مساحت سطح

فهرست مطالب

26.1 مقدمه
- 26.1.1 انتگرال‌های شار روی سطوح پارامتری
26.2 سخنرانی
26.3 مثال‌ها
تمرین‌ها

26.1 مقدمه

26.1.1 انتگرال‌های شار روی سطوح پارامتری

ما به نگاشت‌های $r : R \to S$ در زمینه تغییرات مختصات و همچنین به صورت کاملاً کلی، در حالتی که $R$ زیرمجموعه‌ای از $ℝ^{m}$ و $S$ زیرمجموعه‌ای از $ℝ^{n}$ است، نگاه کرده‌ایم. یاد گرفته‌ایم که ماتریس ژاکوبی $d r$ امکان کمّی‌سازی اعوجاج $\sqrt{\det (d r^{T} d r)}$ را فراهم می‌کند. اگر $R$ زیرمجموعه‌ای از $ℝ^{2}$ باشد، آنگاه $r$ یک سطح $2$ -بعدی را توصیف می‌کند. معمولاً یک نقطه در $R$ را به صورت $(u, v)$ می‌نویسیم اما می‌توان از متغیرهای دیگر نیز استفاده کرد. اگر $n = 3$ باشد، یعنی با یک سطح در فضای سه‌بعدی سروکار داشته باشیم، آنگاه عامل اعوجاج $| r_{u} \times r_{v} |$ است و مساحت سطح برابر است با انتگرال دوگانه $\iint_{R} | r_{u} \times r_{v} | d u d v$ . بنابراین این مبحث فرصت خوبی برای تمرین بیشتر انتگرال‌های دوگانه است.

**شکل 1.** یک دایره که در فضا-زمان حرکت می‌کند یک سطح دو بعدی تولید می‌کند. مساحت سطح این سطح در فیزیک مورد توجه است. مساحت سطح **کنش نامبو-گوتو** است.

26.2 سخنرانی

26.2.1 انتگرال‌گیری میدان‌های اسکالر روی سطوح پارامتری

یک نگاشت $r : R \subset ℝ^{2} \to ℝ^{3}$ دارای تصویری به نام $r (R) = S$ است که یک سطح پارامتری نامیده می‌شود. مساحت سطح آن چقدر است؟ دیده‌ایم که عامل اعوجاج اکنون برابر است با $| d r | = \sqrt{det (g)} = | r_{u} \times r_{v} |,$ که در آن $g = d r^{T} d r$ فرم بنیادی اول سطح بود. البته استفاده از $| r_{u} \times r_{v} |$ که همان $| d r |$ است، راحت‌تر است.

قضیه 1. مساحت سطح $\iint_{S} d S$ از $S$ برابر است با $\iint_{R} | r_{u} \times r_{v} | d u d v$ .

26.2.2 تبدیل انتگرال‌ها از یک سطح به سطح دیگر

به طور کلی‌تر اگر $f : R \to ℝ$ تابعی باشد که چیزی مانند یک چگالی را توصیف می‌کند، آنگاه $\iint_{R} f (r (u, v)) | r_{u} \times r_{v} | d u d v$ انتگرالی است که به صورت $\iint_{S} f d S$ خلاصه‌نویسی می‌شود و انتگرال سطحی اسکالر نامیده می‌شود. برای مثال، اگر $f$ یک چگالی روی سطح باشد، آنگاه این $\iint_{S} f d S$ جرم است. باز هم باید تأکید کنیم که در این انتگرال، جهت‌گیری سطح بی‌ربط است. عامل اعوجاج $| d r |$ همیشه نامنفی است. بهتر است به $\iint_{S} f d S$ به عنوان تعمیمی از مساحت $\iint_{S} d S$ فکر کنیم.¹

