معادلات حاکم بر الاستیسیته

هدف هر مسئله‌ای در مکانیک جامدات، تعیین توزیع جابجایی‌ها، کرنش‌ها و تنش‌ها در سراسر جسمی است که تحت تأثیر نیروهای خارجی قرار دارد. این کار مستلزم مجموعه‌ای از معادلات حاکم است که بر اساس سه اصل فیزیکی اساسی بنا شده‌اند: تعادل نیروها (تعادل)، هندسه تغییرشکل (سینماتیک) و پاسخ ماده (قانون تشکیل‌دهنده).

برای یک جسم الاستیک سه‌بعدی، باید در مجموع 15 کمیت مجهول میدانی را در هر نقطه $(x, y, z)$ درون جسم حل کنیم.

15 مجهول

15 مجهول را می‌توان در سه دسته گروه‌بندی کرد:

بردار جابجایی (3 مجهول): اینها توصیف می‌کنند که هر نقطه در جسم چگونه حرکت می‌کند.
- $u (x, y, z)$ ، $v (x, y, z)$ ، $w (x, y, z)$
تانسور کرنش (6 مؤلفه مستقل مجهول): اینها تغییرشکل (کشیدگی و برش) ماده را توصیف می‌کنند. تانسور کرنش متقارن است ( ϵ i j = ϵ j i )، بنابراین 6 مؤلفه یکتا دارد.
- کرنش‌های عمودی: $ϵ_{x x}, ϵ_{y y}, ϵ_{z z}$
- کرنش‌های برشی: $ϵ_{x y}, ϵ_{y z}, ϵ_{x z}$
تانسور تنش (6 مؤلفه مستقل مجهول): اینها نیروهای داخلی وارد بر سطوح بی‌نهایت کوچک درون ماده را توصیف می‌کنند. به دلیل تعادل گشتاورها، تانسور تنش نیز متقارن است ( σ i j = σ j i )، که 6 مؤلفه یکتا به آن می‌دهد.
- تنش‌های عمودی: $σ_{x x}, σ_{y y}, σ_{z z}$
- تنش‌های برشی: $σ_{x y}, σ_{y z}, σ_{x z}$

مجهولات کل = 3 (جابجایی‌ها) + 6 (کرنش‌ها) + 6 (تنش‌ها) = 15 کمیت.

برای حل این 15 مجهول، به تعداد مساوی معادله مستقل نیاز داریم که توسط قوانین بنیادی مکانیک محیط‌های پیوسته فراهم می‌شود.

15 معادله حاکم

این 15 معادله از سه اصل بنیادی استخراج می‌شوند:

1. معادلات تعادل (3 معادله)

با در نظر گرفتن یک المان بی‌نهایت کوچک درون جسم، از قانون دوم نیوتن ( $Σ 𝐅 = m 𝐚$ ) نتیجه می‌شود که مؤلفه‌های تنش معادلات حرکت زیر را ارضا می‌کنند: $\frac{\partial σ_{x x}}{\partial x} + \frac{\partial σ_{y x}}{\partial y} + \frac{\partial σ_{z x}}{\partial z} + ρ b_{x} = ρ \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}$ $\frac{\partial σ_{x y}}{\partial x} + \frac{\partial σ_{y y}}{\partial y} + \frac{\partial σ_{z y}}{\partial z} + ρ b_{y} = ρ \frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}}$ $\frac{\partial σ_{x z}}{\partial x} + \frac{\partial σ_{y z}}{\partial y} + \frac{\partial σ_{z z}}{\partial z} + ρ b_{z} = ρ \frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}}$ در معادلات فوق، $𝐮 = [\begin{matrix} u & v & w \end{matrix}]$ میدان جابجایی و $𝐛$ نیروی بدنی بر واحد جرم است.

