حاصل ضرب اسکالر یا نقطهای

با داشتن دو بردار $𝐚$ و $𝐛$ با زاویه $\theta$ (شکل ۱)¹، حاصل‌ضرب اسکالر دو بردار به صورت یک کمیت اسکالر با اندازه $(a)(b)\cos \theta$ تعریف می‌شود. بنابراین، حاصل‌ضرب اسکالر برابر است با اندازه یک بردار ضرب‌در مؤلفه بردار دوم در امتداد بردار اول. حاصل‌ضرب اسکالر به صورت $𝐚\cdot 𝐛$، با یک نقطه بین دو بردار نوشته می‌شود و از این رو اغلب ضرب نقطه‌ای نامیده می‌شود.

همان اندازه حاصل‌ضرب اسکالر حاصل می‌شود چه $𝐚$ در مؤلفه $𝐛$ در امتداد $𝐚$ ضرب شود، یا $𝐛$ در مؤلفه $𝐚$ در امتداد $𝐛$ ضرب شود، زیرا:

$$(a)(b\cos \theta )=(b)(a\cos \theta )$$

بنابراین می‌توان گفت:

$$𝐚\cdot 𝐛=𝐛\cdot 𝐚$$

یعنی ضرب اسکالر یک فرایند جابه‌جایی‌پذیر است.

اگر زاویه بین دو بردار بزرگ‌تر از ${90}^{\circ }$، ولی کوچک‌تر از ${270}^{\circ }$ باشد، حاصل‌ضرب اسکالر منفی خواهد بود.

متداول‌ترین مثال حاصل‌ضرب اسکالر در مکانیک، در ارتباط با کار انجام‌شده توسط یک نیرو است. اگر نقطه اثر نیروی $𝐅$ با اندازه ثابت، به اندازه جابه‌جایی $𝐒$ جابه‌جا شود، آنگاه کار انجام‌شده توسط نیرو به صورت یک کمیت اسکالر تعریف می‌شود که برابر است با جابه‌جایی ضرب‌در مؤلفه نیرو در امتداد جابه‌جایی، بنابراین:

$$\text{کار}=𝐅\cdot 𝐒$$

ما از مفهوم کار در فصل‌های بعدی استفاده خواهیم کرد.