جداسازی یک سیستم مکانیکی — نمودارهای جسم آزاد

از بحث قبلی مشاهده می‌شود که روش‌های بررسی یک سیستم از نیروهای داده‌شده نسبتاً ساده هستند. با این حال، مسائلی که مهندس یا فیزیکدان با آن‌ها روبرو می‌شود معمولاً به‌صورت یک وضعیت فیزیکی ظاهر می‌شوند، به‌طوری‌که اولین قدم تعیین سیستم نیروهایی است که وضعیت فیزیکی را به‌درستی نمایش دهند. کاربرد اصول استاتیک برای نیروهای یک سیستم اغلب می‌تواند به یک روند تکراری کاهش یابد. مسئله دشوارتر این است که تصمیم بگیریم کدام نیروها باید در یک سیستم خاص لحاظ شوند تا به نتیجه مطلوب برسیم. مهارت در دست‌کاری سیستم‌های نیرو برای حل مسئله فیزیکی کافی نخواهد بود مگر اینکه نیروهایی که معادل وضعیت فیزیکی داده‌شده هستند در مسئله لحاظ شوند. از طرف دیگر، وقتی تصویر صحیح نیروها برقرار شد، راه‌حل‌ها تقریباً همیشه با روش‌های متداول به‌دست می‌آیند که اگرچه ممکن است شامل کار گسترده‌ای باشند، معمولاً به نبوغ زیادی نیاز ندارند. انتقال از یک وضعیت فیزیکی به بیان نیروهای دخیل، اولین قدم مهم در حل یک مسئله است.

اگرچه مراحل مربوط به تشخیص نیروهایی که باید لحاظ شوند دقیقاً برای همه مسائل یکسان نیستند، اصول کلی خاصی وجود دارند که می‌توان رعایت کرد. مهم‌ترین اصل این است که همواره باید بین سیستم مکانیکی خاصی که در حال بررسی است و بقیه جهان تمایز قائل شد. فرایند جداسازی یک بخش خاص از جهان برای اهداف یک مسئله خاص، یکی از مفاهیم مرکزی در مکانیک است.

برای جداسازی صحیح یک سیستم مکانیکی، لازم است تمایز واضحی بین نیروهای خارجی سیستم و نیروهای داخلی قائل شویم. نیروی خارجی نیرویی است که بر یک سیستم یا بخشی از یک سیستم توسط جسمی خارج از سیستم وارد می‌شود. نیروی داخلی بر بخشی از سیستم توسط بخش دیگری از همان سیستم وارد می‌شود. البته یک نیروی خاص ممکن است در عین حال برای یک سیستم نیروی داخلی و برای سیستم دیگر نیروی خارجی باشد.

دو بلوک با وزن‌های $W_1$ و $W_2$ را مطابق شکل 1a در نظر بگیرید. در شکل 1b، دو بلوک باهم به‌عنوان سیستم مکانیکی که باید جداسازی شود در نظر گرفته شده‌اند و نموداری رسم شده است که تمام نیروهای خارجی وارد بر سیستم را نشان می‌دهد. چنین نموداری نمودار جسم آزاد نامیده می‌شود.

هدف نمودار جسم آزاد نشان دادن آن بخش از آرایش فیزیکی است که به‌عنوان یک سیستم مکانیکی جداسازی شده است. نیروهای خارجی وارد بر این سیستم عبارتند از وزن‌های بلوک‌های $W_1$ و $W_2$ و نیروی $N$ که توسط صفحه تکیه‌گاه بر سیستم وارد می‌شود. نیروی بین دو بلوک در این سیستم یک نیروی داخلی خواهد بود و بنابراین در نمودار جسم آزاد ظاهر نخواهد شد.

