اصل جابجایی‌های مجازی

به طور کلی، من معتقدم که می‌توانم ادعا کنم که تمام اصول کلی که ممکن است هنوز در علم تعادل کشف شوند، تنها همین اصل سرعت‌های مجازی خواهند بود که از دیدگاه‌های مختلف نگریسته شده و تنها در شکل بیان با آن تفاوت دارند.—لاگرانژ، مکانیک تحلیلی (1788).

در توسعه اصول استاتیک که در صفحات قبل ترسیم شد، ما تنها یکی از چندین دیدگاه ممکن در مورد عناصر اساسی موضوع را اتخاذ کرده‌ایم. در بررسی مسئله‌ای مانند تعادل دو وزنه، شکل 1 الف، ما بر این واقعیت تأکید کرده‌ایم که کمیت‌های مهم درگیر عبارتند از بزرگی‌های $W_1$ و $W_2$ نیروها و فاصله‌های $a$ و $b$ نیروها از نقطه تکیه‌گاه. توسعه این ایده‌ها که با ارشمیدس آغاز شد و توسط واریگنون به شکل مدرن خود رسید، سرانجام به مفهوم گشتاور یک نیرو حول یک نقطه انجامید. در مسئله شکل 1، این مفهوم گشتاور به معادله تعادل زیر منجر می‌شود: $\left(W_1\right)(a)=\left(W_2\right)(b)$. با این حال، گالیله و استوینوس دریافتند که به همان اندازه منطقی خواهد بود که توجه را بر کمیت مهم دیگری متمرکز کنیم. فرض کنید (شکل 1 ب) تصور کنیم که سیستم اهرم و وزنه‌ها به اندازه زاویه کوچکی چرخیده است، بنابراین $W_1$ را به اندازه فاصله $c$ بالا برده و $W_2$ را به اندازه فاصله $d$ پایین آورده است. از تشابه مثلث‌ها می‌توانیم بگوییم که $a/c=b/d$؛ با جایگذاری این در معادله تعادل بالا، $\left(W_1\right)(c)=\left(W_2\right)(d)$ را به دست می‌آوریم. اکنون می‌توانیم نیروهای $W_1$ و $W_2$ و فاصله‌های $c$ و $d$ را که وزنه‌ها از طریق آن‌ها جابجا شده‌اند، به عنوان کمیت‌های مهم در مسئله در نظر بگیریم.

این شکل دوم معادله، تا آنجا که به حل عملی مسئله مربوط می‌شود، معادل با بیان قبلی است. با این حال، ما به روشی نسبتاً متفاوت به مسئله نزدیک شده‌ایم. در حالت اول، گشتاورهای سیستم را حول نقطه تکیه‌گاه متعادل می‌کنیم؛ در حالت دوم، کاری را بررسی می‌کنیم که توسط نیروهای سیستم در طول یک حرکت ممکن سیستم انجام می‌شود. کاربرد جهانی این دیدگاه دوم در مسائل مکانیک نخستین بار در سال 1717 توسط جان برنولی نشان داده شد و این اصل جابجایی‌های مجازی توسط لاگرانژ در مکانیک تحلیلی او به عنوان شالوده علم مکانیک در نظر گرفته شد.

از آنجا که اصل جابجایی‌های مجازی هیچ اطلاعات جدیدی به علم مکانیک اضافه نمی‌کند، ما نمی‌توانیم با استفاده از آن مسائلی را حل کنیم که با روش‌های قبلاً بحث شده قادر به حل آن‌ها نیستیم. با این حال، برای انواع خاصی از مسائل، این اصل مستقیماً به نتایج بسیار ساده‌ای منجر می‌شود و به همین دلیل، و نیز به دلیل اضافی که این اصل نقطه شروع چندین پیشرفت مهم در دینامیک است، ما در اینجا به بررسی اصل جابجایی‌های مجازی خواهیم پرداخت.