انتگرال خطی

فهرست مطالب

29.1 مقدمه
29.2 سخنرانی
29.3 مثال‌ها
- 29.3.1 چرا ماشین‌های حرکت دائمی کار نمی‌کنند
- 29.3.2 میدان برداری F و معمای دایره واحد
تمرین‌ها

29.1 مقدمه

29.1.1 ماجراجویی در انتگرال‌گیری: انتگرال‌های خطی به پرواز درمی‌آیند

امروز، یاد می‌گیریم که چگونه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را به ابعاد بالاتر تعمیم دهیم. بازه $[a, b]$ اکنون با یک منحنی جایگزین شده است و مشتق به $\frac{d}{d t} f (r (t))$ تبدیل می‌شود که طبق قاعده زنجیره‌ای برابر است با . اگر این را از $a$ تا $b$ انتگرال بگیریم، به قضیه اساسی انتگرال‌های خطی می‌رسیم. میدان گرادیان $\nabla f (x)$ را می‌توان به یک میدان برداری عمومی $x \to F (x)$ تعمیم داد، نگاشتی که به هر نقطه یک بردار نسبت می‌دهد.

**شکل 1.** میدان برداری $F (x, y) = [P (x, y), Q (x, y)]^{T} = [x - y - (x^{2} + y^{2}), x + y - y (x^{2} + y^{2})]^{T}$ همراه با برخی خطوط جریان که میدان را دنبال می‌کنند نشان داده شده است. در این حالت یک خط جریان واحد وجود دارد که یک دایره است. همه چیز به سمت آن جذب می‌شود. به آن چرخه حدی می‌گویند. **مسئله شانزدهم هیلبرت** خواستار ارائه یک کران بالا برای تعداد احتمالی چرخه‌های حدی در صورتی که $P$ ، $Q$ چندجمله‌ای‌هایی از درجه $n$ بر حسب $x$ ، $y$ باشند، بود. این مسئله باز است.

29.1.2 چه زمانی یک میدان برداری، میدان گرادیان است؟

یکی از سوالاتی که می‌خواهیم به آن پاسخ دهیم این است که یک میدان برداری عمومی $F$ تحت چه شرایطی یک میدان گرادیان $F = \nabla f$ است. دلیل این است که اگر اینطور باشد، آنگاه انتگرال به راحتی قابل محاسبه است. اگر $F$ یک میدان گرادیان باشد، نتیجه برابر است با $f (r (b)) - f (r (a))$ . با این حال، به طور کلی، میدان‌های برداری میدان‌های گرادیان نیستند. در شکل بالا یک مثال را می‌بینیم. با این حال، همه امیدها از بین نمی‌رود. در دو هفته آینده یاد خواهیم گرفت که در برخی موارد، مانند زمانی که مسیر بسته است، راه‌های دیگری برای محاسبه انتگرال خطی داریم.

29.1.3 لگد زدن به لاستیک‌ها: استفاده از انتگرال‌های خطی برای محاسبه کار

یک راه خوب برای فکر کردن درباره انتگرال خطی، دیدن آن به عنوان کار مکانیکی است. میدان برداری $F$ سپس به عنوان یک میدان نیرو در نظر گرفته می‌شود و حاصلضرب نیرو در سرعت توان است که یک کمیت نرده‌ای است. انتگرال‌گیری توان در طول زمان، کار را به دست می‌دهد. در حالتی که $F$ یک میدان گرادیان $F = \nabla f$ بود، آنگاه $f$ به عنوان یک انرژی پتانسیل در نظر گرفته می‌شود. قضیه اساسی انتگرال‌های خطی اکنون می‌گوید که کار انجام‌شده در طول یک بازه زمانی، صرفاً اختلاف انرژی پتانسیل است. واقعاً لازم نیست این تصویر را اتخاذ کنیم. این چارچوب صرفاً ریاضی است اما برای به خاطر سپردن آن، می‌تواند مفید باشد که آن را مرتبط با مفاهیمی که می‌شناسیم ببینیم. اگر مثلاً دوچرخه سواری کنید، هم نیروی وارد شده به پدال‌ها و هم سرعت اهمیت دارند.

