جامدات

25.1 مقدمه

25.1.1 فراتر از سطوح: اجسام سه‌بعدی

اشیاء $1$-بعدی منحنی‌ها و اشیاء $2$-بعدی نواحی یا سطوح هستند. در بعد $3$، با اجسام سروکار داریم. ساده‌ترین اجسام قابل تصور مکعب یا گوی کروی هستند. اجسام در فضای سه‌بعدی معمولاً با رسم سطوح مرزی آن‌ها ترسیم می‌شوند. برای مثال، یک چندوجهی توپر توسط صفحات محدود شده است. شکل اول جسم محدود شده توسط هذلولی‌گون‌ها را نشان می‌دهد. محاسبه حجم آن چالش بزرگی است.¹

25.1.2 ساخت ابعاد: طول، مساحت، و اکنون حجم

در حالی که منحنی‌های $C$ دارای طول و نواحی $S$ دارای مساحت هستند، اجسام سه‌بعدی $E$ دارای حجم هستند. در سخنرانی بعدی به مساحت سطح ${\iint }_{S}1dS$ خواهیم پرداخت. در این سخنرانی به حجم ${\iiint }_{E}1dV$ می‌پردازیم.

25.2 سخنرانی

25.2.1 از اجسام پایه تا انتگرال‌های سه‌گانه

یک جسم پایه $R$ در ${ℝ}^n$ یک ناحیه کراندار است که توسط تعداد محدودی سطح $g_i(x_1,\dots ,x_n)=c_i$ محصور شده است. یک جسم یک اتحاد متناهی از چنین اجسام پایه‌ای است. ما در اینجا عمدتاً بر $n=3$ تمرکز می‌کنیم. یک انتگرال $3$بعدی $I={\iiint }_{R}f(x,y,z)dxdydz$ به همان صورت به عنوان حد یک جمع ریمان $I_n$ تعریف می‌شود که برای یک عدد صحیح معین $n$ به صورت $$I_n=\frac{1}{n^3}\sum _{(\frac{i}{n},\frac{j}{n},\frac{k}{n})\in R}f(\frac{i}{n},\frac{j}{n},\frac{k}{n}).$$ همگرایی به همان روش اثبات می‌شود. سهم مرز را می‌توان در حد $n\to \mathrm{\infty }$ نادیده گرفت. اگر $\mathrm{\Phi }:R\to E$ یک پارامتری‌سازی از جسم باشد، آنگاه

25.2.2 محاسبه حجم‌ها با انتگرال‌های سه‌بعدی و تغییر متغیر

اگر $f(x,y,z)$ ثابت $1$ باشد، آنگاه ${\iiint }_{E}f(x,y,z)dxdydz$ حجم جسم $E$ است. برای یک مخروط $$x^2+y^2\le z^2,0\le z\le 1,$$ می‌توانیم بنویسیم $$\iiint 1dzdxdy={\iint }_R(1-\sqrt{x^2+y^2})dxdy,$$ که در آن $R$ قرص واحد است. حجم آن $\pi -2\pi /3=\pi /3$ است. برای کره واحد $x^2+y^2+z^2\le 1$ برای مثال، می‌توانیم بنویسیم $${\iiint }_{E}1dzdxdy={\iint }_{R}2\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy,$$ که در آن $R$ قرص واحد $x^2+y^2\le 1$ است. در مختصات قطبی، به دست می‌آوریم $${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{1}2\sqrt{1-r^2}rdrd\theta =4\pi /3.$$ همچنین می‌توانیم از مختصات کروی استفاده کنیم $$\mathrm{\Phi }([\rho ,\varphi ,\theta ])=[\rho \sin (\varphi )\cos (\theta ),\rho \sin (\varphi )\sin (\theta ),\rho \cos (\varphi )],$$ که در آن $|d\mathrm{\Phi }|={\rho }^2\sin (\varphi )$. حجم برابر است با $${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{\int }_0^1{\rho }^2\sin (\varphi )d\rho d\varphi d\theta =4\pi /3.$$

