دیدار ارشمیدس

27.1 مقدمه

27.1.1 تلاقی اندیشه‌ها در طول هزاره‌ها

صدای طبل‌ها... این شما و این ارشمیدس (۲۸۷ قبل از میلاد - ۲۱۲ قبل از میلاد). او پدر حساب انتگرال به شمار می‌رود. او همچنین یک «همه چیز دان» در نظر گرفته می‌شود، کسی که در چندین موضوع تسلط یافته و نوآوری کرده است: ریاضیات، فیزیک، مهندسی و نجوم.

27.2 سمینار

27.2.1 خوش آمدید، ارشمیدس!

در این جلسه مرور، ما این افتخار را داریم که ارشمیدس را به عنوان مهمان ویژه در کنار خود داشته باشیم. قبل از این رویداد، ما با استفاده از فناوری موسوم به «تونل‌زنی کوانتومی رو به جلو» با او گفتگو کردیم که امکان تعامل با بخشی از گذشته را بدون مواجهه با پارادوکس علیت فراهم می‌کند. ارشمیدس واقعی از این مصاحبه اطلاعی نداشت. این «روح کوانتومی» اوست که این کار را برای ما انجام می‌دهد. این فناوری چگونه کار می‌کند؟ فضا-زمان کوانتومی گاهی اوقات پیکربندی‌های کرم‌چاله‌ای بسیار کوچکی ایجاد می‌کند که در آن‌ها یک تابع موج می‌تواند به دام بیفتد. با بهره‌برداری از بسیاری از این موج‌های به دام افتاده، می‌توانیم یک شیء یا شخص را از زمان‌های گذشته بازسازی کرده و با آن تعامل داشته باشیم. «تونل زمانی» ایجاد شده به این روش تنها برای مدت کوتاهی پایدار است، زیرا موج‌های به دام افتاده ظرف نیم ساعت محو می‌شوند. با این حال، این زمان برای یک مصاحبه کوتاه کافی است. ما از این فرصت استفاده می‌کنیم و از او درباره قضایایش می‌پرسیم.

27.2.2 یافتم! رونمایی از رازهای کره

ریاضی ۲۲ب: باعث افتخار است که شما را اینجا داریم. خوش آمدید!
ارشمیدس: خوشحالم که خود را در این مکان زیبا می‌بینم. باید یک رویا باشد. من این شهر را نمی‌شناسم اما حس «اسکندریه‌ای در آینده» را دارد.
ریاضی ۲۲ب: بله، اینجا هم یکی از قطب‌های علمی است، اما اکنون قطب‌های زیادی وجود دارد. ما مشتاقیم کمی درباره مهارت شما در اثبات‌ها بدانیم.

27.2.3 ارشمیدس و مدل‌های چوبی: رونمایی از نسبت‌های حجم

ریاضی ۲۲ب: کدام یک از نتایج خود را مهم‌ترین می‌دانید؟
ارشمیدس: قطعاً فرمول حجم کره!
ریاضی ۲۲ب: چرا؟
ارشمیدس: به دست آوردن این فرمول بسیار سخت‌تر از محیط دایره یا مساحت سطح کره بود. همچنین آزمایش تجربی این نتیجه دشوارتر بود.
ریاضی ۲۲ب: چگونه اندازه‌گیری کردید؟
ارشمیدس: ما مدل‌های چوبی از استوانه‌ها، مخروط‌ها و کره‌هایی با شعاع قاعده و ارتفاع یکسان ساختیم و نسبت حجم آن‌ها را اندازه‌گیری کردیم.

27.2.4 ترفند برش‌زدن: اولین اثبات تاریخی برای حجم کره؟

ریاضی ۲۲ب: آیا مقایسه کره با متمم یک مخروط در استوانه، از نظر تاریخی اولین اثبات بود؟
ارشمیدس: این رابطه قبلاً حدس زده شده بود. گمان می‌رفت که نسبت بین حجم یک کره و حجم یک استوانه کسر $2/3$ باشد، اما هیچ‌کس نتوانسته بود این رابطه را اثبات کند تا اینکه من ترفند برش‌زدن را دریافتم.

27.2.5 کشفی در وان حمام

ریاضی ۲۲ب: آیا لحظه دقیق جرقه زدن این کشف را به یاد دارید؟
ارشمیدس: مستقیماً به یاد نمی‌آورم اما باید یکی از آن «ایده‌های وان آب گرم» بوده باشد.

27.2.6 ارشمیدس و دایره: سفری به عدد پی

ریاضی ۲۲ب: این کشف باید پس از محاسبه محیط دایره رخ داده باشد. دومی چقدر سخت بود؟
ارشمیدس: این هم به زمان نیاز داشت. خیلی زود مشخص شد که محیط به نوعی با شعاع متناسب است. اندازه‌گیری این مقدار ثابت کمی دشوارتر بود، حتی با این وجود که مشخص نبود دقیقاً چه کسری است. کسر $22/7$ نزدیک بود. من ابتدا نسبت قطر به مساحت را به دست آوردم. این کار را با استفاده از تصویر زیر انجام دادم.