29.2 سخنرانی

29.2.1 انتگرال‌های خطی: توان و کار

یک میدان برداری $F$ به هر نقطه $x \in ℝ^{n}$ یک بردار $F (x) = [F_{1} (x), \dots, F_{n} (x)]^{T}$ نسبت می‌دهد به طوری که هر $F_{k} (x)$ یک تابع پیوسته باشد. ما به $F$ به عنوان یک میدان نیرو فکر می‌کنیم. فرض کنید $t \to r (t) \in ℝ^{n}$ یک منحنی پارامتری شده روی $[a, b]$ باشد. انتگرال انتگرال خطی $F$ در امتداد $C$ نامیده می‌شود. ما به به عنوان توان و به $\int_{C} F \cdot d r$ به عنوان کار فکر می‌کنیم. حتی اگرچه $F$ و $r$ بردارهای ستونی هستند، در این سخنرانی برای جلوگیری از شلوغی از $[F_{1} (x), \dots, F_{n} (x)]$ و می‌نویسیم. از نظر ریاضی، $F : ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ را می‌توان به عنوان یک تغییر مختصات نیز دید، اما ما به طور متفاوتی به آن فکر می‌کنیم و یک بردار $F (x)$ را در هر نقطه $x$ رسم می‌کنیم.

**شکل 2.** یک انتگرال خطی در صفحه و یک انتگرال خطی در فضا.

29.2.2 کار انجام‌شده در یک دایره

اگر $F (x, y) = [y, x^{3}]$ ، و $r (t) = [\cos (t), \sin (t)]$ یک دایره با $0 \leq t \leq 2 π$ باشد، آنگاه $F (r (t)) = [\sin (t), \cos^{3} (t)]$ و بنابراین کار برابر است با $\int_{C} F \cdot d r = \int_{0}^{2 π} (- \sin^{2} (t) + \cos^{4} (t)) d t = - π / 4.$ شکل (29.1) وضعیت را نشان می‌دهد. ما بیشتر در خلاف جهت میدان حرکت می‌کنیم تا در جهت آن.

29.2.3 استقلال از مسیر: چه زمانی مسیر اهمیتی ندارد؟

یک میدان برداری $F$ را میدان گرادیان می‌نامند اگر $F (x) = \nabla f (x)$ برای یک تابع مشتق‌پذیر $f$ باشد. ما به $f$ به عنوان پتانسیل فکر می‌کنیم. اولین قضیه مهم در حساب برداری، قضیه اساسی انتگرال‌های خطی برای میدان‌های گرادیان در $ℝ^{n}$ است:

قضیه 1. .

اثبات. طبق قاعده زنجیره‌ای، قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال اکنون به دست می‌دهد $\int_{a}^{b} \frac{d}{d t} f (r (t)) d t = f (r (b)) - f (r (a)) .$ ◻

29.2.4 استقلال از مسیر و حلقه‌های بسته

به عنوان یک نتیجه‌گیری، بلافاصله استقلال از مسیر را به دست می‌آوریم

اگر $C_{1}$ ، $C_{2}$ دو منحنی از $A$ به $B$ باشند، آنگاه $\int_{C_{1}} F \cdot d r = \int_{C_{2}} F \cdot d r$ ،

و همچنین ویژگی حلقه بسته:

اگر $C$ یک منحنی بسته و $F = \nabla f$ باشد، آنگاه $\int_{C} F \cdot d r = 0$ .