معادلات تعادل اغلب به صورت نمایه‌گذاری فشرده به شکل $σ_{j i, j} + ρ b_{i} = ρ {\ddot{u}}_{i}, (i = 1, 2, 3)$ نوشته می‌شوند، جایی که $_{, j}$ به معنی مشتق‌گیری نسبت به $x_{j}$ است، جمع بر روی شاخص تکراری $j$ به صورت ضمنی (نمادگذاری اینشتین) در نظر گرفته شده و دو نقطه برای نشان‌دادن مشتق دوم نسبت به زمان استفاده شده است.

شکل دیگری از نوشتن معادله فوق به صورت زیر است $\nabla \cdot 𝝈 + ρ 𝐛 = ρ \ddot{𝐮} .$

2. معادلات سینماتیکی (کرنش-جابجایی) (6 معادله) اینها روابط هندسی هستند که مؤلفه‌های تانسور کرنش را بر حسب مشتقات بردار جابجایی تعریف می‌کنند. آنها برای فرض تغییرشکل‌های کوچک معتبر هستند. $ϵ_{x x} = \frac{\partial u}{\partial x}$ $ϵ_{y y} = \frac{\partial v}{\partial y}$ $ϵ_{z z} = \frac{\partial w}{\partial z}$ $ϵ_{x y} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x})$ $ϵ_{y z} = \frac{1}{2} (\frac{\partial v}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial y})$ $ϵ_{x z} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x})$ به شکل فشرده: $ϵ_{i j} = \frac{1}{2} (u_{i, j} + u_{j, i}),$ یا $𝝐 = \frac{1}{2} [\nabla 𝝐 + \nabla (𝝐)^{T}] .$ 3. معادلات تشکیل‌دهنده / قانون هوک تعمیم‌یافته (6 معادله) این معادلات رفتار ذاتی ماده را با مرتبط‌کردن تنش به کرنش توصیف می‌کنند. به طور کلی: $σ_{i j} = C_{i j k l} ϵ_{k l}$ * توجه کنید که جمع بر روی شاخص‌های تکراری $k$ و $l$ به صورت ضمنی است. یعنی، $C_{i j k l} ϵ_{k l} = \sum_{k = 1}^{3} \sum_{l = 1}^{3} C_{i j k l} ϵ_{k l} .$ برای یک ماده الاستیک خطی و همسانگرد، این رابطه با دو ثابت ماده، معمولاً مدول یانگ ( $E$ ) و نسبت پواسون ( $ν$ )، تعریف می‌شود. $σ_{x x} = \frac{E}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} [(1 - ν) ϵ_{x x} + ν (ϵ_{y y} + ϵ_{z z})]$ $σ_{y y} = \frac{E}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} [(1 - ν) ϵ_{y y} + ν (ϵ_{x x} + ϵ_{z z})]$ $σ_{z z} = \frac{E}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} [(1 - ν) ϵ_{z z} + ν (ϵ_{x x} + ϵ_{y y})]$ $σ_{x y} = \frac{E}{1 + ν} ϵ_{x y}$ $σ_{y z} = \frac{E}{1 + ν} ϵ_{y z}$ $σ_{x z} = \frac{E}{1 + ν} ϵ_{x z}$ یا به شکل فشرده $σ_{i j} = λ ϵ_{k k} δ_{i j} + 2 μ ϵ_{i j},$ یا $𝝈 = λ (tr 𝝐) 𝑰 + 2 μ 𝝐 .$ #### خلاصه

تئوری الاستیسیته خطی‌شده یک چارچوب ریاضی بسته و کامل است. ما سیستمی از 15 مجهول و مجموعه‌ای متناظر از 15 معادله مستقل ایجاد کرده‌ایم:

3 معادله تعادل
6 معادله سینماتیکی
6 معادله تشکیل‌دهنده

این برابری تضمین می‌کند که مسئله از نظر ریاضی خوش‌طرح است. با اعمال شرایط مرزی مناسب (یعنی مشخص‌کردن نیروها یا جابجایی‌ها روی سطح جسم)، می‌توان یک جواب یکتا برای میدان‌های تنش، کرنش و جابجایی تعیین کرد.