قضیه استوکس تعمیمیافته

35.1 مقدمه

35.1.1 تعمیم حسابان چندمتغیره به چهار بعد

پس از دیدن یک قضیه بنیادی (FTC) در بعد $1$، دو قضیه (FTLI, GREEN) در بعد دو و سه قضیه (FTLI, STOKES, GAUSS) در بعد $3$، انتظار داریم $4$ قضیه در ابعاد $4$ داشته باشیم. این دقیقاً چنین است، اما چگونه چنین نظریه‌ای را فرموله می‌کنیم؟ چگونه این را در 4$$بعد که نقاط مختصات $(x,y,z,w)$ دارند، فرموله می‌کنید؟

35.1.2 رمزگشایی از فرم‌های دیفرانسیلی: از توابع تا نگاشت‌های چندخطی

الی کارتان فرم‌ها را معرفی کرد. در سه بعد، یک $\mathbf{0}$-فرم فقط یک تابع اسکالر است $$f(x,y,z).$$ یک $\mathbf{1}$-فرم عبارت است از $$F=Pdx+Qdy+Rdz,$$ که در آن $P$، $Q$، $R$ توابع اسکالر و $dx$، $dy$، $dz$ عبارات صوری هستند. یک $\mathbf{2}$-فرم عبارتی است به شکل $$F=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy,$$ که در آن $dx$، $dy$، $dz$ دوباره نمادهایی هستند اما از قوانینی مانند $dxdy=-dydx$، $dxdz=-dzdx$ و $dydz=-dzdy$ تبعیت می‌کنند. یک $\mathbf{3}$-فرم در نهایت به صورت $$fdxdydz,$$ نوشته می‌شود که در آن $dxdydz$ به عنوان یک فرم حجمی است. بیشتر کتاب‌های حسابان با $0$-فرم‌ها و $3$-فرم $f$ به عنوان توابع اسکالر و با $1$-فرم‌ها و $2$-فرم‌ها به عنوان میدان‌های برداری برخورد می‌کنند. اما $dx$ چیست؟ این یک نگاشت خطی از ${ℝ}^3\to ℝ$ است که بردار $[v_1,v_2,v_3]$ را به $v_1$ نگاشت می‌کند. عبارت $dxdy$ به عنوان یک نگاشت چندخطی پادمتقارن از ${ℝ}^3\times {ℝ}^3$ به $ℝ$: شیء $dxdy$ به دو بردار $v$، $w$ دترمینان ماتریس $v$، $w$، $[0,0,1{]}^T$ را به عنوان بردارهای ستونی نسبت می‌دهد. که برابر است با $$v\times w\cdot k=v_1{w}_2-v_2{w}_1.$$ جابجایی $v$ و $w$ علامت را تغییر می‌دهد به طوری که $dxdy=-dydx$ و به ویژه $dxdx=0$. شیء $dxdydz$ یک نگاشت چندخطی از ${ℝ}^3\times {ℝ}^3\times {ℝ}^3$ به $ℝ$ است که به $3$ بردار $u$، $v$، $w$ دترمینان ماتریسی را نسبت می‌دهد که در آن $u$، $v$، $w$ ستون‌ها هستند. باز هم، جابجایی دو عنصر علامت را تغییر می‌دهد. برای مثال $dxdydz=-dxdzdy$، یا $dxdxdz=0$.

35.1.3 تعمیم میدان‌های اسکالر و برداری

با جدا شدن از مفاهیمی مانند ضرب خارجی، اکنون به اشیایی می‌رسیم که می‌توانند در ابعاد دلخواه ${ℝ}^n$ تعریف شوند. یک $𝒌$-فرم قاعده‌ای است که در هر نقطه یک نگاشت چندخطی و پادمتقارن به اعداد حقیقی تعریف می‌کند. بیایید ببینیم این چگونه در $4$ بعد تعریف می‌شود: یک $\mathbf{0}$-فرم یک تابع اسکالر $f$ است. این به هر نقطه $(x,y,z,w)$ یک عدد نسبت می‌دهد $$f(x,y,z,w).$$ یک $\mathbf{1}$-فرم عبارتی است $$F=Pdx+Qdy+Rdz+Sdw$$ که می‌توان آن را به عنوان یک میدان برداری $F=[P,Q,R,S]$ در نظر گرفت. یک $\mathbf{2}$-فرم عبارتی است $$F=Adxdy+Bdxdz+Cdxdw+Pdydz+Qdydw+Rdzdw.$$ این یک میدان با $6$ مؤلفه است. یک $\mathbf{3}$-فرم عبارتی است $$F=Adydzdw+Bdxdzdw+Cdxdydw+Ddxdydz.$$ از آنجایی که این یک میدان با $4$ مؤلفه است، می‌توانیم دوباره آن را به عنوان یک "میدان برداری" ببینیم. یک $\mathbf{4}$-فرم عبارتی است $$F=fdxdydzdw.$$ از آنجایی که فقط یک مؤلفه دارد، می‌توانیم دوباره آن را به عنوان یک "تابع اسکالر" در نظر بگیریم، اگرچه این یک دروغ است. یک $4$-فرم شیء متفاوتی از یک $0$-فرم است.

