شرایط تعادل

اگر سیستم نیروهای عمومی بخواهد در تعادل باشد، هم نیروی برآیند و هم زوج برآیند باید برابر با صفر باشند، و شرایط تعادل به صورت زیر در می‌آیند:

معمولاً توصیف سیستم نیرو در یک دستگاه مختصات مستطیلی راحت است. از آنجا که بردار نیرو و بردار زوج تنها زمانی می‌توانند صفر باشند که سه مؤلفه مستطیلی آن‌ها صفر باشند، معادلات عمومی تعادل به صورت زیر در می‌آیند: ${\begin{array}{r} \sum F_{x} = 0 \\ \sum F_{y} = 0 \\ \sum F_{z} = 0 \\ \sum M_{x} = 0 \\ \sum M_{y} = 0 \\ \sum M_{z} = 0 \end{array}$

از آنجا که برای مشخص کردن بردار نیرو در هر دستگاه مختصاتی سه کمیت و برای مشخص کردن بردار زوج سه کمیت دیگر نیاز است، شش معادله مستقل برای بیان شرایط تعادل در دسترس است. برای یک سیستم نیرو در حال تعادل، مجموع نیروها در امتداد هر محور دلخواه صفر و مجموع گشتاورها حول هر محور دلخواه صفر است، به طوری که می‌توان هر تعداد معادله معتبر نوشت. با این حال، همه این معادلات مستقل نخواهند بود. برای هر سیستم نیروی خاص، تعداد معادلات مستقل تعادلی که می‌توان نوشت برابر است با تعداد کمیت‌هایی که برای مشخص کردن کامل برآیند سیستم نیرو باید داده شوند. دانستن تعداد معادلات مستقلی که برای یک سیستم خاص می‌توان نوشت از اهمیت برخوردار است زیرا این تعداد حداکثر تعداد مجهولاتی را مشخص می‌کند که می‌توان با معادلات تعادل تعیین کرد.

تعداد معادلات مستقل موجود برای سیستم‌های نیروی مختلف عبارت است از:

سیستم نیروی سه‌بعدی عمومی. شش معادله مستقل می‌توان نوشت. این معادلات می‌توانند همگی معادلات گشتاور باشند، یا حداکثر سه تا از آن‌ها معادلات نیرو باشند.
سیستم هم‌رَس عمومی. برآیند این سیستم یک نیروی منفرد است که برای مشخص شدن کامل به سه مؤلفه نیاز دارد. بنابراین سه معادله مستقل تعادل وجود دارد. این معادلات می‌توانند معادلات نیرو، معادلات گشتاور، یا ترکیبی از نیرو و گشتاور باشند.
سیستم هم‌صفحه عمومی. سه کمیت برآیند یک سیستم نیروی عمومی در یک صفحه را کاملاً مشخص می‌کنند، بنابراین سه معادله تعادل در دسترس است. می‌توان از معادلات نیرو یا گشتاور استفاده کرد، با این تفاوت که حداکثر دو معادله نیرو می‌توان نوشت.
سیستم موازی عمومی. در یک سیستم نیروهای موازی در فضا سه معادله می‌توان نوشت. این معادلات معمولاً یک معادله نیرو و دو معادله گشتاور خواهند بود.
سیستم موازی هم‌صفحه. دو معادله می‌توان نوشت، یا یک معادله نیرو و یک معادله گشتاور، یا دو معادله گشتاور.
سیستم هم‌رَس هم‌صفحه. دو معادله می‌توان نوشت، یا نیروها، یا گشتاورها، یا ترکیبی از نیروها و گشتاورها.
سیستم‌های هم‌خط. یک معادله، یا یک معادله نیرو یا یک معادله گشتاور، می‌توان استفاده کرد.