27.2.7 سم استوانه‌ای کنجکاو: رمزگشایی از حجم آن

ریاضی ۲۲ب: ما همچنین در مورد محاسبه شما برای حجم «سم استوانه‌ای» شگفت‌زده هستیم، که جسم صلب محصور بین استوانه $x^2+y^2=1$ و $z=x$ و $z=0$ است.
ارشمیدس: من نمادهایی را که بیان کردید نمی‌شناسم اما می‌دانم درباره چه جسمی صحبت می‌کنید. هیجان‌انگیز بود که دیدم جسمی که بخشی از آن با بخش‌های گرد محصور شده است، حجمی گویا دارد که برابر با $2$ سوم ارتفاع است. می‌توان به روش‌های مختلفی دید که نتیجه برابر با $2/3$ است.

27.2.8 استوانه‌ها و کره‌ها: ارتباط مساحت‌های جانبی

ریاضی ۲۲ب: همچنین محاسبه شما از مساحت سطح کره با مرتبط کردن آن با مساحت سطح یک استوانه بسیار چشمگیر است. شهود پشت آن چه بود؟
ارشمیدس: در واقع، یک رسم به اندازه کافی دقیق این موضوع را به خوبی نشان می‌دهد. از آنجا که هر دو وضعیت دارای تقارن دایره‌ای هستند، ما فقط باید بفهمیم چه اتفاقی برای طول‌های روی یک کره می‌افتد وقتی روی استوانه تصویر می‌شود. مثلث‌های متشابهی وجود دارند. چوبی به طول مشخص بردارید و آن را روی کره به سمت قطب شمال قرار دهید. هر چه به قطب نزدیک‌تر می‌شود، طول ارتفاعی آن نصف طول واقعی می‌شود. در این صورت شعاع آن موقعیت نیز نصف می‌شود و غیره. از آنجا که مساحت یک نوار کوچک از کره برابر با ارتفاع ضرب در شعاع ضرب در حدود $22/7$ است، این مقدار مساحت استوانه نیز هست. در مورد کره، ضریب یک‌دوم روی شعاع اعمال می‌شود. در مورد استوانه، این ضریب روی ارتفاع اعمال می‌شود.

27.2.9 تولد توابع: ارشمیدس وارد دنیای جدیدی می‌شود

ریاضی ۲۲ب: یک سوال آخر: تابع در ریاضیات چیست؟
ارشمیدس: من این اصطلاح را نمی‌شناسم: برای من، ریاضیات با اشیاء هندسی و اعدادی که ویژگی‌های آن اشیاء مانند طول، مساحت یا حجم را مشخص می‌کنند، سروکار دارد.
ریاضی ۲۲ب: ما فرمول شما برای حجم کره را به صورت $V(r)=4\pi r^3/3$ تفسیر می‌کنیم که قاعده‌ای است که به شعاع $r$ یک عدد نسبت می‌دهد. ما همچنین قواعدی داریم که نحوه محاسبه نرخ تغییرات را بیان می‌کنند. برای مثال، برای تابع $V(r)$، نرخ تغییر آن $4\pi r^2$ یعنی مساحت سطح کره است. دلیل آن این است که اگر شعاع را به اندازه یک واحد کوچک کاهش دهیم، این اساساً به معنای برداشتن لایه‌ای به مساحت $4\pi r^2$ است.
ارشمیدس: این جالب است. بگذارید ببینم: آیا این برای مساحت و محیط یک قرص دایره‌ای هم صدق می‌کند؟
ریاضی ۲۲ب: قطعاً. بفرمایید.
ارشمیدس: خب، با این زبان جدید، می‌گوییم که یک قرص دایره‌ای به شعاع $r$ برابر با $f(r)=\pi r^2$ است. من فرض می‌کنم که برای هر عدد صحیح $n$، نرخ تغییر $r^n$ برابر با $n{r}^{n-1}$ است.
ریاضی ۲۲ب: بله، درست است.
ارشمیدس: در این صورت نرخ تغییر $\pi r^2$ برابر با $2\pi r$ است و در واقع این همان فرمول من برای محیط دایره است. این «فایدروس» است.

27.2.10 پایان تلاقی اندیشه‌ها

ریاضی ۲۲ب: بسیار سپاسگزارم از این مصاحبه. این به ما برای امتحان میان‌ترم دوم الهام خواهد بخشید. شاید بتوانید روز سه‌شنبه تشریف بیاورید و امتحان بدهید یا روز یکشنبه در جلسه مرور شرکت کنید؟
ارشمیدس: «باعث افتخار من خواهد بود.»

تمرین‌ها