35.1.4 کاربرد مشتق خارجی در چهار بعد

مشتق خارجی از یک $k$-فرم یک $(k+1)$-فرم تولید می‌کند. ابتدا $1$-فرم $$df=f_{x}dx+f_{y}dy+f_{z}dz+f_{w}dw$$ را برای یک $0$-فرم $f$ تعریف کنید، سپس از این برای $k$-فرم‌های عمومی استفاده کنید. با توجه به یک $1$-فرم $$F=Pdx+Qdy+Rdz+Sdw$$ تعریف کنید که به ساده می‌شود. اگر $$F=Adxdy+Bdxdz+Cdxdw+Pdydz+Qdydw+Rdzdw$$ یک $2$-فرم باشد، آنگاه به ساده می‌شود. در نهایت برای $$F=Adydzdw+Bdxdzdw+Cdxdydw+Ddxdydz$$ داریم

35.1.5 تانسورها و انتگرال‌گیری قضیه استوکس

می‌توانیم یک $(k+1)$-فرم $dF$ را روی یک $(k+1)$-منیفلد $G$ و یک $k$-فرم $F$ را روی $k$-منیفلد $dG$، یعنی مرز $dG$ از $G$، انتگرال بگیریم. می‌نویسیم ${\int }_{G}dF$. برای دیدن قضیه عمومی استوکس، باید بدانیم تانسور چیست. یادگیری ماشین می‌تواند معرفی این مفهوم را توجیه کند.¹ فرض کنید $E$ فضایی از بردارهای ستونی و $E^{\ast }$ فضایی از بردارهای سطری باشد.

بردارهای ستونی تانسورهایی از نوع $(1,0)$ هستند، بردارهای سطری تانسورهایی از نوع $(0,1)$ هستند، ماتریس‌ها تانسورهایی از نوع $(1,1)$ هستند. مشتق ژاکوبی $k$-ام یک تابع $f$ یک تانسور از نوع $(0,k)$ است. یک تانسور از نوع $(0,3)$ برای مثال یک آرایه سه‌بعدی از اعداد $A_{ijk}$ است. این یک نگاشت چندخطی تعریف می‌کند که به هر سه‌تایی از بردارهای $u$، $v$، $w$ عدد $\sum _{i,j,k}{A}_{ijk}{u}^i{v}^j{v}^k$ را نسبت می‌دهد.² یک $k$-فرم روی یک منیفلد در هر نقطه یک تانسور $(0,k)$ می‌چسباند.

35.2 درس

35.2.1 تانسورها به عنوان نگاشت‌های چندخطی روی فضاهای دوگان

$E={ℝ}^n=M(n,1)$ فضای بردارهای ستونی است. دوگان آن $E^{\ast }=M(1,n)$ فضای بردارهای سطری است. برای به دست آوردن اشیاء کلی‌تر، با بردارها به عنوان نگاشت برخورد می‌کنیم. یک بردار سطری یک نگاشت خطی $F:E\to ℝ$ است که با $F(u)=Fu$ تعریف می‌شود و یک بردار ستونی یک نگاشت خطی $F:E^{\ast }\to ℝ$ را با $F(u)=uF$ تعریف می‌کند. یک نگاشت $F(x_1,\dots ,x_n)$ از چندین متغیر چندخطی نامیده می‌شود، اگر در هر مختصات خطی باشد. مجموعه $T_q^p(E)$ از همه نگاشت‌های چندخطی $F:(E^{\ast }{)}^p\times E^q\to ℝ$ فضای تانسورهای نوع $(p,q)$ است. داریم $T_0^1(E)=E$ و $T_1^0(E)=E^{\ast }$. فضای $T_1^1(E)$ به طور طبیعی با فضای $M(n,n)$ ماتریس‌های $n\times n$ قابل شناسایی است. در واقع، با توجه به یک ماتریس $A$، یک بردار ستونی $v\in E$ و یک بردار سطری $w\in E^{\ast }$، نگاشت دوخطی $F(v,w)=wAv$ را به دست می‌آوریم. این در $v$ و در $w$ خطی است. به عبارت دیگر، این یک تانسور از نوع $(1,1)$ است.