در شکل 1c، بلوک بالایی به‌تنهایی به‌عنوان یک سیستم مکانیکی جداسازی شده و نمودار جسم آزاد رسم شده است. در این سیستم، نیروهای خارجی وارد بر آن عبارتند از وزن بلوک $W_1$ و نیروی $N_1$ که توسط بلوک $W_2$ بر بلوک $W_1$ وارد می‌شود. در این حالت، نیروی $N_1$ برای سیستم نشان‌داده‌شده در (c) یک نیروی خارجی است، اما برای سیستم (b) یک نیروی داخلی محسوب می‌شود.

سیستمی که برای جداسازی انتخاب می‌شود لزوماً نباید از مرزهای فیزیکی اجزای مربوطه پیروی کند، همان‌طور که در مثال شکل 1 این‌گونه نیست. نمودار جسم آزاد می‌تواند تنها بخشی از یک جسم را شامل شود، مانند مورد نشان‌داده‌شده در شکل 2.

شکل 2b نمودار جسم آزاد عضو کششی نشان‌داده‌شده در شکل 2a است. وزن عضو در مقایسه با وزن $W$ قابل‌چشم‌پوشی فرض شده است. در شکل 2c تصور می‌کنیم که عضو در مقطع $A-B$ بریده شده است و نمودار جسم آزاد بخش پایینی عضو را رسم می‌کنیم. نیرویی که هر جزء بخش بالایی بر جزء متناظر بخش پایینی وارد می‌کند، به‌صورت یک سیستم نیروی توزیع‌شده یکنواخت بر روی مقطع بالایی میله نشان داده می‌شود. نیروهای داخلی در میله که در شکل 2b ظاهر نشدند، برای مقطع نشان‌داده‌شده از میله در شکل 2c نیروهای خارجی هستند. واضح است که اگر بخواهیم نیروهای داخلی یک جسم را مطالعه کنیم، همواره باید چنین برش فرضی‌ای ایجاد شود.

این سؤال که دقیقاً چه چیزهایی باید در نمودار جسم آزاد لحاظ شوند را نمی‌توان به‌طور کلی پاسخ داد و در اینجاست که نبوغ محقق باید خود را نشان دهد. با این حال، نیروهای مجهولی که باید تعیین شوند باید به‌عنوان نیروهای خارجی در یک نمودار جسم آزاد ظاهر شوند. برای هر نوع سیستم نیرو، حداکثر تعداد معادلاتی که می‌توان نوشت وجود دارد و بنابراین حداکثر تعداد نیروهای مجهولی که می‌توان تعیین کرد وجود دارد. غالباً مشاهده می‌شود که نمودار جسم آزادی که نیروهای مطلوب را به‌عنوان نیروهای خارجی نشان می‌دهد، آن‌قدر نیروهای مجهول در بر دارد که هیچ راه‌حلی ممکن نخواهد بود. در این صورت ممکن است لازم باشد که حل مسئله را با در نظر گرفتن یک نمودار جسم آزاد دیگر آغاز کرد که از طریق آن برخی از مجهولات تعیین شوند.

این موضوع اهمیت ویژه‌ای دارد که تمام نیروهای خارجی وارد بر سیستم در نمودار جسم آزاد نشان داده شوند. گاهی اوقات این تمایل وجود دارد که فرض کنیم نیروهای خاصی مانند نیروهای گرانشی آن‌قدر بدیهی هستند که لازم نیست وقت صرف نوشتن آن‌ها روی نمودار جسم آزاد شود. چنین رویه‌هایی دیر یا زود به حذف این نیروها از بررسی منجر می‌شوند. هر نیرویی، صرف‌نظر از اینکه چقدر بدیهی است، باید در نمودار جسم آزاد لحاظ شود مگر اینکه یکی از فرضیات یا شرایط مسئله این باشد که نیرو برابر با صفر است. حتی در چنین حالتی خوب است که نیرو را لحاظ کنیم و سپس این عبارت را بنویسیم که نیرو برابر صفر است، زیرا ممکن است شرایط دیگری وجود داشته باشد که تحت آن‌ها نتوان از نیرو چشم‌پوشی کرد.

