اصطکاک خشک

بلوکی را در نظر بگیرید که روی یک سطح قرار دارد، همان‌طور که در شکل ۱ نشان داده شده است. فرض می‌کنیم که سطوح در تماس تمیز و خشک هستند و هیچ ماده روان‌کننده‌ای وجود ندارد.

اگر نیروی بسیار کوچک $P$ را به بلوک وارد کنیم، تجربه ما می‌گوید که در شرایط عادی بلوک حرکت نخواهد کرد. این بدان معناست که باید در سطوح تماس، نیروی واکنشی $F$ ایجاد شده باشد که دقیقاً نیروی اعمالی $P$ را خنثی می‌کند. این نیروی $F$ از نظر فیزیکی ممکن است زیرا سطوح در تماس کاملاً صاف نیستند و به دلیل ناهمواری‌های کوچک، نیروی واکنشی می‌تواند ایجاد شود که مؤلفه‌ای موازی با سطوح داشته باشد. تجربه ما همچنین می‌گوید که اگر بار $P$ را افزایش دهیم، در نهایت به مقداری خواهیم رسید که باعث حرکت بلوک می‌شود، زیرا دیگر امکان ایجاد نیروی اصطکاکی با بزرگی کافی وجود نخواهد داشت. این مقدار بیشینه نیروی اصطکاکی که تحت مجموعه شرایط معینی می‌توان ایجاد کرد، اصطکاک محدودکننده نامیده می‌شود و سیستمی که تحت تأثیر این نیروی اصطکاک محدودکننده قرار دارد، در آستانه حرکت گفته می‌شود، زیرا هر افزایش بیشتر در نیروهای اعمالی باعث حرکت خواهد شد.

بزرگی این نیروی اصطکاک محدودکننده به‌طور تجربی برای تعداد زیادی از انواع مختلف سطوح تماس و برای شرایط مختلف سطح تماس و بار عمودی تعیین شده است.

این حقایق تجربی در قوانین اصطکاک خشک یا اصطکاک کولمبی گنجانده شده‌اند که اولین بار به‌طور کامل توسط کولمب بیان شد.

1. مقدار کل اصطکاک مستقل از بزرگی سطح در تماس است.
2. مقدار کل اصطکاک متناسب با نیروی عمودی است.
3. برای سرعت‌های پایین لغزش، مقدار کل اصطکاک مستقل از سرعت است و کمتر از مقدار آن در آستانه حرکت است.

این قوانین به‌طور تحلیلی با معادله تعریف‌کننده زیر خلاصه می‌شوند: که در آن $F=$ مقدار کل نیروی اصطکاکی موازی با سطوح در تماس، در آستانه حرکت یا در حین حرکت

$N=$ کل نیروی عمودی بین سطوح در تماس

$\mu =$ ضریب اصطکاک، که برای مواد معین ثابت است

مکانیزم واقعی اصطکاک خشک پیچیده است، بنابراین قوانین فوق باید به‌عنوان تقریب‌هایی در نظر گرفته شوند که برای اکثر کاربردهای مهندسی به‌اندازه کافی دقیق هستند.

اگر مقدار $F$ در معادله فوق، مقدار محدودکننده اصطکاک در آستانه حرکت باشد، آنگاه $\mu$ ضریب اصطکاک ایستایی نامیده می‌شود. توجه به این نکته مهم است که استفاده از این ضریب اصطکاک ایستایی، حداکثر بزرگی نیروی اصطکاکی را که می‌توان بین دو سطح تحت یک بار عمودی معین ایجاد کرد، به دست می‌دهد و لزوماً نیروی اصطکاکی واقعی موجود را نشان نمی‌دهد، که ممکن است کمتر از این حد بیشینه ممکن باشد.

