ریاضیات جزیره

فهرست مطالب

۲۱.۱ مقدمه
- ۲۱.۱.۱ مدل‌سازی توپوگرافی جزیره اسپکتکل
- ۲۱.۱.۲ بهینه‌سازی خطوط ساحلی جزیره با حساب دیفرانسیل و انتگرال
۲۱.۲ بیشینه‌سازی مساحت
۲۱.۳ کوه‌ها، چاله‌ها و گردنه‌ها
تمرین‌ها

۲۱.۱ مقدمه

۲۱.۱.۱ مدل‌سازی توپوگرافی جزیره اسپکتکل

ما در جزیره اسپکتکل (Spectacle Island)، در نزدیکی بندر بوستون هستیم و می‌خواهیم تابع $f (x, y)$ را که ارتفاع را در موقعیت $(x, y)$ نشان می‌دهد، درک کنیم. این جزیره زمانی مکانی دور از چشم و فراموش‌شده بود که در اشغال یک کارخانه فرآوری لاشه اسب (تبدیل اسب به چرم و کود)، تاسیسات بازیافت چربی و محل دفن زباله قرار داشت. چندش‌آور بود! در دهه ۱۹۶۰ میلادی، طرحی برای نوسازی و پاکسازی جزیره و بازسازی و تغییر شکل آن به یک پارک عمومی اجرا شد. این جزیره اکنون دارای $5$ مایل مسیر پیاده‌روی و سواحل زیباست و به نمونه‌ای از نحوه بازآفرینی یک فضای باز پایدار تبدیل شده است.

**Figure 1** شکل ۱. جزیره اسپکتکل در بوستون دارای دو تپه محلی و یک نقطه زینی برای تابع ارتفاع $f (x, y)$ است. فرض می‌کنیم این تابع در سواحل برابر با $0$ است. آیا می‌توان به طور کلی درباره ماکسیمم‌ها، مینیمم‌ها و نقاط زینی یک جزیره چیزی گفت؟ در این حالت ما دو ماکسیمم و یک نقطه زینی داریم.

۲۱.۱.۲ بهینه‌سازی خطوط ساحلی جزیره با حساب دیفرانسیل و انتگرال

زمانی که این هفته به دنبال ماکسیمم‌ها و مینیمم‌ها بودیم، چندان توجهی نداشتیم که چه تعداد نقطه بحرانی وجود دارد یا چه ترکیب‌هایی از نقاط بحرانی می‌توانند رخ دهند. مشخص شده است که این یک موضوع بسیار هیجان‌انگیز است. موضوع دیگری که می‌توانیم هنگام بازدید از یک جزیره بررسی کنیم، رابطه بین مساحت و محیط آن (طول سواحل) است. اگر مساحت ثابت باشد، کل خط ساحلی چقدر می‌تواند کوتاه یا بلند شود؟ این مسئله یک مسئله لاگرانژ بی‌نهایت‌بعدی است، اما می‌توانیم آن را در ابعاد متناهی و با نگاه کردن به یک جزیره چندضلعی نیز بررسی کنیم. ما از این موضوع در اینجا برای کشف برخی مباحث مرتبط با حساب دیفرانسیل استفاده می‌کنیم.

**Figure 2** شکل ۲. جزیره‌ای با $4$ قله کوه، یک چاله و $4$ گردنه. قضیه جزیره که برقرار بودن رابطه $peaks + sinks - passes = 1$ را تضمین می‌کند، در اینجا صادق است.

۲۱.۲ بیشینه‌سازی مساحت

۲۱.۲.۱ مسئله هم‌پیرامونی: جزایر و شکل‌های بهینه

یک «جزیره» ناحیه‌ای در صفحه دو بعدی $ℝ^{2}$ است که توسط یک منحنی بسته ساده $C$ محصور شده است؛ این منحنی در همه جا پیوسته و به جز در مجموعه‌ای متناهی از نقاط، همه‌جا مشتق‌پذیر است. ما برای امکان‌پذیر ساختن چندضلعی‌های ساده، استثناهایی برای پیوستگی مشتق قائل می‌شویم. کدام جزیره با محیط مرزی ثابت، بیشترین مساحت را دارد؟ این مسئله را مسئله هم‌پیرامونی (Isoperimetric) می‌نامند. اگر این مسئله را به چندضلعی‌هایی با تعداد $n$ رأس محدود کنیم، یک مسئله لاگرانژ متناهی‌بعدی زیبا خواهیم داشت.

۲۱.۲.۲ بیشترین مساحت مثلث

بیایید به یک جزیره مثلثی $T (x, y)$ با رأس‌های $(- 1, 0)$ ، $(1, 0)$ و $(x, y)$ نگاه کنیم.

