ماشین‌های حرکت دائمی

فهرست مطالب

30.1 مقدمه
- 30.1.1 حرکت دائمی: رویاها و غیرممکن بودن
- 30.1.2 چرا ماشین‌ها شکست می‌خورند: پرده‌برداری از راز
30.2 سمینار
تمرین‌ها

30.1 مقدمه

30.1.1 حرکت دائمی: رویاها و غیرممکن بودن

آیا خوب نبود اگر ماشینی داشتیم که از هیچ، انرژی تولید می‌کرد؟ انسان‌ها قرن‌هاست که در این باره رویاپردازی کرده‌اند. هیچ اثبات ریاضی وجود ندارد که نشان دهد چنین ماشینی نمی‌تواند وجود داشته باشد. این یک واقعیت تجربی است که تمام فرآیندهای فیزیکی منزوی که می‌شناسیم، انرژی را پایسته نگه می‌دارند.¹ در آزمایش‌ها، می‌بینیم که تمام نیروهای بنیادی طبیعت، میدان‌های گرادیان هستند. پس چطور می‌توانیم مثلاً از نیروی باد انرژی برداشت کنیم؟ انرژی باد توسط منابع خارجی هدایت می‌شود، به ویژه انرژی خورشیدی که بخش‌های مختلف سطح زمین را گرم می‌کند. انرژی خورشید از فرآیندهای هسته‌ای، عمدتاً فرآیند همجوشی، به دست می‌آید.

30.1.2 چرا ماشین‌ها شکست می‌خورند: پرده‌برداری از راز

این یک سرگرمی جذاب است که ماشین‌هایی را طراحی کنیم که به نظر می‌رسد کار می‌کنند، یا اینکه یک ماشین ساخته‌شده را تحلیل کنیم تا بفهمیم چرا شکست می‌خورد.

**شکل ۱.** یک ماشین حرکت دائمی توسط اولریش فون کراناخ در سال ۱۶۶۴ که نمونه‌ای تغییریافته از چرخ آب رابرت فلوود از سال ۱۶۱۸ است. تصویر از مجله جنتلمن در سال ۱۷۴۷، جایی که ذکر شده مخترع ۳۰ سال زمان صرف کرده تا ماشین را به کمال برساند. آرشیو دانشگاه میشیگان. مالکیت عمومی.

30.2 سمینار

30.2.1 ماشین لوله آب

اولین ماشین ما یک لوله دایره‌ای است که تا نیمه از آب پر شده است. در سمتی که آب ندارد، نیروی گرانش یک توپ چوبی را به سمت پایین می‌کشد. در سمت آب، نیروی شناوری توپ را به سمت بالا می‌کشد. شیرهایی تعبیه شده‌اند تا آب در جای خود باقی بماند.

مسئله الف: ماشین لوله را تحلیل کنید. می‌توانید فرض کنید که کارکرد شیرها انرژی بسیار ناچیزی مصرف می‌کند و هنگام باز کردن یکی از شیرها، آب در جای خود باقی می‌ماند.

**شکل ۲.** یک لوله نیمه‌پر، یک میدان نیروی غیرپایستار تولید می‌کند.

30.2.2 ماشین مغناطیسی

دسته دیگری از ماشین‌ها از آهنربا استفاده می‌کنند. آهنرباها به صورت دایره‌ای چیده شده‌اند تا یک میدان نیروی غیرپایستار دایره‌ای تولید کنند که در آن یک آهنربا به جلو رانده می‌شود.

**شکل ۳.** آهنرباها به گونه‌ای چیده شده‌اند که یک آهنربا همیشه به جلو رانده می‌شود (بخش‌های مثبت آهنرباها یکدیگر را دفع و بخش‌های یکسان یکدیگر را جذب می‌کنند).

مسئله ب: ماشین مغناطیسی را تحلیل کنید. با آهنرباهای واقعی آزمایش کنید.

**شکل ۴.** ماشین حرکت دائمی مکانیکی: گشتاور در سمت چپ بزرگتر است زیرا چکش‌ها در فاصله دورتری قرار دارند. چرخ در خلاف جهت عقربه‌های ساعت حرکت می‌کند.

30.2.3 تحلیل انتگرال خطی

و سپس ماشین‌های مکانیکی وجود دارند. در اینجا نمونه‌ای با وزنه‌ها آورده شده است.

مسئله ج: ماشین چکش را با استفاده از انتگرال‌های خطی و با استفاده از پتانسیل گرانشی $f (x, y, z) = z$ تحلیل کنید.

30.2.4 به چالش کشیدن جاذبه: اثر مویینگی

همه شما می‌دانید که یک اسفنج، کاغذ یا گیاهی که در آب قرار می‌گیرد، آب را با استفاده از اثر مویینگی بالا می‌کشد. در فضاهای باریک، این نیرو می‌تواند بر جاذبه غلبه کند.

