چگونه حل کنیم: نمونههای ادبی
فهرست مطالب
- 24.1 سمینار
- 24.1.1 ابزارهای حل مسئله ریاضی
- 24.1.2 چهار کتاب اصلی حل مسئله
- 24.1.3 چارچوبی برای حل مسئله: اصول پولیا
- 24.1.4 قدرت در سادگی
- 24.1.5 به کارگیری پولیا: یک مربع محاط در یک مثلث
- 24.1.6 مسئلهای دیگر از پولیا
- 24.1.7 کتاب حل مسئله تائو
- 24.1.8 اتحاد مورد علاقه تائو
- 24.1.9 از مثالها تا اصول: رونمایی از رویکرد تائو
- 24.1.10 راه رسیدن به موفقیتهای بزرگ: تحلیل پرکینز
- 24.1.11 معمای پرکینز: سکه
- 24.1.12 مسئلهای دیگر از پرکینز
- 24.1.13 تجهیز مربیان: استراتژیهای حل مسئله
- 24.1.14 تعمیم مسئله صندلیها
- تمرینها
24.1 سمینار
24.1.1 ابزارهای حل مسئله ریاضی
در این سمینار، ما کمی به ادبیات موضوع نگاه میاندازیم و استراتژیهای حل مسئله را جمعآوری میکنیم. ما پیش از این چند روش را دیدهایم:
اصول از قبل دیده شده
- استقرا (قضیه مربوط به شکل پلکانی سطحی کاهشیافته منحصربهفرد)
- تناقض (قضیه کلرو)
- تغییر شکل (قضیه چرخش هاپف)
- ناوردا (شاخصهای مورس روی جزیره)
24.1.2 چهار کتاب اصلی حل مسئله
ما چند اصل و نکته دیگر را معرفی خواهیم کرد و از این فرصت برای معرفی اندکی از ادبیات موضوع استفاده میکنیم. ما به کتاب نگاه میکنیم:
24.1.3 چارچوبی برای حل مسئله: اصول پولیا
مادر تمام کتابهای حل مسئله، کتاب «چگونه مسئله را حل کنیم» اثر پولیا است که در سال ۱۹۴۵ منتشر شد. اگر این کتاب را بخوانید و جذب کنید، بلافاصله به طرز محسوسی در ریاضی قویتر میشوید. هنوز هم پس از گذشت بیش از ۷۰ سال، این کتاب بهترین است. در اینجا اصول پولیا که اکنون مشهور هستند آورده شده است:
اصول پولیا
- درک مسئله: مجهولات، دادهها، رسم شکل.
- طراحی یک طرح: مسئله مشابه یا مرتبط؟
- اجرای طرح: بررسی هر مرحله.
- بررسی راهحل: آیا مسائل دیگر را میتوان به این صورت حل کرد؟
24.1.4 قدرت در سادگی
این کمی شبیه به توصیه «در را باز کن، از در عبور کن، در را ببند» برای «چگونه از خانه خارج شویم» به نظر میرسد. اما دیدن قدرت در یک روش شگفتانگیز است. چرا قدرتمند است؟ زیرا اگر کسی برای اولین بار با مسئله سختتری مواجه شود، کاملاً سردرگم میشود. (اثبات: اگر اینطور نباشد، پس مسئله آسان بوده است...) از کجا شروع کنیم؟ اینجاست که داشتن راهنمایی که به شما بگوید: «خب، فقط ابتدا با درک مسئله شروع کن»، بسیار خوب است.
24.1.5 به کارگیری پولیا: یک مربع محاط در یک مثلث
در اینجا نمونهای از یک مسئله در هندسه آورده شده است که در کتاب پولیا به آن اشاره شده است. این مسئله حتی روی جلد برخی از ویرایشهای بعدی کتاب نیز نقش بسته است.
مسئله الف: یک مربع را در یک مثلث چنان محاط کنید که دو رأس از روی قاعده قرار گیرند و اضلاع دیگر هر کدام شامل یک رأس از باشند.
