مرور: هندسهها و میدانها

فهرست مطالب

37.1 سخنرانی
37.2 ملاحظات
37.3 مثال‌های نمونه

37.1 سخنرانی

37.1.1 طبقه‌بندی قضایای انتگرالی بر اساس بعد

قضایای انتگرالی با هندسه‌ها $G$ و میدان‌ها $F$ سروکار دارند. انتگرال‌گیری آن‌ها را به شکل قضیه استوکس $\int_{G} d F = \int_{d G} F$ جفت می‌کند که شامل مرز $d G$ از $G$ و مشتق خارجی $d F$ از $F$ است. می‌توان قضایا را با نگاه به بعد $n$ فضای زیرین و بعد $m$ شیء $G$ طبقه‌بندی کرد. در بعد $n$ ، $n$ قضیه وجود دارد:

37.1.2 گرادیان و انتگرال‌های خطی

قضیه اساسی انتگرال‌های خطی قضیه‌ای درباره گرادیان $\nabla f$ است. این قضیه می‌گوید که اگر $C$ منحنی باشد که از $A$ به $B$ می‌رود و $f$ یک تابع (یعنی یک $0$ -فرم) است، آنگاه

قضیه 1. $\int_{C} \nabla f \cdot d r = f (B) - f (A)$ .

در حسابان، $1$ -فرم را به عنوان یک میدان برداری ستونی $\nabla f$ می‌نویسیم. در واقع این یک $1$ -فرم $F = d f$ است، میدانی که به هر نقطه یک بردار سطری نسبت می‌دهد. اگر $1$ -فرم در ارزیابی شود، به دست می‌آید که حاصل ضرب ماتریسی است. سپس بازکشش $1$ -فرم را روی بازه $[a, b]$ انتگرال می‌گیریم. این تغییر از بردارهای سطری به بردارهای ستونی است که به ضرب نقطه‌ای منجر می‌شود. برای منحنی‌های بسته، انتگرال خطی صفر است. همچنین نتیجه می‌شود که انتگرال‌گیری مستقل از مسیر است.

37.1.3 کرل و انتگرال‌های خطی: ارتباط گرین

قضیه گرین می‌گوید که اگر $G \subset ℝ^{2}$ ناحیه‌ای باشد که توسط منحنی $C$ با $G$ در سمت چپ محصور شده است، آنگاه

قضیه 2. $\iint_{G} curl (F) d x d y = \int_{C} F \cdot d r$ .

در زبان فرم‌ها، $F = P d x + Q d y$ یک $1$ -فرم است و یک $2$ -فرم است. این $2$ -فرم $d F$ را به صورت $Q_{x} - P_{y}$ می‌نویسیم و آن را به عنوان یک تابع اسکالر در نظر می‌گیریم، اگرچه این همان $0$ -فرم که یک تابع اسکالر است، نیست. اگر $curl (F) = 0$ در همه جای $ℝ^{2}$ باشد، آنگاه $F$ یک میدان گرادیانی است.

**شکل 1.** قضیه اساسی انتگرال‌های خطی و قضیه گرین.

37.1.4 سطوح و انتگرال‌های خطی

قضیه استوکس می‌گوید که اگر $S$ سطحی با مرز $C$ باشد که به گونه‌ای جهت‌دهی شده است که $S$ در سمت چپ قرار دارد و $F$ یک میدان برداری است، آنگاه

قضیه 3. $\iint_{S} curl (F) \cdot d S = \int_{C} F \cdot d r$ .

در چارچوب کلی، میدان $F = P d x + Q d y + R d z$ یک $1$ -فرم است و $2$ -فرم به عنوان یک میدان برداری ستونی $curl (F) = [R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y}]^{T}$ نوشته می‌شود. برای درک انتگرال شار، باید ببینیم که یک فرم دوخطی مانند $d x d y$ روی جفت بردارهای $r_{u}$ و $r_{v}$ چه می‌کند. در مورد $d x d y$ داریم $d x d y (r_{u}, r_{v}) = x_{u} y_{v} - y_{u} x_{v}$ که مؤلفه سوم ضرب خارجی $r_{u} \times r_{v}$ با $r_{u} = [x_{u}, y_{u}, z_{u}]^{T}$ است. انتگرال‌گیری $d F$ روی $S$ همان انتگرال‌گیری ضرب نقطه‌ای $curl (F) \cdot r_{u} \times r_{v}$ است. قضیه استوکس دلالت دارد که شار کرل $F$ فقط به مرز $S$ بستگی دارد. به طور خاص، شار کرل از طریق یک سطح بسته صفر است زیرا مرز خالی است.

37.1.5 قضیه گاوس: چشمه‌ها، چاه‌ها و تصویر بزرگ

قضیه گاوس: اگر سطح $S$ یک جسم جامد $E$ را در فضا محصور کند، به سمت بیرون جهت‌دهی شده باشد، و $F$ یک میدان برداری باشد، آنگاه

قضیه 4. $∭_{E} div (F) d V = \iint_{S} F \cdot d S$ .

