اصل جابجایی‌های مجازی برای یک ذره مقید

در بسیاری از موارد، ذره تحت بررسی کاملاً آزاد نخواهد بود، بلکه توسط اتصالات مختلفی محدود می‌شود تا به روش خاصی حرکت کند. برای مثال، ذره ممکن است مهره‌ای باشد که در امتداد یک سیم می‌لغزد، که در این حالت قید هندسی ایجاب می‌کند که ذره مسیر سیم را دنبال کند. در حالتی دیگر، ممکن است ذره ملزم به باقی ماندن بر روی یک سطح خاص باشد، همانطور که در شکل 1a نشان داده شده است. در تمام این موارد، رفتار قید به این صورت است که یک نیروی واکنشی را وارد مسئله می‌کند که قید را اعمال می‌کند.

در شکل 1b، نمودار جسم آزاد ذره نشان داده شده است. نیروهای فعال در این حالت، در صورت تماس بدون اصطکاک، وزن فرض شده‌اند. چنین قید عمودی، متناظر با سطوح بدون اصطکاک در تماس، قید ایده‌آل نامیده می‌شود، و ما بحث خود را در صفحات بعدی به چنین قیدهای ایده‌آلی محدود خواهیم کرد.

در مورد ذره مقید، لازم خواهد بود که تعریف خود از جابجایی مجازی را تا حدودی تغییر دهیم، زیرا واضح است که برخی جابجایی‌ها، مانند آن‌هایی که عمود بر سطح محدودکننده هستند، امکان‌پذیر نخواهند بود. در چنین حالتی، جابجایی مجازی نمی‌تواند هر جابجایی دلخواهی باشد، بلکه باید به جابجایی‌هایی محدود شود که توسط قیدها مجاز شمرده می‌شوند. بنابراین، جابجایی مجازی را به صورت یک جابجایی بی‌نهایت کوچک از ذره تعریف می‌کنیم که با قیدها سازگار است. کلمه “virtual” بنابراین معنای کلمه “possible” را به خود می‌گیرد، به این معنا که تمام آن جابجایی‌های بی‌نهایت کوچک را که با هندسه سیستم سازگار هستند، نمایش می‌دهد. دیده خواهد شد که این تعریف عمومی‌تر از جابجایی مجازی، تعریف ارائه‌شده برای ذره آزاد را به عنوان یک حالت خاص در بر می‌گیرد.

معادله‌ای که اصل جابجایی‌های مجازی را بیان می‌کند، اکنون می‌تواند به صورت زیر نوشته شود، که در آن نیروها را به دو نوع تقسیم کرده‌ایم: نیروهای فعال $𝐅$ و نیروهای واکنشی ایده‌آل $𝐅_{r}$ : $\sum [(F_{x} + F_{x r}) δ x + (F_{y} + F_{y r}) δ y + (F_{z} + F_{z r}) δ z] = 0$

این معادله همچنان شرایط تعادل را تحت تعریف جدید ما از جابجایی مجازی نشان خواهد داد. برای مثال، در مورد یک سطح محدودکننده، چنین جابجایی‌های مجازی در صفحه‌ای مماس بر سطح قرار خواهند گرفت. معادله ما در این صورت هرگونه نیروی برآیند در آن صفحه را منع خواهد کرد، در حالی که خود قید تضمین می‌کند که نیروهای عمود بر صفحه یکدیگر را خنثی می‌کنند.

در ادامه، معادله فوق را به شکل زیر می‌نویسیم: $\sum (F_{x} δ x + F_{y} δ y + F_{z} δ z) + \sum (F_{x r} δ x + F_{y r} δ y + F_{z r} δ z) = 0$ و توجه می‌کنیم که گروه جملات شامل نیروهای واکنشی $F_{x r}$ و غیره، حذف خواهند شد، زیرا این نیروها در تمام موارد عمود بر جابجایی‌ها خواهند بود و بنابراین کاری انجام نمی‌دهند. این امر همواره صادق خواهد بود، زیرا واکنش ایده‌آل عمود بر سطح محدودکننده است و جابجایی مجازی موازی با سطح محدودکننده می‌باشد. بنابراین معادله ما به صورت زیر درمی‌آید: $\sum (F_{x} δ x + F_{y} δ y + F_{z} δ z) = 0$ که در آن $F_{x}, F_{y}$ و $F_{z}$ نیروهای فعال سیستم هستند.

بنابراین می‌توانیم اصل جابجایی‌های مجازی برای ذره مقید را به صورت زیر بیان کنیم: کار انجام‌شده توسط نیروهای فعال سیستم در طول هر جابجایی دلخواه از سیستم که با قیدها سازگار باشد، برابر با صفر است.