جدول زیر برخی از مقادیر ضریب اصطکاک ایستایی را که ممکن است تحت شرایط گوناگون به‌دست آیند، نشان می‌دهد. در چنین جدولی تنها می‌توان بازه‌ای از مقادیر را ارائه داد، زیرا وضعیت سطح نقش مهمی در این فرآیند ایفا می‌کند. باید تأکید کرد که اگر برای کاربردی خاص، تعیین دقیق‌تری از نیروهای اصطکاکی مورد نیاز باشد، معمولاً لازم خواهد بود که ضریب اصطکاک ایستایی به‌صورت تجربی و تحت شرایطی تعیین شود که تا حد امکان مشابه با کاربرد واقعی باشند.

در صورتی که بین اجسام حرکت لغزشی وجود داشته باشد، از ضریب اصطکاک جنبشی برای یافتن نیروی اصطکاک استفاده می‌شود. با این حال، این ضریب اصطکاک جنبشی به‌اندازه‌ای به سرعت، وجود ماده‌ای که ممکن است به‌عنوان روان‌ساز عمل کند و غیره بستگی دارد که حتی ارائه مقادیر تقریبی در قالب یک جدول نیز ممکن نیست.

از آنجایی که رابطه بین نیروی اصطکاک ایستایی خشک و نیروی عمودی، به محض دانستن ضریب اصطکاک ایستایی مشخص می‌شود، زاویه بین نیروی عمودی و نیروی واکنش کل در سطح تماس قابل تعیین است. رابطه بین این زاویه اصطکاک و ضریب اصطکاک در شکل ۲ نشان داده شده است: $$\tan \varphi =\frac{F}{N}=\mu .$$ این زاویه اصطکاک، جهت نیروی واکنش برآیند را تعیین می‌کند.

دو نوع مسئله شامل اصطکاک خشک وجود دارد که معمولاً در استاتیک رخ می‌دهند. در نوع اول مسئله، یکی از شرایط مسئله فیزیکی این است که حرکت در شرف وقوع است و رابطه بین نیروها مورد نیاز است. برای چنین مسائلی مشخص است که حداکثر نیروهای اصطکاک ایستایی ممکن وجود دارند، به‌طوری که رابطه بین نیروهای اصطکاکی و نیروهای عمودی مستقیماً توسط ضریب اصطکاک ایستایی داده می‌شود. در نوع دیگر مسئله، نیروهای وارد بر سیستم داده شده‌اند و می‌خواهیم بدانیم که آیا نیروهای اصطکاکی می‌توانند تعادل سیستم را حفظ کنند یا خیر. از آنجایی که در این حالت، نیروهای اصطکاکی کمتر از حداکثر ممکن است برای حفظ تعادل کافی باشند، نمی‌دانیم که نیروهای اصطکاک از حاصل‌ضرب نیروی عمودی در ضریب اصطکاک ایستایی به‌دست می‌آیند. در این حالت، رویکرد معمول این است که ضریب اصطکاک ایستایی لازم برای حفظ تعادل را تعیین کنیم. سپس با مقایسه این ضریب محاسبه‌شده با ضریبی که برای مسئله مفروض ممکن است، می‌توان تشخیص داد که آیا تعادل ممکن خواهد بود یا خیر.

مثال ۱. بلوکی به وزن $W$ روی یک سطح شیب‌دار قرار دارد (شکل ۳). ضریب اصطکاک ایستایی بین بلوک و سطح $\mu$ است. زاویه $\alpha$ را برای حالت در شُرُف حرکت به سمت پایین سطح بیابید.

حل. با رسم نمودار جسم آزاد (شکل ۴) و در نظر گرفتن دستگاه مختصات موازی و عمود بر سطح، برای تعادل داریم:

از آنجا که حرکت در شُرُف وقوع است $$F=\mu N$$ بنابراین $$\frac{F}{N}=\tan \alpha =\mu$$ یا، از آنجا که $\mu =\tan \varphi$ که در آن $\varphi =$ زاویه اصطکاک است $$\alpha =\varphi$$ زاویه $\alpha$ را زاویه سکون می‌نامند.