قضیه گاوس با یک $2$ -فرم $F = P d y d z + Q d z d x + R d x d y$ سروکار دارد، اما از آنجایی که یک $2$ -فرم سه مؤلفه دارد، می‌توانیم آن را به عنوان یک میدان برداری $F = [P, Q, R]^{T}$ بنویسیم. ما محاسبه کرده‌ایم که در آن فقط عبارت‌های $P_{x} d x d y d z + Q_{y} d y d z d x + R_{z} d z d x d y = (P_{x} + Q_{y} + R_{z}) d x d y d z$ باقی می‌مانند که دوباره آن را با تابع اسکالر $div (F) = P_{x} + Q_{y} + R_{z}$ مرتبط می‌کنیم. انتگرال یک $3$ -فرم روی یک $3$ -جسم جامد، انتگرال سه‌گانه معمولی است. برای یک میدان برداری با واگرایی صفر $F$ ، شار از طریق یک سطح بسته صفر است. میدان‌های با واگرایی صفر تراکم‌ناپذیر یا بدون چشمه نیز نامیده می‌شوند.

37.2 ملاحظات

37.2.1 مشکل سه‌تایی: برخورد انواع تنسور در 3D

می‌بینیم که چرا حالت سه‌بعدی در ابتدا گیج‌کننده به نظر می‌رسد. ما سه قضیه داریم که بسیار متفاوت به نظر می‌رسند. این نوع سردرگمی در علم رایج است: ما چیزهایی را که در واقع متفاوت هستند در یک سطل قرار می‌دهیم: فقط در $3$ بعد است که $1$ -فرم‌ها و $2$ -فرم‌ها قابل شناسایی هستند. در واقع، چیزهای بیشتری با هم مخلوط شده‌اند: نه تنها $1$ -فرم‌ها و $2$ -فرم‌ها شناسایی می‌شوند، بلکه به عنوان میدان‌های برداری که میدان‌های تنسوری $T_{0}^{1}$ هستند نیز نوشته می‌شوند. از دیدگاه حساب تنسوری، سه فضا را شناسایی می‌کنیم $T_{0}^{1} (E) = E, T_{1}^{0} (E) = Λ^{1} (E) = E^{*}, and Λ^{2} (E) \subset T_{2}^{0} .$ در حالی که هنوز همیشه می‌توانیم میدان‌های برداری را با $1$ -فرم‌ها شناسایی کنیم، این شناسایی در یک فضای غیرمسطح عمومی به متریک بستگی دارد. در $ℝ^{4}$ ، $2$ -فرم‌ها بعد $6$ دارند و دیگر نمی‌توانند به عنوان یک بردار نوشته شوند. با این حال این کار انجام می‌شود. $F$ الکترومغناطیسی یک $2$ -فرم در $ℝ^{4}$ است که آن را به صورت یک جفت از دو میدان برداری وابسته به زمان، میدان الکتریکی $E$ و میدان مغناطیسی $B$ می‌نویسیم.

37.2.2 هماهنگ‌سازی فضای هیلبرت: ادغام هندسه‌ها و میدان‌ها

هندسه‌ها و میدان‌ها به طرز قابل توجهی مشابه هستند. روی هندسه‌ها، عملگر مرزی $d$ شرط $d \circ d = 0$ را برآورده می‌کند. روی میدان‌ها، عملگر مشتق $d$ شرط $d \circ d = 0$ را برآورده می‌کند. "هندسه‌ها" و همچنین "میدان‌ها" با یک جهت‌دهی همراه هستند: $r_{u} \times r_{v} = - r_{v} \times r_{u}, d x d y = - d y d x .$ عملگرهای $d$ و $d$ متفاوت به نظر می‌رسند زیرا حسابان با چیزهای هموار مانند منحنی‌ها یا سطوح سروکار دارد که به توابع تعمیم‌یافته منجر می‌شوند. در حسابان کوانتومی آن‌ها ضخیم می‌شوند و $d$ ، $d$ بدون حد تعریف می‌شوند. میدان‌ها و هندسه‌ها سپس به عناصر غیرقابل تشخیص در یک فضای هیلبرت تبدیل می‌شوند. مشتق خارجی $d$ دارای یک الحاقی $d = d^{*}$ است که عملگر مرزی است. این نوعی نظریه میدان کوانتومی است زیرا $d$ یک "ذره" را تولید می‌کند در حالی که $d^{*}$ آن را نابود می‌کند. $d^{2} = d^{2} = 0$ یک "اصل طرد پائولی" است.