26.2.3 موارد خاص در ابعاد پایین‌تر

در اینجا کلی‌ترین فرمول تغییر متغیر در انتگرال‌گیری برای نگاشت‌های $r : ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ ، با عامل اعوجاج $| d r | = \sqrt{\det (d r^{T} d r)}$ آورده شده است. این فرمول برای $m > n$ نیز برقرار است، $det$ در آن صورت یک شبه‌دترمینان است. اگر $S = r (R)$ تصویر یک جسم $R$ تحت یک نگاشت $C^{2}$ به نام $r$ باشد و $f : ℝ^{n} \to ℝ$ یک تابع باشد، آنگاه مادر تمام فرمول‌های جانشینی به صورت زیر است:

قضیه 2. $\iint_{R} f (r (u)) | d r (u) | d u = \iint_{S} f (u) d u .$

اثبات. اثبات مشابه آنچه در حالت تغییر متغیر دو بعدی دیده شد است. صرفاً به این دلیل که $n$ برای فضای هدف $ℝ^{n}$ استفاده می‌شود، از اندازه پایه $1 / N$ استفاده می‌کنیم. ناحیه را به قسمت‌های $R \cap Q$ با مکعب‌های $Q$ به اندازه $1 / N$ تقسیم کرده و تفاوت $Vol (d r (Q))$ و $Vol (r (Q))$ را با $C M_{N} / N^{2}$ تخمین می‌زنیم که منجر به یک کران کلی برای تفاوت به صورت $F C M_{N} / N^{2}$ می‌شود، که در آن $F$ حداکثر مقدار $f$ روی $R$ و $M_{n}$ مدول پیوستگی تابع هاینه-کانتور برای $f$ است. جمع همه موارد خطایی به صورت $F C Vol (R) M_{N} + 2^{n} Vol (δ R) F / N \to 0$ می‌دهد، که در آن $δ R$ مرز $R$ است. یک نکته جدید وجود دارد: باید ببینیم چرا $\sqrt{\det (A^{T} A)}$ حجم متوازی‌السطوحی است که توسط بردارهای ستونی ماتریس ژاکوبی $A = d r$ گسترده شده است. بعداً در مورد دترمینان‌ها به تفصیل صحبت خواهیم کرد اما اگر $A$ به فرم ردیفی-پلکانی کاهش‌یافته باشد، آنگاه $A^{T} A$ ماتریس همانی است و دترمینان برابر $1$ است که با حجم مطابقت دارد. حال توجه کنید که اگر یک ستون از $A$ در $λ$ ضرب شود و ماتریس جدید $B$ حاصل شود، آنگاه $\det (B^{T} A) = λ \det (A^{T} A)$ و $\det (B^{T} B) = λ^{2} \det (A^{T} A)$ . اگر دو ستون از $A$ جابجا شوند و ماتریس جدید $B$ حاصل شود، آنگاه $\det (B^{T} A) = - \det (A^{T} A)$ و $\det (B^{T} B) = \det (A^{T} A)$ . اگر یک ستون از $A$ به ستون دیگری اضافه شود، این کار $\det (B^{T} B)$ را تغییر می‌دهد. تنها مرحله کاهش ردیفی که بر $| d r |$ تأثیر می‌گذارد، مقیاس‌سازی است. اما این کاملاً هماهنگ با آن چیزی است که برای حجم رخ می‌دهد. ◻

26.2.4 کاربردهای پارامتری‌سازی در محاسبات انتگرال سطحی

آخرین قضیه همه چیزهایی را که تاکنون دیده‌ایم و هرگز برای انتگرال‌گیری توابع اسکالر روی خمینه‌ها نیاز داریم بدانیم، پوشش می‌دهد. در حالت خاص $n = m$ به نتیجه زیر منجر می‌شود:

قضیه 3. $\iint_{R} | d r (u) | d u = Vol (S)$ .