**شکل ۵.** اثر مویینگی سطح آب را بالا می‌برد.

مسئله د: چرا "ماشین بالابر مویینگی" کار نمی‌کند؟

30.2.5 مغالطه حرکت دائمی

چرا هیچ "ماشین حرکت دائمی" وجود ندارد؟ هیچ اصل بنیادی وجود ندارد که آن را منع کند. ما مطمئناً می‌توانیم یک شبیه‌سازی کامپیوتری از جهانی بسازیم که در آن قانون پایستگی انرژی برقرار نباشد. اما این موضوع شبیه به "ماشین‌های زمان" است. اگر چنین ماشینی در دنیای فیزیکی ما وجود داشت، خطرات جدی در کمین فیزیکدانی بود که آن را مطالعه می‌کرد. بنجامین پیرس در کتاب خود "سیستمی از مکانیک تحلیلی" در سال ۱۸۵۵ به "اصل انسان‌نگر" اشاره می‌کند: "چنین مجموعه‌ای از حرکت‌ها نام فنی ’حرکت دائمی’ را به خود می‌گیرد که منظور از آن، سیستمی است که دائماً با افزایش قدرت به همان موقعیت قبلی بازمی‌گردد، مگر اینکه بخشی از این قدرت به نحوی گرفته شده و در صورت تمایل، به نوعی کار اختصاص یابد. ساختاری از نیروهای ثابت، مانند آنچه در اینجا فرض شد و در آن حرکت دائمی امکان‌پذیر باشد، شاید با قدرت بی‌کران آفریدگار ناسازگار نباشد؛ اما اگر در طبیعت وارد می‌شد، برای باور انسان به منشأ معنوی نیرو و ضرورت وجود علت نخستین برتر از ماده، مخرب می‌بود و طرح‌های بزرگ خیرخواهی الهی را دستخوش اراده و هوس انسان می‌ساخت".

مسئله هـ: آیا می‌توانید این "اصل انسان‌نگر" را به زبان مدرن‌تری بازنویسی کنید؟ سرنوشت جهانی که در آن پایستگی انرژی در فیزیک ماکروسکوپی برقرار نباشد، چه خواهد بود؟

30.2.6 نیروهای وهم‌آمیز اشر

میدان‌های غیرپایستار همچنین می‌توانند توسط خطای دید ایجاد شوند، همان‌طور که ام. سی. اشر انجام داد. این خطای دید وجود یک میدان نیروی غیرپایستار را القا می‌کند. آیا می‌توانید بفهمید تصاویر اشر چگونه "کار می‌کنند"؟ این بخشی از تکالیف است. در اینجا آخرین وظیفه ممکن برای سمینار آورده شده است:

مسئله و: یک ماشین حرکت دائمی در وب (مثلاً یوتیوب) پیدا کنید. اگر چیز جالبی پیدا کردید، با دیگران به اشتراک بگذارید. چرا کار نمی‌کند؟

مسئله ز: در نهایت، اگر روحیه ماجراجویی دارید، طرحی برای ماشینی ارائه دهید که واقعاً کار کند، مقداری سرمایه اولیه از سرمایه‌گذاران یا از طریق تأمین مالی جمعی جذب کنید و سپس تولید را آغاز کنید.

تمرین‌ها

تمرین ۱. میدان نیروی $F (x, y) = [- y / (x^{2} + y^{2}), x / (x^{2} + y^{2})]$ یک نیروی غیرپایستار تولید می‌کند. جسمی که در نزدیکی گرداب قرار گیرد، به دور آن خواهد چرخید. بررسی کنید که این میدان، یک میدان گرادیان $F = \nabla f$ با $f = \arctan (y / x)$ است. منحنی‌های تراز $f$ را رسم کنید، مسیر $r (t) = [\cos (t), \sin (t)]$ را در نظر بگیرید و نشان دهید که برای تمام $t$ برقرار است به طوری که چرا این موضوع با قضیه اساسی تناقض ندارد؟

تمرین ۲. اگر $H (x, y)$ تابعی از دو متغیر باشد، آنگاه منحنی $r (t) =$ $[x (t), y (t)]$ که در و صدق می‌کند، یک جواب از سیستم هامیلتونی نامیده می‌شود. تابع $H (x, y)$ انرژی سیستم نامیده می‌شود. نشان دهید که $d / d t H (x (t), y (t)) = 0$ به این معنی که انرژی پایسته است.

تمرین ۳. یک میدان برداری $F (x, y) = [P (x, y), Q (x, y)]$ طراحی کنید که این ویژگی را داشته باشد که برای هر منحنی بسته $C : r (t)$ در ${x^{2} + y^{2} > 1}$ که یک بار به دور حفره ${x^{2} + y^{2} \leq 1}$ می‌پیچد، انتگرال خطی مضربی از $6 π$ باشد. نمونه‌ای از منحنی که یک بار به دور آن می‌پیچد $r (t) = [2 \cos (t), 2 \sin (t)]$ با $0 \leq t \leq 2 π$ است.

تمرین ۴. یک موتور گرمایی سیستمی است که انرژی گرمایی را به انرژی مکانیکی تبدیل می‌کند. ما چنین ماشینی را در کلاس دیده‌ایم. چگونه کار می‌کند؟

تمرین ۵. خطای دید آبشار اشر را توضیح دهید.

به جز زمان‌های بسیار کوتاه، که در آن ذرات مجازی می‌توانند در یک بازه زمانی کوتاه ظاهر و ناپدید شوند.↩︎