29.2.5 معیار کلرو

آیا هر میدان برداری $F$ یک میدان گرادیان است؟ بیایید به حالت $n = 2$ نگاه کنیم، جایی که $F = [P, Q]$ . حال، اگر این برابر با $[f_{x}, f_{y}] = [P, Q]$ باشد، آنگاه $P_{y} = f_{x y} = f_{y x} = Q_{x}$ . می‌بینیم که $Q_{x} - P_{y} = 0$ . به طور کلی، معیار کلرو زیر را داریم:

قضیه 2. اگر $F = \nabla f$ ، آنگاه $curl (F)_{i j} = \partial_{x_{j}} F_{i} - \partial_{x_{i}} F_{j} = 0$ .

اثبات. این نتیجه‌ای از قضیه کلرو است. ◻

29.2.6 یافتن پتانسیل

میدان $F = [0, x]$ برای مثال، $Q_{x} - P_{y} = 1$ را ارضا می‌کند. نمی‌تواند یک میدان گرادیان باشد. حال، اگر $Q_{x} - P_{y} = 0$ در همه جای صفحه باشد، چگونه پتانسیل $f$ را پیدا می‌کنیم؟

$f_{x} = P$ را نسبت به $x$ انتگرال بگیرید و یک ثابت $C (y)$ اضافه کنید.

$f$ را نسبت به $y$ مشتق بگیرید و $f_{y}$ را با $Q$ مقایسه کنید. $C (y)$ را حل کنید.

29.2.7 پتانسیل میدان گرادیان

مثال: پتانسیل $F (x, y) = [P, Q] = [2 x y^{2} + 3 x^{2}, 2 x^{2} y + 3 y^{2}] .$ را پیدا کنید. داریم $f (x, y) = \int_{0}^{x} (2 t y^{2} + 3 t^{2}) d t + C (y) = x^{3} + x^{2} y^{2} + C (y) .$ حال بنابراین یا $C (y) = y^{3}$ و $f = x^{3} + x^{2} y^{2} + y^{3}$ .

29.2.8 فرمول انتگرال خطی برای پتانسیل

در اینجا یک فرمول مستقیم برای پتانسیل آورده شده است. فرض کنید $C_{x y}$ مسیر خط مستقیمی باشد که از $(0, 0)$ به $(x, y)$ می‌رود.

قضیه 3. اگر $F$ یک میدان گرادیان باشد، آنگاه $f (x, y) = \int_{C_{x y}} F \cdot d r$ .

اثبات. با استفاده از قضیه اساسی انتگرال خطی، می‌توانیم $C_{x y}$ را با مسیری $[t, 0]$ که از $(0, 0)$ به $(x, 0)$ می‌رود و سپس با $[x, t]$ به $(x, y)$ جایگزین کنیم. انتگرال خطی برابر است با می‌بینیم که $f_{y} = Q (x, y)$ . اگر به جای آن از مسیر $(0, 0)$ به $(0, y)$ و سپس به $(x, y)$ استفاده کنیم، انتگرال خطی برابر است با حال، $f_{x} = P (x, y)$ . ◻

**شکل 3.** میدان برداری $F = \nabla f$ برای $f (x, y) = y^{2} + 4 y x^{2} + 4 x^{2}$ . ما **خطوط جریان**، منحنی‌هایی با را می‌بینیم. حرکت با جریان، $f$ را **افزایش** می‌دهد زیرا برابر است با $d / d t f (r (t))$ .

29.3 مثال‌ها

مثال 1. $\int_{C} [2 x y^{2} + 3 x^{2}, 2 x^{2} y + 3 y^{2}] \cdot d r$ را برای منحنی $r (t) = [t \cos (t), t \sin (t)]$ با $t \in [0, 2 π]$ پیدا کنید.
پاسخ: قبلاً پیدا کردیم $F = \nabla f$ با $f = x^{3} + x^{2} y^{2} + y^{3}$ . منحنی از $A = (1, 0)$ شروع می‌شود و به $B = (2 π, 0)$ ختم می‌شود. جواب $f (B) - f (A) = 8 π^{3}$ است.

