frac{dy}{dx}=a^{-x^2},$$ نیست، زیرا $a^{-x^2}$ هنوز هرگز از مشتق‌گیری هیچ چیز دیگری به‌دست نیامده است.

یک مورد ساده دیگر:

چند انتگرال دیگر

اکنون که می‌دانیم انتگرال‌گیری عکس مشتق‌گیری است، می‌توانیم بلافاصله مشتق‌هایی را که از قبل می‌شناسیم مرور کنیم و ببینیم از کدام توابع مشتق گرفته شده‌اند. این، انتگرال‌های آمادهٔ زیر را به ما می‌دهد: (زیرا اگر $y=-{\displaystyle \frac{1}{e^x}}$،${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-{\displaystyle \frac{e^x\times 0-1\times e^x}{e^{2x}}}=e^{-x}$). همچنین می‌توانیم موارد زیر را استنتاج کنیم: (زیرا اگر $y=x\ln x-x$،${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{x}{x}}+\ln x-1=\ln x$). (زیرا ${\displaystyle {\log }_{10}x=\frac{\ln x}{\ln 10}}$ و ${\displaystyle \int \ln xdx=x(\ln x-1)+\text{some constant}}$) \ (زیرا اگر $y=\sin ax$، ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=a\cos ax$؛ بنابراین برای به‌دست آوردن $\cos ax$ باید از $y={\displaystyle \frac{1}{a}}\sin ax$ مشتق بگیریم).

همچنین ${\cos }^2\theta$ را امتحان کنید؛ یک ترفند کوچک کار را ساده می‌کند: $$\begin{array}{c}\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =2{\cos }^2\theta -1;\end{array}$$ بنابراین $$\begin{array}{c}{\cos }^2\theta =\frac{1}{2}(\cos 2\theta +1),\end{array}$$

و (همچنین ببینید اینجا).

همچنین ببینید جدول فرم‌های استاندارد. باید چنین جدولی برای خودتان بسازید و تنها توابعی را که با موفقیت مشتق گرفته و انتگرال گرفته‌اید در آن قرار دهید. مراقب باشید که پیوسته رشد کند!

تمرین‌ها