قضیه گاوس

مثال 1. مسئله: شار $F=[x,y,z]$ را از طریق کره‌ای به شعاع $\rho$ که یک توپ $G$ را محدود می‌کند، با جهت‌دهی به سمت خارج محاسبه کنید.
راه‌حل: از آنجایی که $\mathrm{div}(F)=3$ داریم $${\iiint }_G\mathrm{div}(F)dV=3\mathrm{Vol}(G)=3\cdot 4\pi {\rho }^3/3.$$ شار از طریق مرز ${\iint }_{S}F\cdot dS$ است. همانطور که در مختصات کروی، $$F(r(\varphi ,\theta ))\cdot r_{\varphi }\times r_{\theta }={\rho }^3\sin (\varphi ),$$ شار برابر است با $${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{\rho }^3\sin (\varphi )d\varphi d\theta =4\pi {\rho }^3$$ نیز.

مثال 2. مسئله: شار میدان برداری $$F(x,y,z)=[6x+y^3,3z^2+8y,22z+\sin (x)]$$ از طریق جسم جامد $$G=[0,3]\times [0,3]\times [0,3]\setminus ([0,3]\times [1,2]\times [1,2]\cup [1,2]\times [0,3]\times [1,2]\cup [0,3]\times [0,3]\times [1,2])$$ که یک مکعب با سه حفره مکعبی عمود بر هم است و مرحله اول ساخت اسفنج منگر است، چقدر است؟
راه‌حل: از آنجایی که $\mathrm{div}(F)=22+8+6=36$، نتیجه $36$ برابر حجم جسم جامد است که برابر است با $36(27-7)=720$.

مثال 3. مسئله: میدان گرانشی درون ماه در فاصله $\rho$ از مبدأ چگونه به نظر می‌رسد؟
راه‌حل: یک محاسبه مستقیم از جمع تمام مقادیر میدان $$F(x)={\iint }_G(x-y)/|x-y{|}^{3}dy$$ دشوار است زیرا نمی‌توانیم در مختصات کروی محاسبه کنیم. خوشبختانه قضیه واگرایی را داریم. میدان $F(x)$ طول ثابت $F(\rho )=|F(x)|$ برای $x$ روی یک کره $S(\rho )$ به شعاع $\rho$ دارد و به سمت داخل اشاره می‌کند. بنابراین $${\iint }_{S(\rho )}F\cdot dS=-4\pi {\rho }^{2}F(\rho ).$$ گاوس توانست میدان گرانشی را به عنوان یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی بنویسد، که در آن $\sigma (x)$ چگالی جرم جسم جامد است. سپس با قضیه واگرایی می‌بینیم که ${\iiint }_{B(\rho )}4\pi \sigma (x)dx$ برابر است با $-4\pi {\rho }^{2}F(\rho )$. با فرض ثابت بودن $\sigma$، داریم $$4\pi (4\pi {\rho }^3/3)\sigma =-4\pi {\rho }^{2}F(\rho )$$ که $F(\rho )=(4\sigma /3)\rho$ را به دست می‌دهد. میدان به صورت خطی در داخل جسم رشد می‌کند. اگر $\rho$ بزرگتر از شعاع ماه باشد، آنگاه ${\iiint }_{B(\rho )}4\pi \sigma (x)dx$ برابر است با $4\pi M$، که در آن $M={\iiint }_G\sigma (x)dx$ جرم ماه است. می‌بینیم که در آن صورت $F(\rho )=M/{\rho }^2$، که قانون نیوتن است.

مثال 4. مسئله: با استفاده از قضیه واگرایی، شار میدان برداری $$F(x,y,z)=[2342434y,2xy,4yz{]}^T$$ را از طریق مکعب واحد $[0,1]\times [0,1]\times [0,1]$ که از بالا باز است محاسبه کنید.
راه‌حل: واگرایی $F$ برابر است با $2x+4y$. انتگرال این روی مکعب واحد $1+2=3$ را به دست می‌دهد. شار از طریق تمام $6$ وجه $3$ است. شار از طریق وجه $z=1$ برابر است با $${\int }_0^1{\int }_0^{1}4ydxdy=2.$$ باید این را کم کنیم و $3-2=1$ به دست می‌آید.

مثال 5. به طور مشابه همانطور که قضیه گرین محاسبه مساحت را با استفاده از انتگرال‌های خطی امکان‌پذیر کرد، حجم یک ناحیه را می‌توان به عنوان یک انتگرال شار محاسبه کرد: یک میدان برداری $F$ با واگرایی ثابت $1$ مانند $F(x,y,z)=[0,0,z]$ در نظر بگیرید. داریم $${\iint }_S[0,0,z]\cdot dS=\mathrm{Vol}(G).$$ برای مثال، برای یک بیضی‌گون $x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2$، که پارامتری‌سازی آن $$r(\varphi ,\theta )=[a\sin (\varphi )\cos (\theta ),b\sin (\varphi )\sin (\theta ),c\cos (\varphi )],$$ است، داریم $$[0,0,c\cos (\varphi )][ab\sin (\varphi )\cos (\varphi )]=abc\sin (\varphi ){\cos }^2(\varphi )$$ که منجر به $2\pi abc\times 2/3=4\pi abc/3$ می‌شود.

مثال 6. یک کامپیوتر می‌تواند حجم یک جسم جامد محصور شده توسط یک سطح مثلث‌بندی شده را با محاسبه شار میدان برداری $F=[0,0,z]$ از طریق سطح تعیین کند. میدان برداری واگرایی $1$ دارد به طوری که با قضیه واگرایی، شار حجم را به دست می‌دهد. یک کامپیوتر یک شیء هندسی را با استفاده از مثلث‌ها ذخیره می‌کند. فرض کنید $ABC$ آن مثلث است. اگر $n=AB\times AC$ به سمت خارج ناحیه اشاره کند، آنگاه شار برابر است با $F\cdot n/2$. یک کامپیوتر اکنون می‌تواند تمام این مقادیر را جمع کند و حجم را به دست آورد.