مسئله الف: فرض کنید محیط مثلث یعنی $g (x, y) = 1 + \sqrt{(x + 1)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x - 1)^{2} + y^{2}}$ برابر با $3$ باشد. بیشترین مساحت $f (x, y) = y / 2$ که می‌توانیم به دست آوریم چقدر است؟ معادلات لاگرانژ را تشکیل داده و آن‌ها را حل کنید.

۲۱.۲.۳ بررسی مکان هندسی نقاط با مجموع فواصل ثابت

در اینجا یک مسئله مرتبط از هندسه اقلیدسی قدیمی آورده شده است. اگر در این مورد اطلاعی ندارید، عبارت «روش ترسیم بیضی با نخ و پین» را جستجو کنید.

مسئله ب: چه نقاطی مانند $(x, y)$ در صفحه در رابطه $g (x, y) = 3$ صدق می‌کنند؟ این یعنی کدام نقاط در صفحه این ویژگی را دارند که مجموع فواصل آن‌ها از دو نقطه ثابت، مقداری ثابت است؟

۲۱.۲.۴ ارتباط بین مثلث‌ها و چندضلعی‌های منتظم

حل مسئله یافتن $n$ -ضلعی با بیشترین مساحت، یک مسئله لاگرانژ پیچیده است. این کار توسط کامپیوتر قابل انجام است، اما راه ظریف‌تری نیز وجود دارد:

مسئله ج: از محاسبات مسئله الف استفاده کنید تا نشان دهید برای به دست آوردن بیشترین مساحت برای مثلثی با رأس‌های متوالی $\dots, P, Q, R, \dots$ در یک ردیف، فاصله بین $P$ و $Q$ باید با فاصله بین $Q$ و $R$ برابر باشد.

مسئله د: نتیجه بگیرید چندضلعی‌ای با $n$ رأس که بیشترین مساحت را دارد، باید یک چندضلعی منتظم باشد.

۲۱.۲.۵ بازتاب مسیر

شما در یک جزیره گنج $G$ قرار دارید و دو موقعیت $A$ و $C$ را در $G$ در اختیار دارید. می‌خواهید از $A$ به $C$ بروید اما تمایل دارید ابتدا نقطه‌ای در ساحل را لمس کنید. مشخص می‌شود که راه‌حل این مسئله، قانون انعکاس بیلیارد در مرز است. یک مثلث $A B C$ را در نظر بگیرید، منحنی را با خط مماس $L$ در نقطه $B$ جایگزین کنید. نقطه $C$ را نسبت به خط $L$ بازتاب دهید تا نقطه به دست آید. این مسیر زمانی کوتاه‌ترین است که طول مسیر $A B C$ با طول مسیر مستقیم متصل‌کننده $A$ به برابر باشد.

**Figure 3.** شکل ۳. کدام چندضلعی با محیط ثابت، بیشترین مساحت را دارد؟

۲۱.۳ کوه‌ها، چاله‌ها و گردنه‌ها

۲۱.۳.۱ بررسی قضیه پوانکاره-هاپف با قله‌ها و چاله‌ها

دفعه بعد که در جزیره‌ای متروک رها شدید، تعداد $m$ قله‌های کوه، تعداد $s$ چاله‌ها و تعداد $p$ گردنه‌ها را بشمارید. چند آزمایش انجام دهید. متوجه قاعده زیر خواهید شد که به عنوان حالت خاصی از قضیه پوانکاره-هاپف شناخته می‌شود:

Theorem 1

قضیه ۱. $maxima + minima - saddles = 1$ .

مسئله و: مثالی بیابید که این رابطه در آن برقرار باشد، به طوری که در آن داشته باشیم: $maxima = 3$ ، $minima = 1$ و $saddles = 3$ .

۲۱.۳.۲ قضیه جزیره در حلقه‌های مرجانی (آتول‌ها)

اگر می‌خواهید خود را به چالش بکشید، ببینید آیا می‌توانید قضیه جزیره را با استفاده از تغییر شکل (دِفورماسیون) اثبات کنید. (البته این کار احتمالاً بسیار دشوار است. صرفاً از تلاش برای حل آن لذت ببرید!)

مسئله ز: اکنون فرض کنید جزیره ما یک آتول (یک صخره مرجانی حلقه‌مانند) است. با بررسی چند مثال، بفرمایید عدد جزیره یعنی $maxima + minima - saddles$ روی یک آتول چقدر است؟

**Figure 4.** شکل ۴. ابتدا جزیره‌ای با $2$ قله کوه و $1$ گردنه. سپس جزیره‌ای با $3$ قله کوه و $2$ گردنه. مشاهده می‌کنیم که رابطه $maxima + minima - saddles = 1$ برقرار است.

