نیروی هیدرواستاتیک بر روی هر سطح منحنی. نیروهای شناوری

ملاحظات قبلی را می‌توان به نواحی منحنی نیز تعمیم داد:

فرض کنید $A B$ نمای لبه‌ای یک سطح استوانه‌ای باشد که طول آن عمود بر صفحه کاغذ واحد است. مایلیم مؤلفه‌های افقی و عمودی $R_{x}$ و $R_{y}$ سیستم نیروهای وارد بر یک طرف این سطح ناشی از سیال را بیابیم.

در شکل ۱a، یک المان سیال را تصور کنید که توسط $A B$ ، یک صفحه افقی $B C$ و سه صفحه عمودی محدود شده است. برای تعادل این المان، داریم: $\begin{matrix} \sum F_{x} = 0 = F_{1} - R_{x} \\ R_{x} = F_{1} \end{matrix}$ بنابراین اندازه و محل مؤلفه افقی همانند نیروی وارد بر صفحه عمودی $A C$ خواهد بود و می‌توان آن را مانند بخش قبل محاسبه کرد.

برای یافتن مؤلفه عمودی، تصور می‌کنیم که المان تا سطح آزاد امتداد یابد، مانند شکل ۱b. در این صورت نیروی وارد بر بالای این المان صفر خواهد بود و شرط تعادل به صورت زیر است: $\begin{matrix} \sum F_{y} = 0 = R_{y} - γ V \\ R_{y} = W \end{matrix}$ بنابراین مؤلفه عمودی نیرو از نظر اندازه برابر با وزن سیال موجود در ستون عمودی بالای سطح است و از مرکز ثقل آن المان سیال عبور می‌کند. دیده خواهد شد که همین نتیجه برای هر نوع المان سطحی حاصل می‌شود.

اگر اصول فوق را به حالت یک ناحیه بسته، مانند سطح یک جسم غوطه‌ور، اعمال کنیم، مستقیماً به اصل ارشمیدس برای یک جسم شناور رهنمون می‌شویم.

نیروهای وارد بر یک المان استوانه‌ای از یک جسم غوطه‌ور را مطابق شکل ۲ در نظر بگیرید.

با در نظر گرفتن ناحیه در $A$ ، نیرویی $F_{2}$ در $A$ وارد می‌شود که برابر با وزن سیال در ستون $A C$ است. همچنین در $B$ نیروی رو به پایین $F_{1}$ وارد می‌شود که برابر با وزن سیال در ستون $B C$ است. بنابراین نیروی خالص رو به بالای $F_{2} - F_{1}$ بر المان وارد می‌شود که برابر با وزن سیال موجود در حجم $d V$ یعنی حجم ستون $A B$ خواهد بود. این نیروی خالص رو به بالا بر روی المان، نیروی شناوری نامیده می‌شود. اگر اکنون نیروهای شناوری بر روی تمامی المان‌های جسم را جمع کنیم، درمی‌یابیم که کل نیروی شناوری وارد بر جسم برابر با وزن سیال جابجا شده توسط جسم است.