حساب برداری گسسته

33.1 مقدمه

33.1.1 حساب دیفرانسیل و انتگرال گسسته

در این سمینار و همچنین سمینار هفته آینده، ما حساب دیفرانسیل و انتگرال را روی شبکه‌های متناهی بازسازی می‌کنیم. این همان شکلی است که ممکن است حساب چندمتغیره در آینده داشته باشد. بی‌نهایتی وجود ندارد، حدودی وجود ندارد. ریاضیات همان است. ما ابتدا قضیه اساسی انتگرال خطی، قضیه گرین و استوکس ${\int }_{G}dF={\int }_{dG}F$ را در چنین جهانی فرمول‌بندی خواهیم کرد.

33.1.2 حساب شبکه

یک شبکه متناهی یک گراف $(V,E)$ است، که در آن $V$ مجموعه‌ای متناهی از گره‌ها به نام راس‌ها است و $E$ اتصالات بین گره‌ها هستند. هیچ حلقه‌ای وجود ندارد به این معنی که اتصالات گره‌های متفاوتی را به هم وصل می‌کنند و همچنین، تنها یک اتصال بین دو نقطه امکان‌پذیر است. به $(V,E)$ یک گراف ساده متناهی می‌گویند. اکنون مشابه روشی که سیستم‌های مختصات را در فضای خود معرفی می‌کنیم تا بگوییم شمال، جنوب، بالا یا پایین و غیره کجاست، هنگام انجام محاسبات، جهتی را به یال‌ها اختصاص می‌دهیم. این کار تا حدودی اختیاری است اما معمولاً به هر حال هنگام پیاده‌سازی یک گراف روی کامپیوتر انجام می‌شود. به عنوان مثال $$(G,V)=(\{1,2,3,4\},\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)\})$$ گرافی با $4$ گره است که در آن همه گره‌ها به یکدیگر متصل هستند. هنگام انجام محاسبات، ما به توابع روی گره‌ها، توابع روی یال‌ها، توابع روی زیرگراف‌های مثلثی و همچنین توابع روی زیرگراف‌های چهاروجهی نگاه می‌کنیم.

33.2 سمینار

33.2.1 میدان‌ها و گرادیان‌های شبکه

در این سمینار، ما فضای ${ℝ}^n$ را با یک گراف متناهی $G=(V,E)$ جایگزین می‌کنیم، که در آن $V$ مجموعه‌ای از راس‌ها به نام گره‌ها و $E$ مجموعه‌ای از یال‌ها به نام اتصالات است. یک میدان اسکالر تابعی مانند $f$ است که به هر راس $x$ یک مقدار تابع $f(x)$ را نسبت می‌دهد. ما فرض می‌کنیم راس‌ها مرتب شده‌اند که منجر به ترتیبی در یال‌ها می‌شود: اگر باشد، یک فلش $a\to b$ رسم کنید. این ترتیب پیش‌فرض هیچ تاثیری روی هیچ‌یک از قضیه‌ها ندارد. یک میدان برداری به هر یال یک عدد $F(x)$ نسبت می‌دهد. یک منحنی لیستی از گره‌های $x_1,x_2,\dots ,x_n$ است به طوری که $x_1$ به $x_2$ متصل است، $x_2$ به $x_3$ متصل است و غیره. گرادیان $\mathrm{\nabla }f$ از یک تابع اسکالر $f$، میدان برداری $F(a,b)=f(b)-f(a)$ است. انتگرال خطی ${\int }_{C}F\cdot dr$ به صورت $\sum _{e\in C}F(e)de$ تعریف می‌شود. ما فقط مقادیر تابع $F$ را در طول منحنی $C$ با هم جمع می‌کنیم، اگر در جهت فلش حرکت کنیم $de=1$ مثبت و اگر خلاف جهت فلش حرکت کنیم $de=-1$ منفی است.

33.2.2 قضیه انتگرال خطی گسسته

قضیه اساسی گسسته انتگرال‌های خطی عبارت است از:

33.2.3 کره‌های واحد

بیایید به برخی اصطلاحات نگاه کنیم. با فرض یک راس $x$ در یک گراف $G$، کره واحد $S(x)$ از $x$ زیرگرافی است که توسط مجموعه راس‌های مستقیماً متصل به $x$ ایجاد می‌شود. به عنوان مثال، کره واحد راس با برچسب $11$ در شکل (33.3)، گراف دایره‌ای ایجاد شده توسط راس‌های $\{2,4,9,8,7,9\}$ است. این یک "دایره" است. کره واحد راس با برچسب $4$ در آن شکل، گرافی است که توسط راس‌های $\{11,7,1\}$ ایجاد شده است. این یک گراف خطی، یعنی یک نیم‌دایره است.

33.2.4 نواحی گسسته

یک گراف را یک ناحیه دو بعدی گسسته می‌نامند، اگر هر کره واحد $S(x)$ یک گراف دایره‌ای با $4$ یا بیشتر راس یا یک گراف خطی با $2$ یا بیشتر راس باشد. مجموعه راس‌هایی که کره واحد آن‌ها دایره‌ای است، درون ناحیه را تشکیل می‌دهند. راس‌های دیگر مرز ناحیه را تشکیل می‌دهند. یک ناحیه دو بعدی بدون مرز را بسته می‌نامند. به عنوان مثال در شکل (33.3)، $4$ نقطه داخلی و $9$ نقطه مرزی وجود دارد. در شکل (33.5)، ما یک ناحیه بسته را می‌بینیم.

33.2.5 کرل گسسته

کرل یک میدان برداری $F$ تابعی روی مثلث‌های $T$ از $G$ است. برای به دست آوردن مقدار مثلث $(a,b,c)$، انتگرال خطی $F$ را در طول منحنی تشکیل می‌دهیم: $$C:a\to b\to c\to a.$$ فرض می‌شود هر مثلث جهت‌دار است (اگر در صفحه رسم شود، پادساعتگرد است).

33.2.6 شار گسسته

با فرض یک تابع $F$ روی مثلث‌های یک ناحیه جهت‌دار $G$، انتگرال شار ${\iint }_{G}F(x)dA$ به صورت $\sum _{t\in T}f(t)$ تعریف می‌شود، که در آن $T$ مجموعه مثلث‌ها در $G$ است.

33.2.7 قضیه گرین گسسته

در اینجا قضیه گرین گسسته آمده است:

33.2.8 کاربرد قضیه گرین: کرل، شار و تایید

شکل (33.4) ناحیه‌ای مجهز به یک میدان برداری $F$ را نشان می‌دهد.

تمرین‌ها