المان چهارضلعی تحریف‌شده: دستگاه مختصات طبیعی

فرمول‌بندی المان مستطیلی ساده و مؤثر است، اما یک اشکال عمده دارد: این فرمول‌بندی برای یک مستطیل کامل تعریف شده که اضلاع آن با محورهای کارتزین سراسری (x، y) هم‌راستا هستند. هندسه‌های دنیای واقعی پیچیده هستند و اغلب مش‌بندی یک شکل پیچیده تنها با استفاده از مستطیل‌های کامل ناکارآمد یا غیرممکن است.

اگر سعی کنیم از توابع شکل استخراج‌شده در بالا برای یک شکل چهارضلعی کلی و اعوجاج‌یافته استفاده کنیم، این توابع در برآورده کردن ویژگی‌های مورد نیاز شکست می‌خورند (به عنوان مثال، یک تابع شکل ممکن است در امتداد یک لبه مقابل صفر نباشد). دلیل این امر آن است که این توابع به طور صریح به مختصات x و y و ابعاد خاص المان، a و b، وابسته هستند.

برای تحلیل المان‌های چهارضلعی با شکل دلخواه، باید یک سیستم مختصات جدید معرفی کنیم که مستقل از شکل المان در سیستم سراسری باشد. این ما را به مفهوم مختصات طبیعی هدایت می‌کند.

1. سیستم مختصات طبیعی

ایده اصلی سیستم مختصات طبیعی، نگاشت هر چهارضلعی با شکل دلخواه در سیستم مختصات سراسری (x، y) به یک المان "والد" کاملاً مربعی در یک سیستم مختصات محلی (r، s) است.

سیستم سراسری (المان واقعی): المان فیزیکی با مختصات x و y. این المان می‌تواند اعوجاج‌یافته باشد و اضلاع آن ممکن است موازی نباشند.
سیستم طبیعی (المان والد): یک مربع کامل که با مختصات r و s تعریف می‌شود، جایی که هر دو r و s در بازه ۱- تا ۱+ قرار دارند.

این نگاشت، یک هندسه پیچیده را به یک هندسه ساده و استاندارد تبدیل می‌کند که فرمول‌بندی را به‌ویژه انتگرال‌گیری را بسیار ساده می‌سازد.

2. فرمول‌بندی ایزوپارامتریک: نگاشت و توابع شکل

نبوغ فرمول‌بندی ایزوپارامتریک در استفاده از دقیقاً همان توابع شکل برای تعریف نگاشت هندسی است که برای درون‌یابی میدان جابجایی استفاده می‌شوند.

2.1 توابع شکل در مختصات طبیعی

در مربع والد (r، s)، توابع شکل برای المان ۴ گره‌ای یک شکل ساده و جهانی دارند، مشابه روش حاصل‌ضرب مورد استفاده برای مستطیل:

$N_{1} (r, s) = \frac{1}{4} (1 - r) (1 - s)$
$N_{2} (r, s) = \frac{1}{4} (1 + r) (1 - s)$
$N_{3} (r, s) = \frac{1}{4} (1 + r) (1 + s)$
$N_{4} (r, s) = \frac{1}{4} (1 - r) (1 + s)$

این توابع بدون توجه به شکل المان واقعی در صفحه (x، y) همیشه یکسان هستند.

2.2 نگاشت هندسی

ارتباط بین دو سیستم مختصات با استفاده از این توابع شکل برای درون‌یابی مختصات سراسری از مختصات گرهی برقرار می‌شود:

این نگاشت به ما امکان می‌دهد تا مختصات سراسری (x، y) متناظر با هر نقطه‌ای که با مختصات طبیعی (r، s) داده شده است را بیابیم.