35.2.2 تانسورهای پادمتقارن و k-فرم‌ها

فرض کنید ${\mathrm{\Lambda }}^q(E)$ زیرفضایی از $T_q^0(E)$ باشد که از تانسورهای $F$ از نوع $(0,q)$ تشکیل شده است به طوری که $F(x_1,\dots x_q)$ در $x_1,\dots ,x_q\in E$ پادمتقارن است: این بدان معناست که $$F(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (q)})=(-1{)}^{\sigma }f(x_1,\dots ,x_q)$$ برای همه $i,j=1,\dots ,q$، که در آن $(-1{)}^{\sigma }$ علامت جایگشت $\sigma$ از $\{1,\dots ,n\}$ است. اگر ضریب دو جمله‌ای $B(n,q)=n!/(q!(n-q)!)$ تعداد زیرمجموعه‌های با $q$ عنصر از $\{1,\dots ,n\}$ را بشمارد و $E$ بعد $n$ داشته باشد، آنگاه ${\mathrm{\Lambda }}^q(E)$ بعد $B(n,q)$ دارد. یک نگاشت $F:E\to T_q^p(E)$ یک $\mathbf{(}𝒑\mathbf{,}𝒒\mathbf{)}$-میدان تانسوری نامیده می‌شود. مجموعه $T_0^1(E)$ فضای میدان‌های برداری است. اگر $g:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$ یک نگاشت هموار باشد، آنگاه $F=d^{k}g$ یک میدان تانسوری از نوع $(0,k)$ است. یک $𝒌$-فرم یک میدان تانسوری $(0,k)$ است با $F(x)\in {\mathrm{\Lambda }}^k(E)$. یک $2$-فرم در ${ℝ}^3$ برای مثال به $x\in {ℝ}^3$ یک نگاشت دوخطی و پادمتقارن $F(x)(u,v)=-F(x)(v,u)$ می‌چسباند. می‌نویسند $$Pdydz+Qdxdz+Rdxdy$$ که در آن $$dydz(u,v)=u_2{v}_3-u_3{v}_2,dxdz(u,v)=u_1{v}_3-u_3{v}_1,dxdy(u,v)=u_1{v}_2-v_1{u}_2.$$

35.2.3 حساب خارجی: فرم‌ها، مشتق‌ها و انتگرال‌گیری

مشتق خارجی $d:{\mathrm{\Lambda }}^p\to {\mathrm{\Lambda }}^{p+1}$ برای $f\in {\mathrm{\Lambda }}^0$ به صورت $$df=f_{x_1}d{x}_1+\cdots +f_{x_n}d{x}_n$$ و $$d(fd{x}_{i_1}\cdots d{x}_{i_p})=\sum _i{f}_{x_i}d{x}_{i}d{x}_{i_1}\cdots d{x}_{i_p}$$ تعریف می‌شود. برای مثال، برای $F=Pdx+Qdy$، داریم $$(P_{x}dx+P_{y}dy)dx+(Q_{x}dx+Q_{y}dy)dy=(Q_x-P_y)dxdy$$ که چرخش $F$ است. اگر $r:G\subset {ℝ}^m\to {ℝ}^n$ یک پارامتری‌سازی باشد، آن‌گاه $S=r(G)$ یک $𝒎$-رویه است و $\delta S=r(\delta G)$ مرز آن در ${ℝ}^n$ است. اگر $F\in {\mathrm{\Lambda }}^p({ℝ}^n)$ یک $𝒑$-فرم روی ${ℝ}^n$ باشد، آن‌گاه $$r^{\ast }F(x)(u_1,\dots ,u_p)=F(r(x))(dr(x)(u_1),dr(x)(u_2),\dots ,dr(x)(u_p))$$ یک $p$-فرم در ${ℝ}^m$ است که بازکشش $r$ نامیده می‌شود. با توجه به یک $p$-فرم $F$ و یک $p$-رویه $S=r(G)$، انتگرال ${\int }_{S}F={\int }_G{r}^{\ast }F$ را تعریف می‌کنیم. قضیه عمومی استوکس به صورت زیر است:

