اصل جابجایی‌های مجازی برای یک ذره آزاد

ذرّه‌ای را در نظر بگیرید که آزاد است در هر جهتی حرکت کند و تحت اثر یک سیستم کلی از نیروها که برآیند آنها صفر است، در حال تعادل قرار دارد. در شکل ۱، یکی از نیروهای سیستم، $𝐅$، به همراه سه مؤلفه مستطیلی آن نشان داده شده است.

اکنون تصور می‌کنیم که به ذرّه یک جابجایی بینهایت کوچک دلخواه $\delta 𝐬$ داده می‌شود. این جابجایی از این نظر دلخواه است که می‌تواند در هر جهتی باشد.

در مرحله بعد کار $\delta W$ را محاسبه می‌کنیم که توسط نیروی $𝐅$ در طی جابجایی $\delta s$ انجام می‌شود. این کار $\delta W$ حاصل‌ضرب اسکالر $𝐅$ و $\delta 𝐬$ است. $$\delta W=𝐅\cdot \delta 𝐬.$$

برای تمام نیروهای موجود در سیستم: $$\delta W=\sum F\cdot \delta 𝒔.$$

اگر این عبارت را بر حسب مؤلفه‌ها در یک دستگاه مختصات مستطیلی بنویسیم، داریم: که در آن $R_x,R_y$ و $R_z$ مؤلفه‌های مستطیلی برآیند سیستم هستند.

اگر حالتی را در نظر بگیریم که نیروهای وارد بر ذرّه تشکیل یک سیستم در حال تعادل دهند، داریم: $R_x=0;R_y=0;R_z=0$. بنابراین $\delta W=0$ برای هر مقداری از $\delta x,\delta y,\delta z$.

در ادامه شرایطی را بررسی می‌کنیم که تحت آن‌ها عکس گزاره صادق باشد، یعنی شرایطی که تحت آن‌ها گزاره $\delta W=0$ برای تعادل سیستم هم لازم و هم کافی است. مشاهده خواهد شد که تنها حالتی که در آن $\delta W=0$ برای تضمین تعادل کافی نباشد، حالتی است که یکی از مؤلفه‌های جابجایی صفر باشد. به عنوان مثال، اگر $$\delta x\ne 0;\delta y\ne 0;\delta z=0$$ آنگاه $\delta W$ می‌تواند در حضور مؤلفه نیروی $F_z$ صفر باشد. با این حال، اگر در تعریف جابجایی $\delta s$ ایجاب کنیم که $\delta x,\delta y$ و $\delta z$ همگی غیر صفر باشند، که با کلمه «دلخواه» به آن اشاره می‌کنیم، آنگاه عبارت $\delta W=0$ برای تعادل یک ذرّه هم لازم و هم کافی می‌شود.

بنابراین جابجایی مجازی یک ذرّه آزاد را به صورت هر جابجایی دلخواه و بینهایت کوچکی تعریف می‌کنیم که $\delta x,\delta y$ و $\delta z$ برای آن غیر صفر باشند. ما از نماد $\delta 𝐬$ به جای $d𝐬$ استفاده می‌کنیم تا نشان دهیم که جابجایی دلخواه است و می‌تواند در هر جهتی انتخاب شود.

اصل جابجایی‌های مجازی¹ بنابراین بیان می‌کند که شرط تعادل یک ذرّه آزاد این است که کار انجام‌شده روی هر جابجایی مجازی ذرّه باید برابر با صفر باشد. $$\delta W=\sum (F_x\delta x+F_y\delta y+F_z\delta z)=0$$ کمیت $\delta W$ کار مجازی سیستم نامیده می‌شود، و اصل فوق اغلب «اصل کار مجازی» نامیده می‌شود.