تعادل و پایداری اجسام شناور

هنگامی که یک جسم در تعادل در یک سیال شناور است، نیروی شناوری سیال دقیقاً برابر نیروی گرانش بر جسم است. بنابراین یک جسم شناور تا جایی در سیال فرو می‌رود که مقداری از سیال جا‌به‌جا شود که وزن آن دقیقاً برابر وزن جسم باشد.

این پرسش که آیا این موقعیت تعادل پایدار است یا خیر، در طراحی کشتی‌ها اهمیت زیادی دارد. بلافاصله خواهیم دید که این موقعیت‌های تعادل شناور تا آنجا که به جابجایی‌های عمودی مربوط می‌شود، پایدار هستند. برای مثال، اگر جسم کمی از موقعیت تعادل به سمت پایین درون سیال جابجا شود، سیال بیشتری جا‌به‌جا شده و نیروی شناوری رو به بالا افزایش می‌یابد، بنابراین تمایل دارد جسم را به موقعیت تعادل برگرداند. به‌طور مشابه، اگر جسم بالا برده شود، کاهش نیروی شناوری منجر به یک نیروی خالص رو به پایین می‌شود که تمایل دارد جسم را به موقعیت تعادل برگرداند. تا آنجا که به حرکات افقی مربوط می‌شود، تعادل خنثی خواهد بود، زیرا نیروهای سیستم در طول این جابجایی‌ها تغییر نمی‌کنند. با این حال، مسأله پایداری جسم در حضور حرکات زاویه‌ای را نمی‌توان به این سرعت حل کرد و نیاز به بررسی بیشتر دارد.

در شکل 1a سطح مقطع یک کشتی شناور در آب نشان داده شده است. مرکز گرانش کشتی در نقطه $G$ قرار دارد و مرکز گرانش سیال جا‌به‌جا شده، که به صورت هاشورخورده نشان داده شده، در نقطه $B$ در موقعیت تعادل است. نقطه اثر نیروی شناوری $F_B$ در نقطه $B$ است. اکنون اگر کشتی را حول یک محور طولی به اندازه زاویه کوچک $\varphi$ بچرخانیم، نقطه $B$ موقعیت جدیدی مانند یا در شکل‌های 1b و 1c خواهد گرفت.

بسته به موقعیت این نقطه $B$، دو وضعیت متفاوت وجود خواهد داشت. در شکل 1b دیده می‌شود که برای موقعیت نشان داده شده در آنجا، نیروهای $F_B$ و $W$ یک زوج نیرو تشکیل می‌دهند که جهتی دارد به‌گونه‌ای که تمایل دارد زاویه غلت را افزایش دهد. بنابراین تعادل در این حالت ناپایدار است. از سوی دیگر، در شکل 1c موقعیت به‌گونه‌ای است که زوج نیرویی تشکیل می‌شود که تمایل دارد کشتی را به موقعیت تعادل برگرداند، و از این رو موقعیت تعادل در این حالت پایدار است. از آنجا که موقعیت نقاط و بدیهتاً به هندسه سیستم بستگی دارد، واضح است که برای هر جسم شناور باید بررسی‌ای از چنین شرایط پایداری انجام شود.

با مراجعه به شکل 1c مشاهده می‌کنیم که خط اثر نیروی شناوری $F_B$ خط گذرنده از نقاط $G$ و $B$ را در نقطه $M$ قطع می‌کند. این نقطه متاسنتر جسم نامیده می‌شود، و فاصله $h$ بین متاسنتر و مرکز گرانش، ارتفاع متاسنتری نام دارد. دیده خواهد شد که اگر متاسنتر بالای مرکز گرانش باشد، تعادل پایدار است، در حالی که اگر متاسنتر پایین مرکز گرانش باشد، تعادل ناپایدار است.

ارتفاع متاسنتری را می‌توان به‌آسانی به صورت تجربی برای هر کشتی خاصی تعیین کرد. فرض کنید که برای کشتی نشان داده شده در شکل 1 به صورت تجربی درمی‌یابیم که یک وزنه $w$ که در فاصله $b$ از خط مرکزی کشتی قرار داده شده، باعث می‌شود کشتی به اندازه زاویه کوچک $\varphi$ غلت بزند. از شرایط تعادل خواهیم داشت: $$\begin{array}{c}wb\cos \varphi =Wh\sin \varphi \\ \text{ برای }\varphi \text{ کوچک؛ }\cos \varphi \approx 1,\sin \varphi \approx \varphi \end{array}$$ بنابراین، $$h=\frac{wb}{W\varphi }.$$