2.3 درون‌یابی جابجایی

بیایید از دقیقاً همان توابع برای توصیف میدان جابجایی (u، v) در هر نقطه (r، s) داخل المان استفاده کنیم. میدان جابجایی پیوسته از مقادیر گسسته جابجایی گرهی u_i و v_i با استفاده از همان مجموعه توابع شکل درون‌یابی می‌شود:

$u (r, s) = \sum_{i = 1}^{4} N_{i} (r, s) u_{i}$ $v (r, s) = \sum_{i = 1}^{4} N_{i} (r, s) v_{i}$

در اینجا، u_i و v_i مؤلفه‌های بردار جابجایی گرهی q هستند. این می‌تواند به شکل ماتریسی بیان شود: ${\begin{matrix} u (r, s) \\ v (r, s) \end{matrix}} = [\begin{matrix} N_{1} & 0 & N_{2} & 0 & N_{3} & 0 & N_{4} & 0 \\ 0 & N_{1} & 0 & N_{2} & 0 & N_{3} & 0 & N_{4} \end{matrix}] {\begin{matrix} u_{1} \\ v_{1} \\ u_{2} \\ v_{2} \\ u_{3} \\ v_{3} \\ u_{4} \\ v_{4} \end{matrix}}$

این ساختار موازی تصادفی نیست؛ این تعریف بنیادین یک المان ایزوپارامتریک است.

3. ماتریس ژاکوبین: ارتباط مشتقات

برای تشکیل ماتریس B، به مشتقات توابع شکل نسبت به مختصات سراسری، x و y، نیاز داریم. با این حال، توابع شکل ما بر حسب مختصات طبیعی، r و s، تعریف شده‌اند. می‌توانیم این مشتقات را با استفاده از قاعده زنجیره‌ای مشتق‌گیری جزئی مرتبط کنیم:

$\frac{\partial N_{i}}{\partial r} = \frac{\partial N_{i}}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial N_{i}}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r}$ $\frac{\partial N_{i}}{\partial s} = \frac{\partial N_{i}}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial N_{i}}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s}$

این سیستم را می‌توان به شکل ماتریسی نوشت:

${\begin{matrix} \frac{\partial N_{i}}{\partial r} \\ \frac{\partial N_{i}}{\partial s} \end{matrix}} = [\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} \\ \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial s} \end{matrix}] {\begin{matrix} \frac{\partial N_{i}}{\partial x} \\ \frac{\partial N_{i}}{\partial y} \end{matrix}}$

ماتریس موجود در این معادله، ماتریس ژاکوبین، J است.

$𝐉 = [\begin{matrix} J_{11} & J_{12} \\ J_{21} & J_{22} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} \\ \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial s} \end{matrix}]$

از آنجایی که برای تشکیل ماتریس B به مشتقات نسبت به x و y نیاز داریم، باید این رابطه را معکوس کنیم:

${\begin{matrix} \frac{\partial N_{i}}{\partial x} \\ \frac{\partial N_{i}}{\partial y} \end{matrix}} = 𝐉^{- 1} {\begin{matrix} \frac{\partial N_{i}}{\partial r} \\ \frac{\partial N_{i}}{\partial s} \end{matrix}}$

جملات ماتریس ژاکوبین را می‌توان با مشتق‌گیری از معادلات نگاشت محاسبه کرد (به عنوان مثال، $\frac{\partial x}{\partial r} = \sum \frac{\partial N_{i}}{\partial r} x_{i}$ ).

6. انتگرال‌گیری در مختصات طبیعی

گام نهایی، تبدیل انتگرال ماتریس سختی به سیستم مختصات طبیعی است. المان مساحت دیفرانسیلی نیز تبدیل می‌شود:

$d A = d x d y = det (𝐉) d r d s$

دترمینان ماتریس ژاکوبین، det(J)، به‌عنوان یک ضریب مقیاس‌دهی بین مساحت‌های دیفرانسیلی در دو سیستم عمل می‌کند. انتگرال ماتریس سختی المان به صورت زیر درمی‌آید:
$𝐊 = t \int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} 𝐁 (r, s)^{T} 𝐄 𝐁 (r, s) det (𝐉) d r d s$
این انتگرال بدون توجه به شکل المان واقعی، دارای حدود ثابت ۱- تا ۱ است. این فرم استاندارد برای تکنیک‌های انتگرال‌گیری عددی مانند کوادراچر گاوس، که روش استاندارد برای ارزیابی این انتگرال‌ها در نرم‌افزارهای FEM است، ایده‌آل می‌باشد.