نیروی هیدرواستاتیک بر سطوح مسطح

بیایید کل نیروی ناشی از فشار سیال را بر روی یک ناحیه مسطح مستغرق $A$ پیدا کنیم. فرض می‌کنیم که در سطح سیال فشار صفر است (با صرف نظر کردن از فشار اتمسفر) و عمق $h$ را به صورت عمودی به سمت پایین از این سطح آزاد اندازه‌گیری می‌کنیم.

از معادله آخر بخش قبل، با قرار دادن $p_1=0$ وقتی $h=0$ $$p=\gamma h$$ ابتدا صفحه افقی نشان داده شده در شکل ۱-الف را در نظر بگیرید، می‌بینیم که فشار در همه جای این صفحه مقدار یکسان $\gamma$ دارد، بنابراین کل نیروی رو به پایین وارد بر صفحه برابر $\gamma hA$ است که در مرکز سطح (سنتروئید) ناحیه اثر می‌کند. با این حال، در مورد ناحیه عمودی (شکل ۱-ب)، فشار در طول عمق ناحیه متغیر است و سیستم نیروهای وارد بر ناحیه به یک سیستم نیروهای موازی غیریکنواخت تبدیل می‌شود. برآیند این سیستم نیروهای موازی غیریکنواخت از مرکز نمودار فشار عبور می‌کند، نه از مرکز سطح ناحیه. نقطه‌ای از جسم مستغرق که برآیند نیروی فشار بر آن اثر می‌کند مرکز فشار نامیده می‌شود.

به عنوان مثال، فرض کنید یک ناحیه مستطیلی داریم، همانطور که در شکل ۱-ج نشان داده شده است. کل نیروی وارد بر ناحیه و محل مرکز فشار را می‌توان با انتگرال‌گیری پیدا کرد؛ نیروی وارد بر المان هاشور خورده ناحیه برابر است با: $$\gamma hb(dh)$$ با جمع زدن این نیروها برای کل نیروی $R$ داریم: برای یافتن مرکز فشار، گشتاورها را حول نقطه $O$ می‌گیریم: $$\begin{array}{c}\left(h_c\right)(R)=\gamma b{\int }_{h_1}^{m_1}{h}^{2}dh={\gamma b\left(\frac{h^3}{3}\right)|}_{h_1}^{n_2}\\ h_c=\frac{2}{3}\frac{(h_2{}^3-h_1{}^3)}{(h_2{}^2-h_1{}^2)}\\ \text{ (برای یک ناحیه مستطیلی) }\end{array}$$