معادله ناویه

ما می‌توانیم تمام معادلات را بر حسب میدان جابجایی بیان کنیم. مزیت اصلی آن این است که سه مجموعه معادلات حاکم (تعادل، سینماتیک و ساختاری) را در یک معادله برداری واحد ترکیب می‌کند و مسئله را از ۱۵ مجهول (تنش، کرنش، جابجایی) به تنها ۳ مجهول (مؤلفه‌های بردار جابجایی $𝐮$) کاهش می‌دهد.

استخراج شامل یک جایگزینی سیستماتیک است که با معادله تعادل شروع می‌شود و به‌تدریج تنش با کرنش و سپس کرنش با جابجایی جایگزین می‌شود.

ما با سه مجموعه اساسی معادلات به صورت نمادگذاری شاخصی شروع می‌کنیم.

1. معادله تعادل (معادله حرکت): این معادله دیورژانس تانسور تنش را به نیروهای حجمی و اینرسی مرتبط می‌کند. که در آن ${\sigma }_{ji}$ تانسور تنش، $\rho$ چگالی، $b_i$ نیروی حجمی در واحد جرم و $u_i$ بردار جابجایی است.

شکل جایگزین:

2. معادله رفتاری (قانون هوک تعمیم‌یافته برای مواد همسانگرد): این قانون تنش را با استفاده از دو پارامتر لمه $\lambda$ و $\mu$ (مدول برشی، $G$) به کرنش مرتبط می‌کند. که در آن ${ϵ}_{ij}$ تانسور کرنش، ${ϵ}_{kk}={ϵ}_{11}+{ϵ}_{22}+{ϵ}_{33}$ کرنش حجمی (اثر تانسور کرنش)، و ${\delta }_{ij}$ دلتای کرونکر است.

شکل جایگزین:

3. رابطه سینماتیکی (کرنش-جابجایی): این معادله کرنش را بر حسب گرادیان‌های جابجایی برای تغییر شکل‌های کوچک تعریف می‌کند. یا فرایند جایگزینی:

گام اول: بیان تنش بر حسب جابجایی ابتدا رابطه سینماتیکی (۳) را در معادله رفتاری (۲) جایگزین کنید. $${\sigma }_{ij}=\lambda {ϵ}_{kk}{\delta }_{ij}+2\mu [\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})]$$ جمله کرنش حجمی ${ϵ}_{kk}$ نیز باید بر حسب جابجایی بیان شود: $${ϵ}_{kk}=u_{k,k}=u_{1,1}+u_{2,2}+u_{3,3}$$ با جایگزینی این عبارت، تنش کاملاً بر حسب جابجایی به‌دست می‌آید:

شکل جایگزین: ابتدا توجه کنید که اثر تانسور کرنش همان دیورژانس بردار جابجایی است: $$\text{tr}(𝝐)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮$$ این و رابطه سینماتیکی (۳') را در معادله رفتاری (۲') جایگزین کنید: $$𝝈=\lambda (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)𝐈+2\mu [\frac{1}{2}(\mathrm{\nabla }𝐮+(\mathrm{\nabla }𝐮{)}^T)]$$

گام دوم: جایگزینی تنش در معادله تعادل اکنون این عبارت برای تنش (۴) را در معادله تعادل (۱) جایگزین کنید. از آنجا که تانسور تنش متقارن است (${\sigma }_{ij}={\sigma }_{ji}$)، می‌توانیم ${\sigma }_{ji}$ را با ${\sigma }_{ij}$ جایگزین کنیم. $${[\lambda u_{k,k}{\delta }_{ij}+\mu (u_{i,j}+u_{j,i})]}_{,j}+\rho b_i=\rho {\ddot{u}}_i$$ اکنون مشتق نسبت به $x_j$ را به جملات داخل کروشه اعمال می‌کنیم: $$(\lambda u_{k,k}{\delta }_{ij}{)}_{,j}+(\mu u_{i,j}{)}_{,j}+(\mu u_{j,i}{)}_{,j}+\rho b_i=\rho {\ddot{u}}_i$$ هر جمله را با فرض ثابت بودن $\lambda$ و $\mu$ بررسی می‌کنیم: * جمله ۱: $(\lambda u_{k,k}{\delta }_{ij}{)}_{,j}=\lambda (u_{k,k}{)}_{,j}{\delta }_{ij}$. به دلیل دلتای کرونکر ${\delta }_{ij}$، این جمله تنها زمانی غیرصفر است که $j=i$. بنابراین مشتق نسبت به $x_i$ می‌شود: $\lambda (u_{k,k}{)}_{,i}=\lambda u_{k,ki}$. * جمله ۲: $(\mu u_{i,j}{)}_{,j}=\mu u_{i,jj}$. * جمله ۳: $(\mu u_{j,i}{)}_{,j}=\mu u_{j,ij}$. با فرض همواری کافی میدان جابجایی، می‌توانیم ترتیب مشتق‌گیری را جابه‌جا کنیم: $\mu u_{j,ji}=\mu (u_{j,j}{)}_{,i}$.

ترکیب این جملات به دست می‌دهد: $$\lambda u_{k,ki}+\mu u_{i,jj}+\mu u_{j,ji}+\rho b_i=\rho {\ddot{u}}_i$$ توجه کنید که $u_{k,k}$ و $u_{j,j}$ هر دو دیورژانس میدان جابجایی را نشان می‌دهند. می‌توانیم جمله اول و سوم را گروه‌بندی کنیم:

این معادله لمه-ناویر در نمادگذاری شاخصی است.

شکل جایگزین:

اکنون دیورژانس عبارت تنش (۴') را گرفته و آن را در معادله تعادل (۱') جایگزین کنید: $$\mathrm{\nabla }\cdot [\lambda (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)𝐈+\mu (\mathrm{\nabla }𝐮+(\mathrm{\nabla }𝐮{)}^T)]+\rho 𝐛=\rho \ddot{𝐮}$$ از اتحادهای استاندارد زیر در حساب بردارها استفاده می‌کنیم: * $\mathrm{\nabla }\cdot (f𝐈)=\mathrm{\nabla }f$ * $\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }𝐮)={\mathrm{\nabla }}^2𝐮$ (لاپلاسین برداری) * $\mathrm{\nabla }\cdot ((\mathrm{\nabla }𝐮{)}^T)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)$

با اعمال این اتحادها بر معادله خود (با فرض ثابت بودن $\lambda$ و $\mu$): $$\lambda \mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)+\mu ({\mathrm{\nabla }}^2𝐮)+\mu \mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)+\rho 𝐛=\rho \ddot{𝐮}$$ در نهایت، جملات دارای گرادیان دیورژانس را گروه‌بندی کنید:

شرایط مرزی بر حسب جابجایی

شرایط مرزی که در بخش قبل بحث کردیم $$n_j{\sigma }_{ij}=t_i^{}\text{on }{\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }$$ $$u_i=u_i^{\ast }\text{on }{\mathrm{\Gamma }}_u$$ می‌توانند بر حسب میدان جابجایی به صورت زیر بیان شوند: $$[n_j\mu (u_{i,j}+u_{j,i})+n_i\lambda u_{k,k}]=t_i^{\ast }\text{on }{\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }$$ $$u_i=u_i^{\ast }\text{on }{\mathrm{\Gamma }}_u.$$