مثال ۲. بار $P$ توسط یک نگهدارنده حمل می‌شود که روی یک عضو قائم می‌لغزد، مطابق شکل ۵. بار در چه فاصله $x$ از تکیه‌گاه باید قرار گیرد تا حرکت در شُرُف وقوع باشد؟ از وزن نگهدارنده صرف‌نظر کنید و فرض کنید که بین نگهدارنده و تکیه‌گاه اصطکاک خشک با ضریب اصطکاک ایستایی برابر با ۰/۲۵ وجود دارد.

حل. با رسم نمودار جسم آزاد (شکل ۶) و نوشتن معادلات تعادل، داریم:

از آنجا که حرکت در شُرُف وقوع است، همچنین داریم: بنابراین: با استفاده از مفهوم زاویه اصطکاک، می‌توان یک حل ترسیمی برای این مسئله به دست آورد. اگر نیروهای عکس‌العمل در جهت‌های صحیح خود نشان داده شوند، به جای آنکه به صورت دو مؤلفه باشند، دستگاه نیروها شامل سه نیروی غیرموازی و هم‌صفحه خواهد بود که برای آنکه در تعادل باشند باید هم‌رس باشند (شکل ۷).

مثال ۳. بلوک $W_1$ ۱۰۰ پوند وزن دارد و بلوک $W_2$ ۵۰ پوند وزن دارد (شکل ۸). ضریب اصطکاک ایستایی بین بلوک بالایی و بلوک پایینی ۰/۳۵ و بین بلوک پایینی و صفحه افقی ۰/۱ است. نیروی افقی ۲۰ پوندی مطابق نمودار بر بلوک بالایی وارد می‌شود. نیروی موجود در کابل $AB$ را برای تعادل بلوک پایینی بیابید.

راه‌حل. از آنجا که نمی‌دانیم بلوک بالایی در تعادل است یا اینکه حرکت این بلوک بالایی قریب‌الوقوع است، نمی‌توانیم بلافاصله معادلات تعادل را بنویسیم. ابتدا باید بررسی کنیم که آیا تعادل ممکن است یا اینکه بلوک بالایی حرکت خواهد کرد. بیایید ضریب اصطکاک ایستایی را محاسبه کنیم که دقیقاً برای حفظ تعادل بلوک بالایی کافی باشد، یعنی متناظر با حرکت قریب‌الوقوع. مشاهده خواهد شد که اگر هیچ نیروی اصطکاکی وجود نداشت، بلوک بالایی به سمت پایین بلوک پایینی حرکت می‌کرد، بنابراین حرکت قریب‌الوقوع به سمت پایین خواهیم داشت.

از آنجا که این اصطکاک مورد نیاز برای تعادل کمتر از مقداری است که واقعاً وجود دارد، می‌دانیم که تعادل برقرار است. به‌علاوه، حرکت قریب‌الوقوع نیست و مقدار محاسبه‌شده نیروی اصطکاک فوق (۳۲/۷ پوند) مقدار واقعی موجود است، هرچند حداکثر مقداری که می‌تواند وجود داشته باشد نیست.

به طور مشابه برای تحلیل بلوک پایینی، نمودارهای جسم آزاد نشان‌داده‌شده در شکل ۱۰ را داریم. حرکت بلوک پایینی ممکن است در هر دو جهت قریب‌الوقوع باشد و همچنان سیستم در تعادل باشد. بنابراین بازه‌ای از مقادیر نیروی $T$ وجود خواهد داشت که می‌تواند تعادل را حفظ کند.

با فرض حرکت قریب‌الوقوع به سمت چپ، با در نظر گرفتن نمودار جسم آزاد کل جسم داریم: با فرض حرکت قریب‌الوقوع به سمت راست، داریم: بنابراین هر مقدار $T$ بین ۵ و ۳۵ پوند سیستم را در تعادل نگه خواهد داشت. برای مقادیر میانی، حرکت قریب‌الوقوع نخواهد بود و اندازه نیروی اصطکاک حداکثر مقدار ممکن خود نخواهد بود، بلکه مقداری خواهد بود که برای تعادل لازم است.