25.2.3 دو رویکرد کلیدی برای انتگرال‌گیری سه‌بعدی

دو استراتژی اساسی برای محاسبه انتگرال وجود دارد: اولی برش ناحیه در امتداد یک خط مانند محور $z$ و سپس تشکیل ${\int }_a^b{\iint }_{R(z)}f(x,y,z)dxdydz$ است. برای به دست آوردن حجم یک مخروط برای مثال، ${\int }_0^1\left[{\iint }_{R(z)}1dxdy\right]dz$ را انتگرال بگیرید. انتگرال دوگانه داخلی مساحت برش است که $\pi z^2$ است. آخرین انتگرال $\pi /3$ را می‌دهد. کاهش دوم این است که جسم را بین دو نمودار از یک تابع روی یک ناحیه $R$ ساندویچ شده ببینیم، سپس ${\iint }_R[{\int }_{g(x,y)}^{h(x,y)}f(x,y,z)dz]dxdy$ را تشکیل دهیم. در مورد مخروط، برای $R$ قرصی به شعاع $1$ داریم. تابع پایینی $g(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ و تابع بالایی $1$ است. به دست می‌آوریم ${\iint }_R[1-\sqrt{x^2+y^2}]dxdy$، یک انتگرال دوگانه که بهتر است با استفاده از مختصات قطبی محاسبه شود: $${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1(1-r)rdrd\theta =2\pi (1/2-1/3)=\pi /3.$$ برگر و سیب‌زمینی سرخ کرده!

25.2.4 ژاکوبین‌ها برای مختصات کروی و استوانه‌ای

در قضیه فرمول تغییر مختصات را دیدیم اگر $\mathrm{\Phi }:R\to E$ داده شده باشد. برای مختصات کروی $$\mathrm{\Phi }([\rho ,\varphi ,\theta ])=[\rho \sin (\varphi )\cos (\theta ),\rho \sin (\varphi )\sin (\theta ),\rho \cos (\varphi )],$$ داریم . برای مختصات استوانه‌ای، وضعیت مشابه مختصات قطبی است. نگاشت $$\mathrm{\Phi }([r,\theta ,z])=[r\cos (\theta ),r\sin (\theta ),z]$$ تولید می‌کند .

25.2.5 حجم بیضی‌گون

بیایید انتگرال ${\iiint }_{E}1dxdydz$ را پیدا کنیم، که در آن $$E=\{x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2\le 1\}$$ یک بیضی‌گون توپر است. راحت‌ترین راه معرفی یک تغییر مختصات دیگر $\mathrm{\Psi }([x,y,z])\to [ax,by,cz]$ است که کره توپر $S$ را به بیضی‌گون توپر $E$ نگاشت می‌کند. سپس نگاشت مختصات کروی $\varphi :R\to S$ را بگیرید، که در آن $$R=\{(\rho ,\varphi ,\theta )\mid 0\le \rho \le 1,0\le \varphi \le \pi ,0\le \theta \le 2\pi \}.$$ اکنون $\mathrm{\Psi }\circ \mathrm{\Phi }:R\to E$ یک تغییر مختصات است که $R$ را به بیضی‌گون نگاشت می‌کند. با قاعده زنجیره‌ای، عامل اعوجاج $|d\mathrm{\Psi }||d\mathrm{\Phi }|=abc{\rho }^2\sin (\varphi )$ است. انتگرال برابر است با $$abc(1/3)(2\pi ){\int }_0^{\pi }\sin (\varphi )d\varphi =\boxed{(4\pi /3)(abc)}.$$

25.2.6 حجم چنبره توپر: یک دستگاه مختصات ویژه

برای محاسبه حجم یک چنبره توپر، می‌توانیم یک دستگاه مختصات ویژه معرفی کنیم $$\mathrm{\Phi }([r,\psi ,\theta ])=[(b+ar\cos (\psi ))\cos (\theta ),(b+ar\cos (\psi ))\sin (\theta ),a\sin (\psi )].$$ چنبره توپر $E$ سپس تصویر مکعب‌مستطیل $$\{(r,\psi ,\theta )\mid 0\le r\le 1,0\le \psi \le 2\pi ,0\le \theta \le 2\pi \}.$$ است. دترمینان $|d\mathrm{\Phi }|=a^2{\cos }^2(s)(b+ar\cos (s))$ است. انتگرال‌گیری روی مکعب‌مستطیل حجم $(2\pi b)(\pi a^2)$ را می‌دهد.

25.3 مثال‌ها