35.3 مثال‌ها

35.4 ملاحظات

35.4.1 فرم‌های دیفرانسیل: رویکرد مدرن در مقابل روش‌های کلاسیک

از نظر تاریخی، فرم‌های دیفرانسیل در سال ۱۹۲۲ با الی کارتان ظهور کردند. اکثر کتاب‌های درسی جبر گراسمانی را زود معرفی می‌کنند و برای مثال از زبان «زنجیره‌ها» استفاده می‌کنند که زبانی است که در توپولوژی جبری استفاده می‌شود. من خودم نیز این موضوع را به این روش قدیمی تدریس می‌کردم، در سال ۱۹۹۵.^۳ این ژان دیودونه در سال ۱۹۷۲ بود که قضیه عمومی استوکس را از زنجیره‌ها رها کرد و ابتدا از ایده بازکشش مستقل از مختصات استفاده کرد. این به ما در این سخنرانی اجازه داد تا قضیه عمومی استوکس را از ابتدا در یک صفحه با تمام تعاریف فرموله کنیم.

35.4.2 رویکردهای شهودی به فرم‌های دیفرانسیل

فرم دیفرانسیل چیست؟ ما یک تعریف دقیق ریاضی دیده‌ایم: یک فرم دیفرانسیل یک نوع میدان است: یک تابع چندخطی پادمتقارن را تعریف می‌کند که به هر نقطه از فضا متصل است. اما شهود چیست و راه‌های «تجسم» و «دیدن» و «درک» چنین شیئی کدامند؟ در اینجا چهار مسیر وجود دارد. شاید یکی از آنها کمک کند:

1. با استفاده از استوکس می‌توان یک فرم را به عنوان یک تابعک $F$ دید که به یک رویه $m$-بعدی جهت‌دار $S$ یک عدد ${\int }_{S}F\cdot dS$ نسبت می‌دهد به طوری که^۴ $${\int }_{-S}F\cdot dS={\int }_S(-F)\cdot dS=-{\int }_{S}F\cdot dS.$$ این طرز فکر در مورد فرم‌ها با آنچه در حالت گسسته انجام می‌دهیم مطابقت دارد. اگر یک $k$-فرم روی یک گراف داشته باشیم، این یک تابع روی زیرگراف‌های کامل جهت‌دار $k$-بعدی است. با توجه به یک گراف $S$ داریم ${\int }_{S}F\cdot dS=\sum _{x\in S}F(x)$، که در آن مجموع روی همه سادک‌های $k$-بعدی در $S$ است.
2. می‌توان فرم‌های دیفرانسیل را با استفاده از حساب، جبر گراسمانی، بهتر درک کرد. این کار با کمک ضرب تانسوری انجام می‌شود که یک ضرب خارجی $F\wedge G$ روی ${\mathrm{\Lambda }}^p\times {\mathrm{\Lambda }}^q\to {\mathrm{\Lambda }}^{p+q}$ را القا می‌کند. این ضرب، ضرب برداری ${\mathrm{\Lambda }}^1\times {\mathrm{\Lambda }}^1\to {\mathrm{\Lambda }}^2$ را تعمیم می‌دهد که برای $n=3$ کار می‌کند زیرا در آنجا، فضای $1$-فرم‌های ${\mathrm{\Lambda }}^1$ و $2$-فرم‌های ${\mathrm{\Lambda }}^2$ قابل شناسایی هستند. ساختار جبر خارجی به درک $k$-فرم‌ها کمک می‌کند. برای مثال می‌توانیم یک $2$-فرم را به عنوان ضرب خارجی $F\wedge G$ دو $1$-فرم ببینیم. برای مثال می‌توانیم یک $2$-فرم را به عنوان اتصال دو بردار در یک نقطه در نظر بگیریم و دو چنین چارچوبی را اگر جهت و مساحت متوازی‌الاضلاع آنها مطابقت داشته باشد، یکسان بشناسیم.
3. راه سوم از طریق فیزیک می‌آید. ما با تجلیات الکترومغناطیس آشنا هستیم: نور را می‌بینیم، از آهنربا برای چسباندن کاغذ به یخچال استفاده می‌کنیم یا نیروهای مغناطیسی درب لپ‌تاپ را بسته نگه می‌دارند. میدان‌های الکتریکی هنگام شانه زدن موها احساس می‌شوند، زیرا جرقه‌های تولید شده توسط میدان الکتریکی بالا را می‌بینیم که با جدا کردن الکترون‌ها از سر به دست می‌آید. ما از میدان‌های مغناطیسی برای ذخیره اطلاعات روی هارد دیسک‌ها و از میدان‌های الکتریکی برای ذخیره اطلاعات روی هارد دیسک SSD استفاده می‌کنیم. میدان‌های الکترومغناطیسی غیرقابل مشاهده هنگام برقراری ارتباط با تلفن همراه یا اتصال از طریق بلوتوث یا اتصالات شبکه بی‌سیم استفاده می‌شوند. میدان الکترومغناطیسی $E$، $B$ در واقع یک $2$-فرم در $4$ بعد است. $6$ مؤلفه $B(4,2)=6$ عبارتند از $(E_1,E_2,E_3,B_1,B_2,B_3)$.
4. راه چهارم از طریق گسسته‌سازی می‌آید. هنگام فرمول‌بندی استوکس روی یک شبکه گسسته، همه چیز بسیار ساده‌تر است: یک $k$-فرم فقط یک تابع روی زیرگراف‌های کامل جهت‌دار $k$-بعدی یک شبکه است. با یک گراف $G=(V,E)$ شروع کنید و زیرگراف‌های کامل را به طور دلخواه جهت‌دار کنید. با توجه به یک $k$-فرم $F$، یک تابع روی سادک‌های $k$، مشتق خارجی در یک سادک $k+1$ بعدی $x$ به صورت $dF(x)=\sum _{y\subset x}\sigma (y,x)F(y)$ تعریف می‌شود، که در آن مجموع روی همه زیرسادک‌های $k$-بعدی $x$ است و $\sigma (y,x)=1$ اگر جهت $y$ با جهت $x$ مطابقت داشته باشد یا در غیر این صورت $-1$ است. برای مثال دیده‌ایم که برای یک $1$-فرم $F$، یک تابع روی یال‌ها، مشتق خارجی در یک مثلث $x$ مجموع مقادیر $F$ روی یال‌ها است، که در آن مقدار را اگر جهت پیکان یال با جهت مثلث مطابقت نداشته باشد، منفی اضافه می‌کنیم.

35.5 کاربردها

35.5.1 دوگانگی الکترومغناطیسی از یک-فرم‌ها تا لاپلاسین

یک میدان الکترومغناطیسی توسط یک $1$-فرم $A$ در فضازمان $4$-بعدی تعیین می‌شود. میدان الکترومغناطیسی $F=dA$ است. معادلات ماکسول $dF=0$ هستند (رابطه $d\circ d=0$ در تمرین خانگی دیده می‌شود). بخش دوم معادلات ماکسول $d^{\ast }F=j$ است، که در آن $d^{\ast }:{\mathrm{\Lambda }}^p\to {\mathrm{\Lambda }}^{p-1}$ الحاقی است و $j$ یک $1$-فرم است که هم بار الکتریکی و هم جریان الکتریکی را رمزگذاری می‌کند. ما همیشه می‌توانیم با یک گرادیان $A+df$ پیمانه‌ای کنیم به طوری که $d^{\ast }(A+df)=0$ (پیمانه کولن). با استفاده از $d^{\ast }A=0$، معادلات ماکسول به معادله پواسون $$LA=(d{d}^{\ast }+d^{\ast }d)A=j$$ تقلیل می‌یابند، که در آن $L$ لاپلاسین روی $1$-فرم‌ها است. جریان الکتریکی $j$ میدان الکترومغناطیسی $F$ را به سادگی با معکوس کردن لاپلاسین تعریف می‌کند. این در پیوستار کمی مشکل است، زیرا معکوس یک عملگر انتگرالی است.^۵ در حالت گسسته، این فقط معکوس ماتریس $L$ است، که به هر حال اگر گراف $G=(V,E)$ به سادگی همبند باشد، همیشه یک ماتریس $|E|\times |E|$ معکوس‌پذیر است. و نور پدیدار شد!

تمرین‌ها