**Figure 5** شکل ۵. آتول آتافو. تصویر از مرکز فضایی جانسون ناسا، ۲۰۰۹.

**Figure 6.** شکل ۶. اگر سطحی مانند $S : g = c$ را در فضا قرار دهیم و به محدود ساختن تابع $f (x, y, z)$ روی سطح $S$ نگاه کنیم، یک مسئله لاگرانژ را حل کرده‌ایم. در یک وضعیت مورس، مقادیر $maxima + minima - saddles$ به عددی ختم می‌شوند که فقط به تعداد سوراخ‌ها بستگی دارد.

۲۱.۳.۳ قضیه جزیره تک‌بعدی

بیایید به حالت تک‌بعدی نگاه کنیم که در آن اثبات قضایا آسان‌تر است. فرض کنید جزیره بازه $[a, b]$ باشد. فرض کنید $f$ یک تابع هموار روی بازه $[a, b]$ باشد که این ویژگی را دارد که $f$ برای $x \geq b$ و $x \leq a$ برابر با صفر است. ما به نقاط بحرانی تابع $f$ در درون بازه $(a, b)$ نگاه می‌کنیم که مورس هستند (یعنی در نقاط بحرانی است)، به طوری که فقط ماکسیمم‌ها و مینیمم‌های محلی را به عنوان نقاط بحرانی داریم. فرض کنید $m$ تعداد ماکسیمم‌ها و $s$ تعداد مینیمم‌ها (چاله‌ها) باشد. برای جلوگیری از زیر آب رفتن جزیره، همچنین فرض می‌کنیم که تابع $f$ برای مقادیر $x > a$ در نزدیکی $a$ و $x < b$ در نزدیکی $b$ ، مثبت است.

Theorem 2

قضیه ۲. $maxima - minima = 1$ .

مسئله ح: نشان دهید برای یک تابع مورس $f$ که تکیه‌گاه آن یک بازه متناهی $[a, b]$ است، تعداد فردی نقطه بحرانی وجود دارد.

مسئله ط: با استفاده از استدلال تغییر شکل نشان دهید که اگر $2 k + 1$ نقطه بحرانی وجود داشته باشد، می‌توانیم با ادغام یک جفت ماکسیمم و مینیمم مجاور، تعداد آن‌ها را به $2 k - 1$ کاهش دهیم.

تمرین‌ها

Exercise 1.

تمرین ۱. فرض کنید $f : ℝ \to ℝ$ یک تابع مورس تک‌متغیره روی یک دایره باشد. رابطه بین تعداد ماکسیمم‌ها ( $m$ ) در بازه $[0, 2 π)$ و تعداد مینیمم‌ها در بازه $[0, 2 π)$ چیست؟ ادعای خود را اثبات کنید.
راهنمایی: نشان دهید برای یک تابع مورس، امکان ندارد که دو ماکسیمم مجاور یکدیگر باشند.

Exercise 2.

تمرین ۲. اگر به ماکسیمم‌ها، مینیمم‌ها و نقاط زینی برای یک تابع مورس $f (x, y)$ تعریف‌شده روی یک کره نگاه کنیم، عدد جزیره یعنی $maxima + minima - saddles$ را در آنجا بیابید.

Exercise 3.

تمرین ۳. اگر به ماکسیمم‌ها، مینیمم‌ها و نقاط زینی برای یک تابع $f (x, y)$ تعریف‌شده روی یک دونات (توروس) نگاه کنیم، با بررسی چند مثال، عدد جزیره یعنی $maxima + minima - saddles$ را در آنجا به دست آورید.

Exercise 4.

تمرین ۴. اگر به ماکسیمم‌ها، مینیمم‌ها و نقاط زینی روی یک برتسل با دو سوراخ نگاه کنیم (به یاد داشته باشید که قبلاً چنین شکلی را ساخته‌اید) با بررسی چند مثال، عدد جزیره یعنی $maxima + minima - saddles$ در آنجا چقدر خواهد بود؟ ساده‌ترین حالت زمانی رخ می‌دهد که تابع در فضا یعنی $ℝ^{3}$ خطی باشد.

Exercise 5.

تمرین ۵. توضیح دهید که چگونه می‌توان یک تابع مشخص $f (x, y)$ از دو متغیر ساخت که دارای دو ماکسیمم، بدون هیچ مینیممی و بدون هیچ نقطه زینی باشد. (طبق قضیه جزیره، این حالت روی یک جزیره امکان‌پذیر نیست؛ با این حال، در کل صفحه ممکن است، اما توصیف چنین تابعی چندان آسان نیست. ایده‌ها و راه‌حل‌های خود را با یکدیگر به بحث بگذارید.)