37.2.3 فرم‌های دوگان و ژاکوبی‌ها: ازدواج خمینه-میدان

می‌توانیم این را بیشتر بچرخانیم: یک $𝒎$ -خمینه $S$ تصویر یک پارامتری‌سازی $r : G \subset ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ است. ژاکوبین $d r$ یک $𝒎$ -فرم دوگان است، حاصل ضرب خارجی $m$ بردار $d r_{u_{1}}$ تا $d r_{u_{m}}$ (به $m$ بردار ستونی متصل به $r (u) \in S$ فکر کنید). اگر یک نگاشت $s : S \subset ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ را در نظر بگیریم و به $F = d s$ نگاه کنیم، می‌توانیم آن را به عنوان یک $m$ -فرم $F$ در نظر بگیریم (به $m$ بردار سطری متصل به هر نقطه $x$ در $ℝ^{n}$ فکر کنید). نگاشت $s$ ژاکوبین $m \times n$ یعنی $d s (x)$ را تعریف می‌کند، در حالی که ژاکوبین $d r (u)$ ماتریس $n \times m$ است. کوشی-بینه نشان می‌دهد که شار $F = d s$ از طریق $r (G) = S$ انتگرال $\int_{G} F = \int_{G} \det (d s (r (u)) d r (u)) d u = \int_{S} \det (d s (x) d r (s (x)))$ است. اگر $s (r (u)) = u$ باشد، آنگاه این یک تابعی هندسی است. بنابراین: هندسه‌ها $G$ می‌توانند از نگاشت‌هایی از یک فضا $A$ به یک فضا $B$ بیایند، در حالی که میدان‌ها $F$ می‌توانند از نگاشت‌هایی از $B$ به $A$ بیایند. انتگرال کنش $\int_{G} F$ کنش پولیاکوف $\int_{G} \det (d r^{T} d r) = \int_{G} | d r |^{2}$ را تعمیم می‌دهد، حالتی که در آن $F$ و $G$ دوگان هستند به این معنی که $s (r (u)) = u$ .

37.3 مثال‌های نمونه

مثال 1. مسئله: انتگرال خطی $F (x, y, z) = [5 x^{4} + z y, 6 y^{5} + x z, 7 z^{6} + x y]$ را در طول مسیر $r (t) = [\sin (5 t), \sin (2 t), t^{2} / π^{2}]$ از $t = 0$ تا $t = 2 π$ محاسبه کنید.
راه حل: میدان یک میدان گرادیانی $d f$ با $f = x^{5} + y^{6} + z^{7} + x y z$ است. داریم قضیه اساسی انتگرال‌های خطی می‌دهد $\int_{C} \nabla f d r = f (B) - f (A) = 4^{7} .$

مثال 2. مسئله: انتگرال خطی میدان برداری $F (x, y) = [x^{4} + \sin (x) + y + 5 x y, 4 x + y^{3}]$ را در طول کاردیوئید $r (t) = (1 + \sin (t)) [\cos (t), \sin (t)]$ ، که در آن $t$ از $t = 0$ تا $t = 2 π$ متغیر است، پیدا کنید.
راه حل: از قضیه گرین استفاده می‌کنیم. از آنجایی که $curl (F) = 3 - 5 x$ ، انتگرال خطی انتگرال دوگانه $\iint_{G} (3 - 5 x) d x d y$ است. در مختصات قطبی انتگرال می‌گیریم و به دست می‌آوریم $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1 + \sin (t)} (3 - 5 r \cos (t)) r d r d t$ که برابر $9 π / 2$ است. می‌توان با توجه به اینکه با تقارن $\iint_{G} (- 5 x) d x d y = 0$ میان‌بر زد، به طوری که انتگرال $3$ برابر مساحت $\int_{0}^{2 π} (1 + \sin (t))^{2} / 2 d t = 3 π / 2$ کاردیوئید است.

مثال ۳. مسئله: انتگرال خطی $F (x, y, z) = [x^{3} + x y, y, z]$ را در طول مسیر چندضلعی $C$ که نقاط $(0, 0, 0)$ ، $(2, 0, 0)$ ، $(2, 1, 0)$ ، $(0, 1, 0)$ را به هم متصل می‌کند، محاسبه کنید.
حل: مسیر $C$ سطح $S : r (u, v) = [u, v, 0]$ را که بر روی $G = {(x, y) ∣ x \in [0, 2], y \in [0, 1]} .$ پارامتری شده است، محدود می‌کند. با قضیه استوکس، انتگرال خطی برابر با شار $curl (F) (x, y, z) = [0, 0, - x]$ از طریق $S$ است. بردار نرمال $S$ برابر است با $r_{u} \times r_{v} = [1, 0, 0] \times [0, 1, 0] = [0, 0, 1]$ بنابراین

مثال ۴. مسئله: شار میدان برداری $F (x, y, z) = [- x, y, z^{2}]$ را از طریق مرز $S$ جعبه مستطیلی $G = [0, 3] \times [- 1, 2] \times [1, 2] .$ محاسبه کنید. حل: با قضیه گاوس، شار برابر با انتگرال سه‌گانه $div (F) = 2 z$ بر روی جعبه است: $\int_{0}^{3} \int_{- 1}^{2} \int_{1}^{2} 2 z d z d y d x = (3 - 0) (2 - (- 1)) (4 - 1) = 27.$