در بررسی نیروهایی که ممکن است بر یک جسم وارد شوند، باید توجه داشت که هر نقطه‌ای که جسم با جسم دیگری تماس دارد، نقطه‌ای است که ممکن است نیرویی وجود داشته باشد. ممکن است بتوان از سایر داده‌های ارائه‌شده در مسئله، جهت نیرو در آن نقطه را تعیین کرد. به‌عنوان مثال، جهت نیرویی که در یک تکیه‌گاه بدون اصطکاک وارد می‌شود، عمود بر سطوح تماس است. مورد دیگری که در آن جهت‌ها به‌راحتی یافت می‌شوند، سیستمی است که تحت تأثیر فقط دو نیرو در تعادل قرار دارد. از آنجایی که دو نیرو تنها زمانی می‌توانند در تعادل باشند که از نظر اندازه برابر، از نظر جهت مخالف و در امتداد یک خط اثر قرار داشته باشند، باید جهتی مشابه با خط واصل نقاط اثر خود داشته باشند. این بدان معناست که نیروهای وارد بر انتهای اعضایی مانند کابل‌ها و میله‌های اتصال، جهت کابل یا میله اتصال را دارند، مشروط بر اینکه وزن عضو قابل‌چشم‌پوشی باشد. همچنین باید به خاطر داشت که نیروها می‌توانند بدون تماس فیزیکی بین اجسام نیز وجود داشته باشند، مانند نیروهای گرانشی، الکترومغناطیسی یا الکترواستاتیکی.

مثال 1.

1. دو سیلندر صاف نشان داده شده‌اند (شکل 3) که در یک ناودانی صاف قرار گرفته‌اند.
2. نمودار جسم آزاد دو سیلندر که به‌عنوان یک جسم در نظر گرفته شده‌اند، در بخش (b) نشان داده شده است. از آنجایی که تمام سطوح بدون اصطکاک هستند، نیروهای بین سطوح در تماس عمود بر سطح می‌باشند. توجه کنید که نیروهای بین دو سیلندر برای سیستم متشکل از دو سیلندر، نیروهای داخلی هستند، به‌طوری‌که این نیروها در نمودار جسم آزاد ظاهر نمی‌شوند.
3. در بخش (c) دو نمودار جسم آزاد برای دو سیلندر نشان داده شده‌اند که هر یک به‌عنوان یک سیستم مکانیکی جداگانه در نظر گرفته شده‌اند. در این حالت، با در نظر گرفتن هر یک از سیلندرها به‌تنهایی به‌عنوان یک نمودار جسم آزاد، نیرویی که سیلندر دیگر وارد می‌کند به یک نیروی خارجی در آن سیستم تبدیل می‌شود.

مثال 2.

1. نیروی $F$ به یک سازه مفصلی صلب مطابق شکل 4a اعمال می‌شود. انتهای عضو $CE$ روی غلتک‌های بدون اصطکاک روی یک صفحه افقی قرار دارد. وزن اعضا در مقایسه با سایر نیروهای وارد کوچک است و می‌توان از آن چشم‌پوشی کرد.
2. در (b) نمودار جسم آزاد کل سازه نشان داده شده است. از آنجایی که غلتک‌ها در $E$ بدون اصطکاک هستند، نیروی وارد بر سازه در $E$ باید عمود بر سطح باشد. در $A$، پین می‌تواند نیرو را در هر جهتی منتقل کند، بنابراین جهت و همچنین اندازه نیرو مجهول است. بنابراین نیروی وارد در $A$ را با دو مؤلفه مستطیلی مجهول $A_x$ و $A_y$ نمایش می‌دهیم.

1. نمودارهای جسم آزاد هر یک از سه عضو تشکیل‌دهنده سازه در (c) نشان داده شده‌اند. در اتصالات پینی، هم اندازه و هم جهت نیروها مجهول است، همان‌طور که با دو مؤلفه مستطیلی مجهول نیرو مشخص شده است. نیروهای وارد بین دو عضو که در سیستم نشان‌داده‌شده در (b) بالا نیروهای داخلی بودند، اکنون برای اعضای جداگانه نیروهای خارجی هستند. این نیروها به‌صورت جفت‌های مساوی و مخالف وجود دارند و بنابراین در (b) یکدیگر را خنثی می‌کنند.

