تقریب تیلور

17.1 مقدمه

17.1.1 چگونه خطی بودن به فاینمن در فتح ریشه مکعب کمک کرد

طبق افسانه‌ها¹، ریچارد فاینمن در چالشی برای محاسبه ریشه مکعب $1729.03$ در مقابل محاسبه با چرتکه شرکت کرد. با استفاده از تقریب خطی و کمی شانس، او توانست با کاغذ و مداد به $12.002384$ برسد. ریشه مکعب واقعی $12.002383785691718123057$ است. فاینمن چگونه این کار را کرد؟ راز در تقریب خطی است. این بدان معناست که ما تابعی مانند $f(x)=x^{1/3}$ را با یک تابع خطی تقریب می‌زنیم. همین کار را می‌توان برای توابع چندمتغیره نیز انجام داد. تقریب خطی به شکل است.

17.1.2 فراتر از تقریب‌های خطی

همچنین می‌توان تقریب‌های مرتبه بالاتر انجام داد. برای مثال، تابع $f(x)=e^x$ تقریب خطی $L(x)=1+x$ در $a=0$ و تقریب درجه دوم $Q(x)=1+x+x^2/2$ در $a=0$ دارد. برای بدست آوردن جمله درجه دوم، فقط باید مطمئن شویم که مشتق اول و دوم در $x=a$ برابر باشند. این فرمول را می‌دهد. در واقع، می‌توانید بررسی کنید که $f(x)$ و $Q(x)$ مشتقات اول و دوم یکسانی در $x=a$ دارند. تقریب درجه $n$ آنگاه چندجمله‌ای $$P_n(x)=\sum _{k=0}^n{f}^{(k)}(a)\frac{(x-a{)}^k}{k!}.$$ است. برای مثال، برای تابع $e^x$، تقریب مرتبه $m$ ام $$e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+\cdots +x^n/n!.$$ را داریم.

17.1.3 تقریب‌های چندمتغیره

همین کار را می‌توان در ابعاد بالاتر انجام داد. همه چیز یکسان است. فقط باید از مشتق $df$ به جای مشتق معمولی استفاده کنیم. در اینجا فقط به تقریب خطی و درجه دوم توابع ${ℝ}^n\to ℝ$ می‌پردازیم. تقریب خطی آنگاه $$L(x)=f(a)+\mathrm{\nabla }f(a)(x-a)$$ است که در آن $$\mathrm{\nabla }f(a)=df(a)=[f_{x_1}(a),\cdots ,f_{x_n}(a)]$$ ماتریس ژاکوبی است، که یک بردار سطری است. اکنون، از آنجا که می‌توانیم $df(x):{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ را ببینیم، مشتق دوم یک ماتریس $d^{2}f(x)=H(x)$ است. این ماتریس هسین نامیده می‌شود. تمام مشتقات دوم $H_{ij}(x)=$ $f_{x_i{x}_j}$ را در خود رمزگذاری می‌کند.

17.2 سخنرانی

17.2.1 رونمایی از فرمول تیلور چندبعدی

با داشتن یک تابع $f:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$، مشتق آن $df(x)$ ماتریس ژاکوبی است. برای هر $x\in {ℝ}^m$، می‌توانیم از ماتریس $df(x)$ و یک بردار $v\in {ℝ}^m$ استفاده کنیم تا $D_{v}f(x)=$ $df(x)v\in {ℝ}^m$ را بدست آوریم. برای $v$ ثابت، این یک نگاشت $x\in {ℝ}^m\to df(x)v\in {ℝ}^n$ تعریف می‌کند، مانند $f$ اصلی. از آنجا که $D_v$ یک نگاشت روی $$𝒳=\{\text{تمام توابع از }{ℝ}^m\to {ℝ}^n\},$$ است، آن را یک عملگر می‌نامند. فرمول تیلور $f(x+t)=e^{Dt}f(x)$ در ابعاد دلخواه برقرار است:

17.2.2 تانسورها و نمایش سری تیلور چندبعدی

فرمول تیلور را می‌توان با استفاده از مشتقات متوالی $df$، $d^{2}f$، $d^{3}f$ نیز نوشت، که آنگاه تانسور نامیده می‌شوند. در حالت اسکالر $n=1$، مشتق اول $df(x)$ به گرادیان $\mathrm{\nabla }f(x)$ منجر می‌شود، مشتق دوم $d^{2}f(x)$ به ماتریس هسین $H(x)$ که یک فرم دوخطی است که روی جفت‌های بردار عمل می‌کند. مشتق سوم $d^{3}f(x)$ سپس روی سه‌تایی‌های بردارها عمل می‌کند و الی آخر. همچنان می‌توان مانند یک بعد نوشت

اگر $f^{(k)}=d^{k}f$ بنویسیم. برای یک چندجمله‌ای، این فقط بدان معناست که ابتدا ثابت، سپس تمام جملات خطی، سپس تمام جملات درجه دوم، سپس تمام جملات درجه سوم و الی آخر را می‌نویسیم.

17.2.3 تقریب محلی از طریق خطی‌سازی

فرض کنید $f:{ℝ}^m\to ℝ$ و سری تیلور را بعد از گام اول متوقف کنید. بدست می‌آوریم $$L(x_0+v)=f(x_0)+\mathrm{\nabla }f(x_0)\cdot v.$$ مرسوم است که این را با $x=x_0+v$، $v=x-x_0$ به صورت $$L(x)=f(x_0)+\mathrm{\nabla }f(x_0)\cdot (x-x_0)$$ بنویسیم. این تابع خطی‌سازی $f$ نامیده می‌شود. هسته $L-f\left(x_0\right)$ یک منیفلد خطی است که سطح $$\{x\mid f(x)-f\left(x_0\right)=0\}.$$ را تقریب می‌زند. اگر $f:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$، آنگاه آنچه گفته شد می‌تواند برای هر مولفه $f_i$ از $f$، با $1\le i\le n$ اعمال شود. نمی‌توان به اندازه کافی بر اهمیت این خطی‌سازی تأکید کرد.²

17.2.4 نزدیک‌تر شدن: تقریب‌های درجه دوم با هسین

اگر سری تیلور را بعد از دو گام متوقف کنیم، تابع $$Q(x+v)=f(x)+df(x)\cdot v+v\cdot d^{2}f(x)\cdot v/2.$$ را بدست می‌آوریم. ماتریس $H(x)=d^{2}f(x)$ ماتریس هسین در نقطه $x$ نامیده می‌شود. در اینجا نیز مرسوم است که $v$ را با نوشتن $x=x_0+v$ حذف کنیم. $$Q(x)=f(x_0)+\mathrm{\nabla }f(x_0)\cdot (x-x_0)+(x-x_0)\cdot H(x_0)(x-x_0)/2$$ تقریب درجه دوم $f$ نامیده می‌شود. هسته $Q-f(x_0)$ منیفلد درجه دوم $$Q(x)-f(x_0)=x\cdot Bx+Ax=0,$$ است، که در آن $A=df$ و $B=d^{2}f/2$. این سطح $\{x\mid f(x)-f\left(x_0\right)=0\}$ را حتی بهتر از حالت خطی تقریب می‌زند. اگر $|x-x_0|$ از مرتبه $ϵ$ باشد، آنگاه $|f(x)-L(x)|$ از مرتبه ${ϵ}^2$ و $|f(x)-Q(x)|$ از مرتبه ${ϵ}^3$ است. این از فرمول دقیق تیلور با باقی‌مانده نتیجه می‌شود.³

17.2.5 صفحه مماس بر یک سطح

برای بدست آوردن صفحه مماس بر یک سطح $f(x)=C$ می‌توان به سادگی به منیفلد خطی $L(x)=C$ نگاه کرد. با این حال، روش بهتری وجود دارد:

17.2.6 چگونه گرادیان‌ها به یافتن صفحات مماس بر سطوح کمک می‌کنند

این از قضیه اساسی گرادیان‌ها نتیجه می‌شود:

17.3 مثال‌ها

تمرین‌ها