کرنش حقیقی و تنش حقیقی

منحنی تنش-کرنش مهندسی به‌طور دقیق رفتار تغییر شکل ماده را نمایش نمی‌دهد، زیرا با استفاده از ابعاد اولیه نمونه محاسبه می‌شود که در طول آزمایش به‌طور پیوسته تغییر می‌کنند. در عملیات فلزکاری مانند کشش سیم، برای مثال، سطح مقطع قطعه کار به‌طور قابل توجهی کاهش می‌یابد. بنابراین، تعریف تنش و کرنش بر اساس ابعاد لحظه‌ای معنی‌دارتر است. از آنجایی که تغییرات ابعادی در محدوده الاستیک ناچیز است، این تمایز در بحث قبلی ضروری نبود.

کرنش حقیقی در مقابل کرنش مهندسی

معادله

که در آن $L_0$ فاصله اولیه بین دو علامت اندازه‌گیری است و $L$ فاصله جاری بین آن‌هاست، مفهوم متداول کرنش خطی واحد را توصیف می‌کند، یعنی تغییر طول نسبت به طول واحد اولیه.

$$e=\frac{\mathrm{\Delta }L}{L_0}=\frac{1}{L_0}{\int }_{L_0}^{L}dL$$

این تعریف از کرنش، که کرنش مهندسی یا کرنش اسمی نامیده می‌شود، برای کرنش‌های الاستیک که $\mathrm{\Delta }L$ بسیار کوچک است، رضایت‌بخش است. با این حال، در تغییر شکل پلاستیک کرنش‌ها اغلب بزرگ هستند و در طول کشش، طول اندازه‌گیری به‌طور قابل توجهی تغییر می‌کند. لودویک در سال ۱۹۰۹ برای اولین بار تعریف کرنش حقیقی یا کرنش طبیعی، $ϵ$، را ارائه کرد که این مشکل را برطرف می‌کند. در این تعریف از کرنش، تغییر طول نسبت به طول لحظه‌ای اندازه‌گیری محاسبه می‌شود، نه نسبت به طول اولیه اندازه‌گیری.

یا

رابطه بین کرنش حقیقی و کرنش خطی متداول از معادله (۱) به دست می‌آید.

$$e=\frac{\mathrm{\Delta }L}{L_0}=\frac{L-L_0}{L_0}=\frac{L}{L_0}-1$$$$e+1=\frac{L}{L_0}$$

این دو اندازه‌گیری کرنش تا کرنش‌های حدود ۰٫۱ نتایج تقریباً یکسانی ارائه می‌دهند.

از آنجایی که حجم در طول تغییر شکل پلاستیک اساساً ثابت می‌ماند، معادله (۳) را می‌توان بر حسب طول یا مساحت نوشت.

همچنین، به دلیل ثابت بودن حجم، مجموع سه کرنش اصلی برابر با صفر است.

این رابطه برای کرنش‌های متداول اصلی معتبر نیست.

مزیت استفاده از کرنش حقیقی از مثال زیر مشخص می‌شود:

یک استوانه یکنواخت را در نظر بگیرید که تا دو برابر طول اولیه خود کشیده شده است. کرنش خطی در این حالت $e=(2L_0-L_0)/L_0=1.0$ یا ۱۰۰ درصد است. برای دستیابی به همان مقدار کرنش خطی منفی در فشار، استوانه باید تا ضخامت صفر فشرده شود. با این حال، به‌طور شهودی انتظار داریم که کرنش ایجاد شده در فشردن یک استوانه به نصف طول اولیه‌اش، همان مقدار، اما با علامت مخالف، کرنش ایجاد شده در کشیدن استوانه به دو برابر طول آن باشد. اگر از کرنش حقیقی استفاده شود، هم‌ارزی برای این دو حالت به دست می‌آید. برای کشش به دو برابر طول اولیه، $ϵ=\ln (2L_0/L_0)=\ln 2$. برای فشار به نصف طول اولیه،