24.1.6 مسئلهای دیگر از پولیا
و در اینجا مسئله دیگری از پولیا با کمی تغییر در فرمولبندی آورده شده است. این مسئله را نیز با استفاده از اصول پولیا حل کنید:
مسئله ب: آب با نرخ ثابت یک متر مکعب بر ثانیه به درون یک ظرف مخروطی ، جریان دارد. اگر عمق آب متر باشد، سطح آب با چه نرخی بالا میآید؟
24.1.7 کتاب حل مسئله تائو
دومین کتاب برتر در مجموعه ما، کتاب «حل مسائل ریاضی» نوشته ترنس تائو است. چرا؟ مانند پولیا، تائو نیز قضیههای مهم جدیدی را اثبات کرده است (بسیاری از آنها به عنوان تکنویسنده) و به این ترتیب اعتبار زیادی کسب کرده است. در اینجا چند مسئله از کتاب او آورده شده است:
مسئله ج: یک عدد صحیح رقم آخر یکسانی با دارد.
مسئله د: اگر یک عدد فرد مثبت باشد، آنگاه بر بخشپذیر است.
24.1.8 اتحاد مورد علاقه تائو
تائو اتحاد زیر را «اتحاد جبری مورد علاقه خود» مینامد. ما حالت مجموع مربع اول را در یک امتحان آزمایشی انجام دادهایم.
مسئله هـ: .
24.1.9 از مثالها تا اصول: رونمایی از رویکرد تائو
تائو لیست رسمی از استراتژیها ارائه نمیدهد، اما در مثالی در صفحه اصول زیر را توضیح میدهد. ما در اینجا این «اصول تغییر شکل» را نقل به مضمون میکنیم:
اصول تغییر شکل تائو
- حالتهای خاص، حدی یا تباهیده را در نظر بگیرید.
- نسخه سادهشدهای از مسئله را حل کنید
- یک حدس فرمولبندی کنید
- مراحل میانی را که منجر به آن میشود، به دست آورید.
- مسئله را دوباره فرمولبندی کنید، به ویژه عکس نقیض را امتحان کنید.
- راهحلهای مسائل مشابه را بررسی کنید
- مسئله را تعمیم دهید
24.1.10 راه رسیدن به موفقیتهای بزرگ: تحلیل پرکینز
کتاب پرکینز با مهارت مکانیسمهای ایدههای موفقیتآمیز را تحلیل میکند. این کتاب مکانیسم زیر را برای ایدههای موفقیتآمیز استخراج میکند. این مکانیسم را به خوبی به تصویر میکشد، زیرا مسائلی که به سرعت حل میشوند به ندرت قلمرو جدیدی را پوشش میدهند.
پرکینز
- جستجوی طولانی. درصد تلاش و عرق ریختن. کار برای سالها یا دههها.
- پیشرفت ظاهری اندک. شکستهای بسیار.
- یک رویداد شتابدهنده. شاید شرایط بیرونی.
- یک جرقه شناختی. معمولاً در یک لحظه. یافتم (اورکا)!
- تحول. پروبال دادن به آن. پیامدها.
24.1.11 معمای پرکینز: سکه
تمرین زیر از کتاب پرکینز است. سعی کنید خودتان آن را حل کنید و همچنین نحوه دنبال کردن کار برای حل مسئله را ثبت کنید.