ارتفاع متاسنتری همچنین می‌تواند محاسبه شود، همان‌طور که اکنون نشان خواهیم داد. در شکل 2 فرض کنید که سطح آب به اندازه یک زاویه بی‌نهایت کوچک $d\varphi$ چرخانده شود، که معادل است با چرخش کشتی به اندازه زاویه $d\varphi$. در نتیجه این چرخش مرکز شناوری از $B$ به جابجا خواهد شد و این جابجایی را می‌توان با گرفتن گشتاور حجم‌ها حول نقطه $B$ محاسبه کرد، با نامیدن حجم جا‌به‌جا شده $V$. انتگرال ${\displaystyle {\int }_A{x}^{2}dA}$ بر روی کل مساحت خط آبی کشتی جمع زده می‌شود. با نشان دادن این ممان اینرسی مساحت خط آبی کشتی با $I$، داریم: همچنین از شکل 2 داریم: بنابراین: $$h=\frac{\gamma I}{W}-a$$

مثال. یک متوازی‌السطوح مستطیلی با قاعده مربعی در سیالی شناور است به‌طوری که قاعده مربعی افقی است. ماده بلوک همگن است و وزن مخصوص $\gamma$ دارد. حداکثر ارتفاع بلوک که با پایداری غلتشی سازگار باشد چقدر است؟

راه حل. ما حداکثر ارتفاع $t$ را که با پایداری سازگار است، با برابر قرار دادن ارتفاع متاسنتری با صفر پیدا می‌کنیم. $$h=\frac{{\gamma }_F}{W}-a=0$$ $a$ فاصله بین مرکز گرانش جسم و مرکز شناوری است و بنابراین برابر است با: $$a=\frac{t}{2}-\frac{c}{2}=\frac{1}{2}(t-c)$$ اگر ${\gamma }_F$ وزن مخصوص سیال باشد، داریم: بنابراین $$a=\frac{1}{2}(t-\frac{\gamma }{{\gamma }_F}t)=\frac{t}{2}(1-\frac{\gamma }{{\gamma }_F})$$ برای محاسبه ممان اینرسی $I$، المان مساحت خط آبی را به صورت $bdx$ نشان می‌دهیم، آنگاه انتگرال به صورت زیر در می‌آید: $$\begin{array}{c}I=2b{\int }_0^{\frac{b}{2}}{x}^{2}dx={2b\left(\frac{x^3}{3}\right)|}_0^{\frac{b}{2}}\\ I=\frac{b^4}{12}\end{array}$$ بنابراین داریم: $$\frac{t}{2}(1-\frac{\gamma }{{\gamma }_F})=\frac{{\gamma }_F{b}^4}{12b^{2}t\gamma }$$

$$t=b\sqrt{\frac{1}{6(1-{\displaystyle \frac{\gamma }{{\gamma }_F}})\left({\displaystyle \frac{\gamma }{{\gamma }_F}}\right)}}$$ به عنوان یک مثال خاص، یک بلوک چوبی که $40\mathrm{lb}$ بر فوت مکعب وزن دارد در نظر بگیرید و آن را در آب با وزن $62.4\mathrm{lb}$ بر $\mathrm{cu}\mathrm{ft}$ شناور کنید. آنگاه حداکثر ارتفاع سازگار با پایداری غلتشی عبارت است از: $$t=b\sqrt{\frac{1}{6(1-\frac{40}{62.4})\left(\frac{40}{62.4}\right)}}=0.851b$$ به عنوان مثال، اگر $b=4\mathrm{in}$، $t_{max}=3.4\mathrm{in}$.

4.15.1 مسائل

1. رابطه تعادلی بین بارهای $P$ و $Q$ روی پرس هیدرولیکی نشان داده شده در نمودار را بیابید. مساحت‌های دو پیستون $A_1$ و $A_2$ است و وزن پیستون‌ها می‌تواند نادیده گرفته شود.

2. اعضای نگه‌دارنده $AB$ برای سد قاب‌داری که در شکل نشان داده شده، در طول سد به فاصله $5\mathrm{ft}$ از یکدیگر قرار گرفته‌اند. نیرو در $AB$ چقدر است؟

پاسخ

$11,500\mathrm{lb}$

3. یک دریچه سد توسط نیروی $F$ به‌صورتی که در شکل نشان داده شده نگه‌داشته می‌شود. مقدار $F$ برای سطوح آب نشان داده شده چقدر است؟

پاسخ

759 lb per ft