ضرب برداری یا ضرب خارجی

در شکل ۱ دو بردار $𝐚$ و $𝐛$ نشان داده شده‌اند که زاویه‌ای به اندازه‌ی در صفحه‌ی دو بردار می‌سازند. حاصل‌ضرب برداری $𝐚\times 𝐛$ به‌صورت برداری در امتداد خط $OB$ عمود بر صفحه‌ی بردارهای $𝐚$ و $𝐛$ تعریف می‌شود، با جهتی به‌گونه‌ای که اگر کسی در جهت $OB$ نگاه کند، یک چرخش ساعت‌گرد جهت $𝐚$ را به جهت $𝐛$ تبدیل خواهد کرد. قاعده‌ی جهت را می‌توان همچنین با گفتن این‌که جهت، جهت پیشروی یک پیچ راست‌گرد است که از $𝐚$ به $𝐛$ چرخانده می‌شود، بیان کرد. اندازه‌ی حاصل‌ضرب برداری به‌صورت $(a)(b)\sin \theta$ تعریف می‌شود. بنابراین اندازه برابر است با دو برابر مساحت مثلث هاشور خورده در شکل ۱. به‌خاطر شکلی که در آن نوشته می‌شود، حاصل‌ضرب برداری $𝐚\times 𝐛$ غالباً ضرب خارجی نامیده می‌شود.

از تعریف فوق مشخص می‌شود که حاصل‌ضرب برداری به ترتیب قرار گرفتن بردارها بستگی دارد. حاصل‌ضرب برداری $𝐛\times 𝐚$ همان اندازه‌ی $𝐚\times 𝐛$ را خواهد داشت، اما جهت مخالف، به‌طوری‌که $$𝐛\times 𝐚=-𝐚\times 𝐛$$ یعنی حاصل‌ضرب‌های برداری جابه‌جایی‌پذیر نیستند.

با نوشتن حاصل‌ضرب برداری به‌صورت مؤلفه‌ها، داریم:

از تعریف حاصل‌ضرب برداری، روابط زیر میان بردارهای یکه‌ی $𝐢,𝐣,𝐤$ را داریم: $$𝐢\times 𝐢=𝐣\times 𝐣=𝐤\times 𝐤=0$$ $$𝐢\times 𝐣=-𝐣\times 𝐢=𝐤$$ $$𝐢\times 𝐤=-𝐤\times 𝐢=-𝐣$$ $$𝐣\times 𝐤=-𝐤\times 𝐣=𝐢$$ بنابراین: $$𝐚\times 𝐛=(a_y{b}_z-a_z{b}_y)𝐢+(a_z{b}_x-a_x{b}_z)𝐣+(a_x{b}_y-a_y{b}_x)𝐤$$