مرکزواره مساحتها، طولها و حجمها

با تعمیم مفهوم گشتاور، ایده‌های فوق را می‌توان به چندین مسئله مهم دیگر بسط داد.

فرض کنید یک سطح بی‌نهایت کوچک $dA$ در فاصله $x$ از یک محور قرار داشته باشد. در این صورت می‌گوییم که گشتاور سطح حول آن محور برابر است با حاصل‌ضرب $xdA$. برای یافتن گشتاور هر سطح مسطح متناهی حول هر خطی در صفحه آن، فقط کافی است گشتاورهای تمام اجزاء را با هم جمع کنیم، همان‌طور که در شکل 1 نشان داده شده است.

گشتاور $dA$ حول $y$-محور برابر است با $xdA$ و گشتاور کل سطح حول $y$-محور عبارت است از ¹:

اکنون فاصله $x_c$ را چنان تعریف می‌کنیم که حاصل‌ضرب این فاصله در مساحت کل برابر با گشتاور سطح حول $y$-محور شود: $$\left(x_c\right)(A)=\int xdA$$ به روشی مشابه، فاصله $y_c$ تعریف می‌شود: $$\left(y_c\right)(A)=\int ydA$$ نقطه‌ای که با مختصات $x_c,y_c$ مشخص می‌شود مرکزوار سطح نامیده می‌شود.

کمیت ${\displaystyle \int xdA}$ که آن را گشتاور سطح نامیدیم، اغلب گشتاور مرتبه اول سطح نامیده می‌شود و عبارت ${\displaystyle \int x^{2}dA}$ گشتاور مرتبه دوم نام دارد. معمولاً به جای گشتاور مرتبه دوم، از نام ممان اینرسی سطح استفاده می‌شود. می‌توان طول $r$ را چنان تعیین کرد که: این فاصله $r$ شعاع ژیراسیون سطح حول $y$-محور نامیده می‌شود.

این مفاهیم گشتاور سطح، فاصله مرکزواری و شعاع ژیراسیون بعدها در تحلیل تعدادی از مسائل در زمینه‌های دینامیک و تئوری الاستیسیته مفید واقع خواهند شد.

مرکزوار یک طول، یک سطح غیرمسطح یا یک حجم را می‌توان به همان روشی که مرکزوار یک سطح مسطح را تعریف کردیم، تعریف نمود. با نوشتن مؤلفه‌های مستطیلی این مرکزوارها داریم:

برای خطی به طول $l$ : $$x_c=\frac{{\displaystyle \int xdl}}{{\displaystyle \int dl}};y_c=\frac{{\displaystyle \int ydl}}{{\displaystyle \int dl}};z_c=\frac{{\displaystyle \int zdl}}{{\displaystyle \int dl}}$$ برای مساحت سطح $S$: $$x_c=\frac{{\displaystyle \int xdS}}{{\displaystyle \int dS}};y_c=\frac{{\displaystyle \int ydS}}{{\displaystyle \int dS}};z_c=\frac{{\displaystyle \int zdS}}{{\displaystyle \int dS}}$$ برای حجم $V$: $$x_c=\frac{{\displaystyle \int xdV}}{{\displaystyle \int dV}};y_c=\frac{{\displaystyle \int ydV}}{{\displaystyle \int dV}};z_c=\frac{{\displaystyle \int zdV}}{{\displaystyle \int dV}}$$

دیده خواهد شد که رابطه نزدیکی بین مرکزوارها و مراکز ثقل وجود دارد. مرکز ثقل یک جسم همگن در مرکزوار حجم آن جسم قرار دارد. اصطلاحات مرکزوار و مرکز ثقل در بسیاری از کتاب‌ها به جای یکدیگر به کار می‌روند، اگرچه باید توجه داشت که مواردی وجود دارند، برای مثال اجسامی با توزیع وزن مخصوص غیریکنواخت، که در آنها مرکز ثقل ممکن است بر مرکزوار حجم منطبق نباشد.