محدودیت‌ها

مثال 1. مسئله: $f(x,y)=x^2+2y^2$ را تحت قید $g(x,y)=x+y^2=1$ کمینه کنید.
راه‌حل: معادلات لاگرانژ $2x=\lambda$، $4y=\lambda 2y$ هستند. اگر $y=0$ آنگاه $x=1$. اگر $y\ne 0$ می‌توانیم معادله دوم را بر $y$ تقسیم کنیم و $2x=\lambda$، $4=\lambda 2$ به دست آوریم که دوباره $x=1$ را نشان می‌دهد. نقطه $x=1$، $y=0$ تنها راه‌حل است.

مثال 2. مسئله: کدام قوطی نوشابه استوانه‌ای با ارتفاع $h$ و شعاع $r$ دارای حداقل سطح $A$ برای حجم ثابت $V$ است؟
راه‌حل: داریم $V(r,h)=h\pi r^2=1$ و $A(r,h)=$ $2\pi rh+2\pi r^2$. با $x=h\pi$، $y=r$، باید $f(x,y)=2xy+2\pi y^2$ را تحت قید $g(x,y)=x{y}^2=1$ بهینه کنید. این کار را در کلاس انجام خواهیم داد.

مثال 3. مسئله: اگر $0\le p_k\le 1$ احتمال این باشد که یک تاس عدد $k$ را نشان دهد، آنگاه داریم $g(p)=p_1+p_2+\cdots +p_6=1$. این بردار $p$ یک توزیع احتمال نامیده می‌شود. آنتروپی شانون $p$ به صورت تعریف می‌شود.

توزیع $p$ را پیدا کنید که آنتروپی $S$ را بیشینه می‌کند.
راه‌حل: $$\mathrm{\nabla }f=(-1-\log (p_1),\dots ,-1-\log (p_n)),\mathrm{\nabla }g=(1,\dots ,1).$$ معادلات لاگرانژ عبارتند از $$-1-\log (p_i)=\lambda ,p_1+\cdots +p_6=1,$$ که از آن $p_i=e^{-(\lambda +1)}$ به دست می‌آید. معادله آخر $$1=\sum _i\exp (-(\lambda +1))=6\exp (-(\lambda +1))$$ $\lambda =-\log (1/6)-1$ را ثابت می‌کند به طوری که $p_1=p_2=\cdots =p_6=1/6$. این تاس عادلانه است که دارای حداکثر آنتروپی است. حداکثر آنتروپی به معنای کمترین محتوای اطلاعاتی است.

مثال 4. فرض کنید احتمال اینکه یک سیستم فیزیکی یا شیمیایی در حالت $k$ باشد $p_k$ است و انرژی حالت $k$ $E_k$ است. طبیعت انرژی آزاد $$F(p_1,\dots ,p_n)=-\sum _i[p_i\log (p_i)-E_i{p}_i]$$ را کمینه می‌کند اگر انرژی‌های $E_i$ ثابت باشند. توزیع احتمال $p_i$ که $\sum _i{p}_i=1$ را برآورده می‌کند و انرژی آزاد را کمینه می‌کند، یک توزیع گیبس نامیده می‌شود. این توزیع را به طور کلی اگر $E_i$ داده شده باشند، پیدا کنید.
راه‌حل: $$\mathrm{\nabla }f=(-1-\log (p_1)-E_1,\dots ,-1-\log (p_n)-E_n),\mathrm{\nabla }g=(1,\dots ,1).$$ معادله لاگرانژ $\log (p_i)=-1-\lambda -E_i$، یا $p_i=\exp (-E_i)C$ است، که در آن $C=\exp (-1-\lambda )$. قید $p_1+\cdots +p_n=1$ $C(\sum _i\exp (-E_i))=1$ را می‌دهد به طوری که $C=1/\left(\sum _i{e}^{-E_i}\right)$. راه‌حل گیبس $p_k=\exp (-E_k)/\sum _i\exp (-E_i)$ است.¹

مثال 5. اگر $f$ یک تابع درجه دوم روی ${ℝ}^m$ باشد و $g$ خطی باشد، یعنی $f(x)=Bx\cdot x/2$ با $B\in M(m,m)$ و اگر قید $g(x)=Ax=c$ خطی باشد $A\in M(1,m)$، آنگاه $\mathrm{\nabla }f(x)=Bx$ و $\mathrm{\nabla }g(x)=A^T$. بیایید $b=A^T\in M(m,1)\sim {ℝ}^m$ بنامیم. معادلات لاگرانژ سپس $Bx=\lambda b$، $Ax=c$ هستند. به طور کلی می‌بینیم که برای $f$ درجه دوم و $g$ خطی، به یک دستگاه معادلات خطی می‌رسیم.

مثال 6. مرتبط با نکته قبلی، مشاهده زیر است. اغلب می‌توان مسئله لاگرانژ را به یک مسئله بدون قید تقلیل داد. این دیدگاهی است که اغلب در اقتصاد اتخاذ می‌شود. بیایید به آن در بعد $2$ نگاه کنیم، جایی که $f(x,y)$ را تحت قید $g(x,y)=0$ حدی می‌یابیم. $F(x,y,\lambda )=f(x,y)-\lambda g(x,y)$ را تعریف کنید. معادلات لاگرانژ برای $f,g$ اکنون معادل $\mathrm{\nabla }F(x,y,\lambda )=0$ در سه بعد هستند.