در عمل، شخص با توجه به شرایط خاص مسئله، نوع معادله و محورهایی را که نیروها در امتداد آن‌ها جمع می‌شوند یا گشتاورها حول آن‌ها جمع می‌شوند، انتخاب می‌کند. برای بیشتر مسائل، استفاده از محورهای مشخصی به معادلات ساده‌تری نسبت به استفاده از محورهای ممکن دیگر منجر می‌شود، بنابراین شخص باید هر مسئله را به دقت بررسی کرده و مناسب‌ترین مجموعه معادلات را انتخاب کند. به عنوان مثال، معادلات گشتاور را اغلب می‌توان با انتخاب محور گشتاوری که خطوط اثر چندین نیروی سیستم را قطع می‌کند، ساده کرد. به این ترتیب اغلب می‌توان معادلاتی به دست آورد که تنها شامل یک یا دو مجهول باشند.

مثال 1.

مثال. یک جرثقیل متشکل از یک میله صلب عمودی $A D$ که در $D$ لولا شده است، به وسیله دو سیم مهار $A E$ و $A F$ نگه داشته شده است (شکل 1).

یک بار عمودی به وزن $1000 lb$ به وسیله تیرک $C G$ بلند می‌شود که توسط سیم مهار $B G$ حمایت می‌شود، و تمام پیکربندی سیستم در نمودار نشان داده شده است. تمام نیروهای وارد بر میله $A D$ را بیابید. وزن میله‌ها در مقایسه با نیروهای دیگر وارد بر آن‌ها کوچک است و بنابراین در این مسئله می‌توان از آن صرف نظر کرد

راه حل. ابتدا نمودار جسم آزاد (شکل 2) میله $A D$ را رسم می‌کنیم.

نیروهای موجود در سیم‌های مهار در $A$ و $B$ مشخص است که در امتداد سیم‌های مهار هستند، و بنابراین می‌توان آن‌ها را در جهت صحیح خود روی نمودار جسم آزاد رسم کرد. نیروی $C$ باید در صفحه تیرک $C G$ و سیم مهار $B G$ قرار داشته باشد، اما چون جهت آن در این صفحه را نمی‌دانیم، نیرو را با دو مؤلفه مجهول $C_{y}$ و $C_{x z}$ نشان می‌دهیم که در آن $C_{x z}$ موازی با صفحه $x z$ است. نیروی $D$ کاملاً مجهول است و ممکن است در هر موقعیتی در فضا باشد، بنابراین این نیرو را با سه مؤلفه مستطیلی $D_{x}, D_{y}$ و $D_{z}$ نشان می‌دهیم. اکنون توجه می‌کنیم که در این مسئله هشت مقدار مجهول داریم، در حالی که برای سیستم نیروی عمومی تنها می‌توانیم شش معادله مستقل بنویسیم. بنابراین واضح است که نمی‌توان تمام نیروها را از نمودار جسم آزاد نشان داده شده در شکل تعیین کرد، و ما امکان تعیین برخی از نیروها را از نمودار جسم آزاد بخش دیگری از سازه بررسی می‌کنیم. سپس نمودار جسم آزاد تیرک $C G$ را رسم می‌کنیم (شکل 3).

برای این سیستم هم‌صفحه عمومی سه معادله می‌توان نوشت و بنابراین نیروهای $C_{y}, C_{x z}$ و $B$ قابل تعیین هستند. با یافتن سه تا از هشت عنصر مجهول نمودار جسم آزاد اولیه، شش معادله‌ای که می‌توان برای آن نمودار جسم آزاد نوشت برای تکمیل حل مسئله کافی خواهد بود.

برای نمودار جسم آزاد تیرک $B C$ ، داریم: $کشش$ و از معادله اول $C_{x z} = 525 lb .$

از آنجا که تمام نیروها با علامت مثبت به دست آمدند، می‌دانیم که جهت‌های صحیح را برای مؤلفه‌های مجهول انتخاب کرده‌ایم. توجه کنید که نیروهای $B$ , $C_{y}$ و $C_{x z}$ در نمودار جسم آزاد دوم برابر و خلاف نیروهای $B, C_{y}$ و $C_{x z}$ در نمودار جسم آزاد اول هستند.