مسئله و: شخصی یک سکه قدیمی را نزد مدیر موزه میآورد و آن را برای فروش پیشنهاد میکند. روی سکه ضرب شده است: ۵۴۰ پیش از میلاد. مدیر موزه به جای بررسی خرید، با پلیس تماس میگیرد. چرا؟
24.1.12 مسئلهای دیگر از پرکینز
اگر این خیلی آسان بود (آزمایشها نشان میدهند که برخی افراد میتوانند خیلی سریع به آن پاسخ دهند. برای دیگران زمان بیشتری میبرد)، این یکی را امتحان کنید که آن هم از پرکینز است:
مسئله ز: شما در حال رانندگی با یک جیپ در صحرای بزرگ آفریقا هستید. با کسی مواجه میشوید که رو به زمین روی شنها افتاده و مرده است. هیچ ردپایی در هیچ کجای اطراف وجود ندارد. روزهاست که بادی نوزیده تا ردپاها را از بین ببرد. شما به درون کولهپشتی پشت آن شخص نگاه میکنید. چه چیزی پیدا میکنید؟
24.1.13 تجهیز مربیان: استراتژیهای حل مسئله
کتاب پوزامنتیه و کرولیک بیشتر برای معلمان در نظر گرفته شده است تا ریاضیدانان پژوهشگر. این کتاب اصول زیر را مرور میکند
پوزامنتیه-کرولیک
2
- منطقی استدلال کنید
- الگوها را شناسایی کنید
- از آخر به اول کار کنید
- دیدگاه متفاوتی اتخاذ کنید
- حالتهای حدی را در نظر بگیرید
- مسائل سادهتر را حل کنید
- دادهها را سازماندهی کنید
- یک تصویر بکشید
- همه احتمالات را در نظر بگیرید
- آزمایش، حدس و تست کنید
24.1.14 تعمیم مسئله صندلیها
در اینجا استراتژیای وجود دارد که اغلب رخ میدهد: «آن را کلیتر کنید». به عنوان مثال در کتاب «پوزامنتیه-کرولیک: استراتژیهای حل مسئله در ریاضیات» این مسئله آمده است:
مسئله ح: ما یک چیدمان صندلی از دانشآموزان داریم. معلم از هر دانشآموز میخواهد که جای خود را تغییر دهد و به صندلی سمت چپ، راست، جلو یا چپ برود. آیا این کار ممکن است؟ این مسئله را ابتدا با نگاه کردن به کلاسهای کوچکتر مانند یا یا حل کنید. در چه حالتهایی این کار ممکن است؟
وقتی ایدهای پیدا کردید، گزاره را اثبات کنید.
تمرینها
تمرین ۱. یک شعر کودکانه همان معمای معروف است: «وقتی داشتم به سنت آیوز میرفتم، مردی را با هفت زن دیدم، هر زن هفت کیسه داشت، هر کیسه هفت گربه داشت، هر گربه هفت بچه داشت: بچهها، گربهها، کیسهها و زنها، چند نفر داشتند به سنت آیوز میرفتند؟» وانمود کنید که پاسخ را نمیدانید، معما را حل کنید و از اصول پولیا پیروی کنید. این شعر از یکی از قدیمیترین متون مسائل ریاضی، یعنی پاپیروس ریند، الهام گرفته شده است. اما آن یک سوال جدیتر بود که اینگونه ترجمه میشود: «چند بچه گربه از سنت آیوز آمدند؟»
تمرین ۲. (تائو) عمودمنصفهای یک مثلث در یک نقطه متقاطع هستند.
تمرین ۳. (تائو). همه مثلثهایی را بیابید که طول اضلاع آنها یک تصاعد حسابی ، ، تشکیل میدهند.
تمرین ۴. در اینجا چند معمای کودکانه آورده شده است. امیدواریم همه آنها را بلد نباشید (اگر پاسخ را بدانید فایده چندانی ندارد). گزارشی از نحوه جستجوی خود برای یافتن پاسخ تهیه کنید:
- وقتی جوانم قدبلندم و وقتی پیرم قدکوتاه. من چیستم؟
- هر چه بیشتر خشک میکند، خیستر و خیستر میشود؟
- چه چیزی میتواند بدود اما نمیتواند راه برود؟
- چه چیزی پر از سوراخ است اما همچنان آب را نگه میدارد؟
تمرین ۵. در پازل (اختراع شده در سال ۱۸۷۴ توسط نویس پالمر چپمن) هر یک از اعداد تا در یک شبکه چیده شدهاند. یک خانه خالی باقی مانده است. هدف این است که یک پازل بههمریخته را دوباره مرتب کنیم تا همه اعداد به ترتیب قرار گیرند و در پایینترین قسمت سمت راست قرار گیرد. بازیکن میتواند را با یک مهره مجاور جابجا کند. سام لوید پیشنهاد کرد که بازی با جابجا شدن مهرههای و شروع شود و دلار برای حل آن جایزه تعیین کرد. اثبات کنید که هیچکس نمیتواند این جایزه را ببرد.