26.2.5 حجم‌ها و مساحت‌های سطح کره‌های n-بعدی با استفاده از مختصات فوق‌کروی

در اینجا مثال‌های مهم با ابعاد کوچک آورده شده است:

اگر $m = 1$ ، $n = 3$ ، آنگاه طول کمان منحنی $C = r (I)$ است.
اگر $m = 2$ ، $n = 2$ ، آنگاه $\iint_{R} | d r | d u d v$ مساحت ناحیه $S = r (R)$ است.
اگر $m = 2$ ، $n = 3$ ، آنگاه $\iint_{R} | r_{u} \times r_{v} | d u d v$ مساحت سطح $S = r (R)$ است.
اگر $m = 3$ ، $n = 3$ ، آنگاه $∭_{R} | d r | d u d v d w$ حجم جسم $S = r (R)$ است.

26.3 مثال‌ها

مثال 1. در تمام مثال‌های محاسبات مساحت سطح، یک پارامتری‌سازی $r (u, v) : R \to S$ می‌گیریم، سپس از این استفاده می‌کنیم که عامل اعوجاج $\sqrt{\det (d r^{T} d r)} = | r_{u} \times r_{v} |$ است.

**شکل 2.** عوامل اعوجاج $| d r | = | g | = \sqrt{\det (g)} = \sqrt{\det (d r^{T} d r)}$ به طور کلی ظاهر می‌شوند. برای $m = 2$ ، $n = 3$ مساحت سطح $\iint_{R} | r_{u} \times r_{v} | d u d v$ را به دست می‌دهد.

مثال 2. مسئله: مساحت سطح یک کره $x^{2} + y^{2} + z^{2} = L^{2}$ را بیابید.
راه‌حل: سطح را پارامتری کنید: $r ([θ, ϕ]) = [L \sin (ϕ) \cos (θ), L \sin (ϕ) \sin (θ), L \cos (ϕ)] .$ عامل اعوجاج $L^{2} \sin (ϕ)$ است. مساحت سطح برابر $4 π L^{2}$ است.

مثال 3. مسئله: مساحت سطح یک سطح دورانی را که در مختصات استوانه‌ای به صورت $z = g (θ)$ ، $a \leq z \leq b$ داده شده است، بیابید.
راه‌حل: سطح را پارامتری کنید: $r ([θ, z]) = [g (z) \cos (θ), g (z) \sin (θ), z] .$ عامل اعوجاج است. به عنوان مثال، می‌توانیم به سطح دورانی $x^{2} + y^{2} = 1 / z^{2}$ ، $| z |^{2} > 1$ نگاه کنیم. حجم جسم محصور شده توسط سطح $π$ است. مساحت سطح نامتناهی است.

مثال 4. مسئله: مساحت سطح نمودار یک تابع $z = f (x, y)$ ، $(x, y) \in R$ را بیابید.
راه‌حل: سطح را به صورت $r ([x, y]) = [x, y, f (x, y)]$ پارامتری کنید. عامل اعوجاج برابر است با $| r_{x} \times r_{y} | = \sqrt{1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2}} .$

مثال 5. مسئله: مساحت سطح تقاطع $x^{2} + z^{2} \leq 1$ ، $6 x + 3 y + 9 z = 12$ چقدر است؟
راه‌حل: سطح یک صفحه است اما همچنین یک نمودار روی $R = {x^{2} + z^{2} \leq 1}$ در صفحه $x z$ است. ساده‌ترین پارامتری‌سازی به صورت زیر است: $r ([x, z]) = [x, (12 - 6 x - 9 z) / 3, z] = [x, 4 - 2 x - 3 z, z] .$ این پارامتری‌سازی $| r_{x} \times r_{z} | = | [- 2, - 1, - 3] | = \sqrt{14}$ را به دست می‌دهد. مساحت سطح برابر است با $\iint_{R} \sqrt{14} d x d y = \sqrt{14} Area (R) = \sqrt{14} π .$