مثال 3.

1. در شکل 5a اجزای یک ترمز نواری ساده نشان داده شده‌اند. درام ترمز در جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخد، نیروی $P$ نوار ترمز را روی درام محکم می‌کند و بنابراین نیروهای اصطکاکی بین نوار و درام را افزایش می‌دهد و با محکم شدن نوار ترمز روی درام توسط نیروی $P$، نیروهای اصطکاکی بین نوار و درام افزایش یافته و به‌اصطلاح یک سیستم ترمز خودانرژی‌زا تشکیل می‌شود.
2. در (b) نمودار جسم آزاد بخشی از نوار ترمز که توسط زاویه $\theta$ دیده می‌شود نشان داده شده است. وزن در مقایسه با سایر نیروهای وارد کوچک است و بنابراین از آن چشم‌پوشی می‌شود. اگر فرض شود که نوار ترمز کاملاً انعطاف‌پذیر است، یعنی نمی‌تواند خمش را تحمل کند، نیروهای $T$ و $T+\mathrm{\Delta }T$ مطابق شکل مماس بر درام خواهند بود. نیروهای اصطکاکی بین درام و نوار به‌صورت یک سیستم نیروی توزیع‌شده یکنواخت مماس بر درام و نیروی واکنش بین درام و نوار به‌صورت یک سیستم توزیع‌شده یکنواخت از نیروهای عمودی نشان داده شده‌اند.
3. در این شکل، نمودار جسم آزاد بخشی از نوار ترمز که توسط یک زاویه بی‌نهایت کوچک $d\theta$ دیده می‌شود نشان داده شده است. نیروهای اصطکاکی توزیع‌شده یکنواخت با برآیند خود $dF$ جایگزین شده‌اند و نیروهای عمودی توزیع‌شده یکنواخت نیز با برآیند خود $dN$ جایگزین شده‌اند.

مثال 4.

1. شکل 6a یک تیر را نشان می‌دهد که در دو نقطه تکیه دارد و توسط یک نیروی عمودی $P$ به‌گونه‌ای بارگذاری شده است که باعث خمش در یک صفحه عمودی می‌شود.

1. در (b) نمودار جسم آزاد آن بخش از تیر که در سمت راست مقطع $A-B$ قرار دارد نشان داده شده است. نیروی عمودی وارد بر تیر از طرف تکیه‌گاه راست به‌صورت $R$ نشان داده شده است. وزن $W$ بخشی از تیر که در سمت راست مقطع $A-B$ قرار دارد، در مرکز ثقل آن عضو اثر می‌کند. نیروهای وارد بر این مقطع از تیر از طرف مقطع چپ، که تصور می‌کنیم حذف شده است، به‌صورت دو سیستم نیرو نشان داده شده‌اند: یک سیستم نیروهای افقی ناشی از خمش در تیر و یک سیستم نیروهای عمودی ناشی از عمل برش. هیچ‌یک از این دو سیستم نیرو به‌طور یکنواخت توزیع نشده‌اند. همان‌طور که بعداً با تحلیل مسئله خواهیم فهمید، نیروهای خمشی در لبه پایینی تیر به‌صورت کششی، در لبه بالایی تیر به‌صورت فشاری خواهند بود و در یک مقطع میانی از صفر عبور خواهند کرد. نیروهای برشی در لبه‌های بالا و پایین تیر صفر و در یک موقعیت میانی حداکثر خواهند بود. تمام کاری که ما در نمودار جسم آزاد حاضر انجام می‌دهیم، نشان دادن وجود نیروهایی با اندازه‌ها و توزیع‌های مجهول است. شکل خاص نیروهای نشان‌داده‌شده در شکل بدون تحلیل بیشتر قابل تعیین نیست.