اکنون به نمودار جسم آزاد اول برگشته و معادلات را در هر مورد برای محوری که ساده‌ترین نتیجه را به دست می‌دهد می‌نویسیم، داریم: بنابراین، $D_{y} = 1364 lb$ بنابراین، $D_{x} = - 242 lb$

از آنجا که $D_{x}$ با علامت منفی به دست می‌آید، می‌دانیم که جهت آن در نمودار جسم آزاد به اشتباه نشان داده شده است، و نیرو در واقع خلاف نیروی نشان داده شده در آنجا است.

بنابراین،

$D_{z} = 140 lb$ بنابراین، $A_{2} = 105 lb$ بنابراین، $A_{1} = 394 lb$

به عنوان یک معادله کنترلی، می‌توانیم بنویسیم:

2.1.1 مسائل

تمرین 1.

1. دو استوانه دایره‌ای همگن در یک ناودانی مطابق شکل نگه داشته شده‌اند. وزن $W_{1}$ برابر با $250 lb$ و وزن $W_{2}$ برابر با $750 lb$ است. نیروهای وارد از طرف $W_{1}$ بر $W_{2}$ ، و از طرف دو استوانه بر دیواره‌ها و کف ناودانی را بیابید.

تمرین 2.

2. سه بار بر یک تیر ساده تکیه‌گاه مطابق نمودار وارد می‌شوند. نیروهای وارد بر تیر از طرف دو تکیه‌گاه را بیابید. این نیروها را از دو معادله گشتاور به دست آورده و به وسیله یک معادله نیرو کنترل کنید. وزن تیر در مقایسه با بارهای وارد کوچک فرض شده و نادیده گرفته می‌شود. یک معادله گشتاور سوم حول نقطه‌ای که در دو معادله گشتاور اول استفاده نشده است بنویسید و نشان دهید که این معادله سوم مستقل نیست، بلکه می‌تواند از دو معادله اول تشکیل شود.

پاسخ

$292 lb; 208 lb$

تمرین 3.

3. یک وزنه $100 lb$ از انتهای یک میله بی‌وزن به طول $3 ft$ مطابق نمودار آویزان شده است. زاویه $θ$ را برای تعادل سیستم بیابید. فرض کنید سطوح در تماس بدون اصطکاک هستند، یعنی نیروی $B$ بر $م ی ل ه A C$ عمود است.

پاسخ

تمرین 4.

4. نشان دهید که برای یک سیستم هم‌صفحه عمومی، سه معادله گشتاور تنها زمانی برای تضمین تعادل کافی هستند که سه مرکز گشتاور هم‌خط نباشند.

تمرین 5.

5. نشان دهید که سه نیروی هم‌رس که هم‌صفحه نباشند نمی‌توانند در تعادل باشند.

تمرین 6.

6. یک غلتک شعاع $18 in$ و وزن $500 lb$ دارد. چه نیرویی باید مطابق نمودار اعمال شود تا غلتک دقیقاً از روی یک مانع $2 in$ بلند شود؛ یعنی واکنش قائم روی غلتک به صفر برسد؟

پاسخ

424 lb

تمرین 7.

7. تیرک $A C$ که در صفحه $x y$ قرار دارد، به وسیله دو کابل افقی $B D$ و $B E$ مطابق شکل نگه داشته شده است. یک نیروی افقی 1000 پوندی در انتهای تیرک وارد می‌شود و مطابق شکل زاویه $30^{\circ}$ با صفحه $x y$ می‌سازد. نیروی $A$ و نیروهای موجود در کابل‌ها را بیابید.

پاسخ

$D = 105 lb (T); E = 1455 lb \(T)$ ; $A = 500 lb$

تمرین 8.

8. نشان دهید که اگر سه نیروی هم‌صفحه و غیرموازی در تعادل باشند، باید هم‌رس باشند.