مثال 6. مختصات فوق‌کروی زیر کره $3$ -بعدی $x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} = 1$ در $ℝ^{4}$ را پارامتری می‌کند. $r ([ϕ, ψ, θ]) = [\cos (ϕ), \sin (ϕ) \cos (ψ), \sin (ϕ) \sin (ψ) \cos (θ), \sin (ϕ) \sin (ψ) \sin (θ)]$ با $θ \in [0, 2 π]$ ، $ϕ \in [0, π]$ ، $ψ \in [0, π]$ . عامل اعوجاج برابر است با $\sqrt{\det (d r^{T} d r)} = \sqrt{\sin^{4} (ϕ) \sin^{2} (ψ)}$ به طوری که مساحت سطح فوق‌کره برابر است با $2 π \int_{0}^{π} \int_{0}^{π} \sin^{2} (ϕ) \sin (ψ) d ϕ d ψ = 2 π^{2} .$

**شکل 3.** حجم و مساحت سطح کره‌های $k$ بعدی.

مثال 7. در بعد $n$ ، حجم $| B_{n} |$ گوی واحد $n$ -بعدی $B_{n}$ در $ℝ^{n}$ و حجم $| S_{n} |$ کره واحد $n$ -بعدی $S_{n}$ در $ℝ^{n + 1}$ چقدر است؟ با $| B_{0} | = 1$ شروع می‌شود، زیرا $B_{0}$ یک نقطه است و $| S_{0} | = 2$ ، زیرا $S_{0}$ از دو نقطه تشکیل شده است. $n$ -گوی به شعاع $ρ$ دارای حجم $| B_{n} | ρ^{n}$ و $n$ -کره به شعاع $ρ$ دارای حجم $| S_{n} | ρ^{n}$ است. از آنجایی که $| B_{n + 1} | = \int_{0}^{1} | S_{n} | ρ^{n} d ρ$ ، داریم $| B_{n + 1} | = | S_{n} | / (n + 1)$ . از آنجایی که $S_{n}$ را می‌توان به صورت اتحادی از حاصلضرب‌های $(n - 2)$ -کره‌ها با $S_{1}$ نوشت که منجر به $| S_{n} | = 2 π \int_{0}^{π / 2} | S_{n - 2} | \cos (ϕ) d ϕ = 2 π | B_{n - 1} |$ می‌شود. اکنون همه چیز را می‌دانیم: فقط با $| B_{0} | = 1$ ، $| S_{0} | = 2$ ، $| B_{1} | = 2$ ، $| S_{1} | = 2 π$ شروع کنید و

قضیه 4. $| B_{n} | = \frac{2 π}{n} | B_{n - 2} |$ ، $| S_{n} | = \frac{2 π}{n - 1} | S_{n - 2} |$ .

$5$ -گوی دارای حداکثر حجم $5.26379 \dots$ در میان تمام گوی‌های واحد است. $6$ -کره دارای حداکثر مساحت سطح $33.0734 \dots$ در میان تمام کره‌های واحد است. حجم $30$ -گوی تنها $0.00002 \dots$ است. برای مثال مساحت سطح $30$ -کره تنها $0.0003$ است. این را با یک مکعب واحد $𝒏$ -بعدی با حجم $1$ و مساحت سطح مرزی $2 n$ مقایسه کنید. کره‌ها و گوی‌های با ابعاد بالا بسیار کوچک هستند!

مثال ۸. اگر $S$ یک استوانه $x^{2} + y^{2} = 1$ ، $0 < z < 1$ باشد، که با مثلث‌هایی کوچک‌تر از $1 / n \to 0$ مثلث‌بندی شده است، آیا مساحت به مساحت سطح $A (S)$ همگرا می‌شود؟ خیر! یک مثال نقض، فانوس شوارتز از سال ۱۸۸۰ است. استوانه به $m$ برش و $n$ نقطه روی لبه هر برش علامت‌گذاری می‌شود تا مثلث‌هایی مانند $A = (1, 0, 0)$ ، $B = (\cos (4 π / n), \sin (4 π / n, 0))$ ، $C = (\cos (2 π / n), \sin (2 π / n), 1 / m)$ با مساحت $\sin (2 π / n) (1 / m) \sqrt{2 + 3 m^{2} - 4 m^{2} \cos (2 π / n) + m^{2} \cos (4 π / n)} / \sqrt{2}$ به دست آید. $n m$ مثلث مساحتی حدود $\sim \sqrt{2 + 8 m^{2} π^{4} / n^{4}} / \sqrt{2}$ دارند. برای $m = n^{3}$ ، مساحت مثلث‌بندی شده واگرا می‌شود.