$$ϵ=\ln [(L_0/2)/L_0]=\ln \frac{1}{2}=-\ln 2.$$

تنش حقیقی در مقابل تنش مهندسی

هنگام تحلیل رفتار مکانیکی مواد، تمایز بین دو تعریف کلیدی تنش ضروری است. در حالی که این دو معیار در ناحیه الاستیک که تغییر شکل‌ها کوچک هستند تقریباً یکسان‌اند، مقادیر آن‌ها در طول تغییر شکل پلاستیک به‌طور قابل توجهی از هم جدا می‌شوند.

منحنی‌های مهندسی در مقابل منحنی‌های حقیقی: یک مقایسه بصری

شکل زیر منحنی‌های تنش-کرنش مهندسی و حقیقی را برای دو آلیاژ سازه‌ای رایج مقایسه می‌کند. چند ویژگی قابل توجه است.

دو منحنی برای هر ماده تقریباً بر روی یکدیگر در ناحیه الاستیک (زیر حدود ۱٪ کرنش) قرار دارند، که تأیید می‌کند معیارهای مهندسی و حقیقی برای تغییر شکل‌های کوچک قابل تعویض هستند. هنگامی که جریان پلاستیک قابل توجه آغاز می‌شود، منحنی‌ها از هم جدا می‌شوند. برای فولاد، منحنی مهندسی در حدود کرنش مهندسی ۶٪ در تقریباً ۴۴۰ مگاپاسکال (UTS) به اوج می‌رسد و سپس در شکست به حدود ۳۳۰ مگاپاسکال کاهش می‌یابد. تنش حقیقی در همان نقطه شکست تقریباً ۵۴۵ مگاپاسکال است (نزدیک به ۶۵٪ بیشتر) زیرا کاهش سریع مساحت ناحیه گلویی باعث افزایش σ = P/A می‌شود حتی با کاهش بار P. آلومینیوم همان رفتار کیفی را نشان می‌دهد، با تنش حقیقی شکست
(حدود ۴۱۵ مگاپاسکال) که به‌طور قابل توجهی از UTS مهندسی (~۳۱۰ مگاپاسکال) فراتر می‌رود.

استخراج رابطه بین تنش حقیقی و مهندسی

می‌توانیم یک رابطه ریاضی مستقیم برای تبدیل تنش مهندسی که به راحتی اندازه‌گیری می‌شود به تنش حقیقی که از نظر فیزیکی معنی‌دارتر است، استخراج کنیم. این تبدیل بر یک فرض کلیدی در مورد رفتار ماده در طول تغییر شکل پلاستیک تکیه دارد.

با تعریف تنش حقیقی شروع می‌کنیم و از یک دستکاری جبری ساده برای وارد کردن عبارت تنش مهندسی استفاده می‌کنیم. معادله را در $A_0/A_0$ ضرب می‌کنیم که معادل ضرب در یک است:

$$\sigma =\frac{P}{A}=\frac{P}{A_0}\cdot \frac{A_0}{A}$$

توجه کنید که عبارت $P/A_0$ صرفاً تعریف تنش مهندسی، $s$، است. بنابراین، می‌توانیم بنویسیم:

$$\sigma =s\left(\frac{A_0}{A}\right)$$

از آنجایی که حجم نمونه در طول آزمایش ثابت می‌ماند، داریم A₀L₀ = AL و بنابراین می‌توانیم بنویسیم

$$\sigma =s\frac{L}{L_0}$$

زیرا

$$e=\frac{L-L_0}{L_0}=\frac{L}{L_0}-1$$$$\Rightarrow \frac{L}{L_0}=1+e$$

به دست می‌آوریم

1. تعمیم سه‌بعدی مفهوم تنش مهندسی، تنش پيولای-کیرشهوف اول نامیده می‌شود. ↩
2. تنش حقیقی همان چیزی است که آن را تنش کوشی می‌نامیم. ↩