۵.۱.۱ مسائل

2. یک تختال به ضخامت ۲ اینچ قرار است بین دو غلتک به قطر ۲۴ اینچ نورد شود. اگر ضریب اصطکاک جنبشی بین غلتک‌ها و فلز داغ ۰/۱۵ باشد، حداقل فاصلهٔ $a$ بین غلتک‌ها چقدر باشد تا نیروهای وارد بر تختال توسط غلتک‌ها در لحظهٔ تماس اولیه در جهتی باشند که تختال را به درون غلتک‌ها بکشند؟

پاسخ

۱/۷۳ اینچ

3. یک میلهٔ گرد که با وزنه‌ای ۱۰۰۰ پوندی بارگذاری شده از درون یک صفحه عبور می‌کند و به وسیلهٔ یک «پین چاکی» از طریق یک شیار در میلهٔ گرد نگه داشته می‌شود. با فرض اینکه ضریب اصطکاک ایستایی بین پین و میله، بین پین و صفحه، و بین میله و صفحه ۰/۲۵ باشد، بیشینه زاویهٔ $\alpha$ را بیابید که برای آن وسیله خودقفل‌شونده باشد، یعنی بار، پین را از شیار به بیرون نراند.

پاسخ

$\alpha ={\tan }^{-1}\left(\frac{8}{15}\right)$

5. یک نوع کلاچ هرزگرد در شکل نشان داده شده است. اگر عضو داخلی در خلاف جهت عقربه‌های ساعت بچرخد، غلتک‌ها بین سطوح شیب‌دار گیر می‌کنند و در نتیجه عضو خارجی را به حرکت درمی‌آورند. اگر عضو داخلی در جهت عقربه‌های ساعت بچرخد، غلتک‌ها آزاد شده و عضو خارجی را به حرکت درنمی‌آورند. وضعیت هر غلتک تا حدودی مطابق نمودار زیر است.

اگر زاویهٔ بین دو سطح خیلی زیاد باشد، مانند (a)، غلتک فقط در امتداد سطح پایینی رانده می‌شود. اگر زاویه خیلی کم باشد، مانند (b)، غلتک خود را بین دو سطح گیر می‌اندازد و آزاد کردن آن دشوار خواهد بود. اگر ضریب اصطکاک ایستایی برای غلتک‌ها و سطوح فولاد سخت‌کاری شده ۰/۰۸ باشد، بیشینه زاویهٔ $\alpha$ قابل استفاده برای چنین کلاچی را بیابید.

پاسخ

6. بلوکی به وزن $W$ روی یک صفحه افقی زبر قرار دارد و تحت تأثیر نیروی $F$ که زاویه $\theta$ با افق می‌سازد، بارگذاری شده است. نشان دهید که کمینه مقدار $F$ برای حرکت قریب‌الوقوع زمانی لازم است که زاویه $\theta$ برابر با زاویه اصطکاک باشد.

8. نیروی $P$ به یکی از دسته‌های یک کشو وارد می‌شود. با فرض اینکه واکنش‌ها در نقاط $A$ و $B$ متمرکز هستند، بیشینه فاصله a را که کشو می‌تواند با آن بیرون کشیده شود، برای یک ضریب اصطکاک ایستایی معین $\mu$ بیابید. از اصطکاک در کف کشو صرف‌نظر کنید.

پاسخ

$a={\displaystyle \frac{h}{2\mu }}$

10. بار $P$ باید توسط سیستمی از گوه‌ها که با نیروهای $F$ مطابق شکل بارگذاری شده‌اند، بالا برده شود. اگر ضریب اصطکاک ایستایی برای تمام سطوح در تماس 0.25 باشد، رابطه بین $F$ و $P$ را برای بالا بردن بار و پایین آوردن بار بیابید. آیا سیستم خودقفل‌شونده است؛ یعنی اگر نیروهای $F$ حذف شوند، آیا $P$ نگه داشته می‌شود؟

پاسخ

برای بالا بردن، $F=0.348P$؛ خودقفل‌شونده