مثال ۹. کره سه‌بعدی $x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} = 1$ در $ℝ^{4}$ است. پارامتری‌سازی هوپف $r : R \subset ℝ^{3} \to S \subset ℝ^{4}$ به صورت $r ([ϕ, θ_{1}, θ_{2}]) = [\cos (ϕ) \cos (θ_{1}), \cos (ϕ) \sin (θ_{1}), \sin (ϕ) \cos (θ_{2}), \sin (ϕ) \sin (θ_{2})]$ است. ما محاسبه می‌کنیم $| d r | = \sqrt{\det (d r^{T} d r)} = \cos (ϕ) \sin (ϕ) = \sin (2 ϕ) / 2.$ اگر $ϕ$ را ثابت کنیم، یک چنبره دو‌بعدی می‌بینیم. اتحاد آن‌ها با $ϕ \in [0, π / 2]$ ، فیبراسیون هوپف است. اکنون می‌توانیم حجم کره سه‌بعدی را محاسبه کنیم: $\int_{0}^{π / 2} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 π} \sin (2 ϕ) / 2 d ϕ d θ_{1} d θ_{2} = 2 π^{2} .$

تمرین‌ها

تمرین ۱. ممان اینرسی $∭_{E} (x^{2} + y^{2}) d V$ را بیابید، که در آن $E = {x^{2} + y^{2} \leq z^{2}, | z |^{2} \leq 1}$ مخروط دوگانه است.

تمرین ۲. انتگرال سه‌گانه $∭_{E} x y d V$ را ارزیابی کنید، که در آن $E$ توسط استوانه‌های سهموی $y = 3 x^{2}$ و $x = 3 y^{2}$ و صفحات $z = 0$ و $z = x + y$ محدود شده است.

تمرین ۳. ما مسئله را در فیلم "Gifted" برای محاسبه انتگرال ناسره $e^{- x^{2}}$ دیده‌ایم. در اینجا یک رویکرد دیگر است: تأیید کنید $\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- (x^{2} + y^{2} + z^{2})} d x d y d z = (\sqrt{π})^{3}$ از این مانند محاسبه در "Gifted" برای یافتن $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x$ استفاده کنید. می‌توانید این کار را بدون دانستن اینکه دومی $\sqrt{π}$ است انجام دهید.

تمرین ۴. مساحت سطح پل اینشتین-رزن $r (u, v) = [3 v^{3}, v^{9} \cos (u), v^{9} \sin (u)]^{T}$ را بیابید، که در آن $0 \leq u \leq 2 π$ و $- 1 \leq v \leq$ 1. تونل‌هایی که بخش‌های مختلف فضا-زمان را متصل می‌کنند، اغلب در داستان‌های علمی-تخیلی ظاهر می‌شوند.

تمرین ۵. مساحت سطح داده شده توسط هلیکوئید $r (u, v) = [u \cos (v), u \sin (v), v]^{T}$ با $0 \leq u \leq 1$ ، $0 \leq v \leq π$ را بیابید.

متأسفانه، انتگرال‌های اسکالر اغلب نزدیک به انتگرال‌گیری از فرم‌های دیفرانسیل (مانند فرم‌های حجم) قرار می‌گیرند. دومی‌ها از طبیعت متفاوت هستند و از نظریه انتگرال‌گیری استفاده می‌کنند که در آن فضاها با جهت‌گیری همراه هستند. تا کنون، اگر $r (u, v)$ را با $r (v, u)$ جایگزین کنیم، نتیجه یکسانی (مانند مساحت یا جرم) به دست می‌آید.↩︎