مثال 2. اگر $F = E$ یک میدان الکتریکی باشد، آنگاه انتگرال خطی یک پتانسیل الکتریکی است. در مکانیک سماوی، اگر $F$ میدان گرانشی باشد، آنگاه یک اختلاف پتانسیل گرانشی است. اگر $f (x, y, z)$ یک دما و $r (t)$ مسیر یک مگس در اتاق باشد، آنگاه $f (r (t))$ دمایی است که مگس در نقطه $r (t)$ در زمان $t$ تجربه می‌کند. تغییر دما برای مگس $\frac{d}{d t} f (r (t))$ است. انتگرال خطی گرادیان دما $\nabla f$ در امتداد مسیر مگس با اختلاف دما منطبق است.

29.3.1 چرا ماشین‌های حرکت دائمی کار نمی‌کنند

دستگاهی که یک میدان نیروی غیرگرادیانی را پیاده‌سازی می‌کند، ماشین حرکت دائمی نامیده می‌شود. این دستگاه یک میدان نیرو را تحقق می‌بخشد که در آن افزایش انرژی در امتداد یک حلقه بسته مثبت است. قانون اول ترمودینامیک وجود چنین ماشینی را منع می‌کند. تأمل در مورد ایده‌هایی که مردم به ذهنشان رسانده‌اند و دیدن اینکه چرا کار نمی‌کنند، آموزنده است. در سمینار به مثال‌هایی نگاه خواهیم کرد.

29.3.2 میدان برداری F و معمای دایره واحد

فرض کنید $F (x, y) = [P, Q] = [\frac{- y}{x^{2} + y^{2}}, \frac{x}{x^{2} + y^{2}}] .$ پتانسیل آن $f (x, y) = \arctan (y / x)$ این ویژگی را دارد که $f_{x} = (- y / x^{2}) / (1 + y^{2} / x^{2}) = P, f_{y} = (1 / x) / (1 + y^{2} / x^{2}) = Q .$ در سمینار شما به معمای صفر نبودن انتگرال خطی در امتداد دایره واحد فکر می‌کنید: میدان برداری $F$ گردابه نامیده می‌شود.

**شکل ۴.** میدان برداری گردابی دارای یک تکینگی در $(0, 0)$ است. تمام چرخش در $(0, 0)$ متمرکز شده است.

تمرین‌ها

تمرین ۱. فرض کنید $C$ منحنی فضایی $r (t) = [\cos (t), \sin (t), \sin (t)]$ برای $t \in [0, π / 2]$ باشد و $F (x, y, z) = [y, x, 15]$ . انتگرال خطی $\int_{C} F \cdot d r$ را محاسبه کنید.

تمرین ۲. کار انجام‌شده توسط حرکت در میدان نیروی $F (x, y) = [2 x^{3} + 1, 4 π \sin (π y^{4}) y^{3}]$ در امتداد منحنی درجه چهار $y = x^{4}$ از $(- 1, 1)$ تا $(1, 1)$ چقدر است؟

تمرین ۳. فرض کنید $F$ میدان برداری $F (x, y) = [- y, x] / 2$ باشد. انتگرال خطی $F$ را در امتداد منحنی $r (t) = [a \cos (t), b \sin (t)]$ با عرض $2 a$ و ارتفاع $2 b$ محاسبه کنید. نتیجه باید به $a$ و $b$ وابسته باشد.

تمرین ۴. ارشمیدس در یک وان آب گرم در اطراف منحنی $x^{22} + y^{22} = 1$ شنا می‌کند، جایی که آب دارای سرعت $F (x, y) = [3 x^{3} + 5 y, 10 y^{4} + 5 x] .$ انتگرال خطی $\int_{C} F \cdot d r$ را هنگام حرکت از $(1, 0)$ به $(- 1, 0)$ در امتداد منحنی محاسبه کنید.

تمرین ۵. یک منحنی بسته $C : r (t)$ پیدا کنید که برای آن میدان برداری $F (x, y) = [P (x, y), Q (x, y)] = [x y, x^{2}]$ شرط را برآورده کند.