مثال 5.

1. شکل 7a مقطع یک لوله با جداره ضخیم را نشان می‌دهد که تحت فشار داخلی $p$ قرار دارد.

1. شکل 7b نمودار جسم آزاد المان بسیار کوچکی از جسم را که در (a) هاشور خورده است نشان می‌دهد. بر تمام شش وجه این المان نیروهایی وارد می‌شود که می‌توان آنها را به‌طور یکنواخت بر روی مساحت‌های بی‌نهایت کوچک وجه‌ها توزیع‌شده در نظر گرفت. این نیروهای توزیع‌شده یکنواخت با نیروهای برآیند خود جایگزین شده‌اند که در مرکز سطح وجه‌های المان عمل می‌کنند. وزن المان در مقایسه با سایر نیروهای وارد بر سیستم بسیار کوچک فرض شده است.

مثال 6. شکل 8 نمودار جسم آزاد یک منشور مستطیلی از سیال را نشان می‌دهد که در فاصله‌ای زیر سطح سیال قرار دارد. مساحت مقطع بی‌نهایت کوچک منشور $dA$ و طول منشور $l$ است. بر هر وجه منشور، نیروی وارد برابر با فشار ضرب در مساحت خواهد بود. نیروی گرانشی برابر با حجم منشور ضرب در وزن مخصوص خواهد بود.

مثال 7.

1. در شکل 9a اجزای اساسی آزمایش قطره روغن نشان داده شده‌اند که میلیکان توسط آن بار الکترون را تعیین کرد. قطره روغن با وزن $W$ در یک میدان الکتریکی با شدت $E$ نشان داده شده است.

1. نمودار جسم آزاد (b) قطره روغن نشان داده شده است. قطره تحت تأثیر نیروی شناوری هوا، وزن و نیروی ناشی از حضور بار در میدان الکتریکی در تعادل قرار دارد.

در تمام مثال‌های ارائه‌شده در بالا، نیروهای وارد بر سیستم متعادل بوده‌اند و بنابراین سیستم‌ها در تعادل قرار داشته‌اند. با این حال، کاربرد نمودار جسم آزاد تنها به مسائل استاتیک محدود نمی‌شود. در مسائل دینامیک، که حرکات ناشی از سیستم‌های نیروی نامتعادل مطالعه می‌شوند، داشتن تصویری واضح از تمام نیروهای وارد بر سیستم از بالاترین اهمیت برخوردار است.

برخی مثال‌های نمودار جسم آزاد که در مسائل دینامیک به کار می‌روند در ادامه آمده‌اند:

مثال 8.

1. شکل 10a یک نمای شماتیک از یک سیلندر یک موتور احتراق داخلی رفت و برگشتی را نشان می‌دهد.

1. شکل 10b نمودار جسم آزاد پیستون $A$ موتور است. نیروهای $p(t)$ که تقریباً به‌طور یکنواخت بر روی بخش بالایی پیستون توزیع شده‌اند، نیروهای فشار گاز ناشی از انفجار مخلوط گاز و هوا در بالای پیستون هستند. این نیروها با زمان تغییر می‌کنند، بنابراین به‌صورت توابعی از زمان نشان داده شده‌اند. نیروی وارد بر پیستون توسط میله اتصال $AB$ از نظر اندازه و جهت مجهول است، بنابراین در نمودار به‌صورت دو مؤلفه مستطیلی $A_x$ و $A_y$ نشان داده شده است. نیروهای وارد بر پیستون از طرف جداره سیلندر تقریباً به‌صورت دو سیستم نیروی توزیع‌شده یکنواخت نشان داده شده‌اند: نیروهای عمودی $N$ و نیروهای اصطکاکی $f$. بردار نقطه‌چین جهت شتاب پیستون را نشان می‌دهد. وزن پیستون $W_p$ در مرکز ثقل پیستون اثر می‌کند.