المان مثلثی دوبعدی

اکنون اصول روش المان محدود را به حوزه‌های دو بعدی تعمیم می‌دهیم. ساده‌ترین المان برای گسسته‌سازی یک محیط پیوسته دوبعدی المان مثلثی است. سه گره در هر گوشه مثلث در نظر بگیرید که گره‌ها در جهت خلاف عقربه‌های ساعت شماره‌گذاری شده‌اند. هر گره دو درجه آزادی $u_{i}$ و $v_{i}$ دارد.

1. فرمول‌بندی برای الاستیسیته دوبعدی

قبل از استخراج ویژگی‌های این المان، باید روابط حاکم برای الاستیسیته دوبعدی را تعیین کنیم.

وضعیت تنش و کرنش در هر نقطه را می‌توان با بردارها نشان داد.

بردار تنش ویت به صورت زیر تعریف می‌شود: ${σ} = {\begin{matrix} σ_{x x} \\ σ_{y y} \\ σ_{x y} \end{matrix}}$

بردار کرنش ویت متناظر عبارت است از: ${ϵ} = {\begin{matrix} ϵ_{x x} \\ ϵ_{y y} \\ γ_{x y} \end{matrix}}$

رابطه بین تنش و کرنش، قانون ساختاری است که برای ماده الاستیک خطی به صورت ماتریسی به شکل زیر بیان می‌شود: ${σ} = [E] {ϵ}$ در اینجا، E ماتریس الاستیسیته است که خواص ماده را در بر دارد. (این ماتریس نباید با مدول یانگ اسکالر، E، که در تعریف آن به کار می‌رود اشتباه گرفته شود).

برای مسائل دوبعدی، معمولاً یکی از دو فرض ساده‌کننده زیر در نظر گرفته می‌شود: تنش صفحه‌ای یا کرنش صفحه‌ای.

تنش صفحه‌ای: برای سازه‌های نازک که در صفحه خود بارگذاری می‌شوند فرض می‌شود ( $σ_{z z} = 0$ ). ماتریس الاستیسیته عبارت است از: $𝐄 = \frac{E}{1 - ν^{2}} [\begin{matrix} 1 & ν & 0 \\ ν & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - ν}{2} \end{matrix}]$

کرنش صفحه‌ای: برای سازه‌های طویل با مقطع عرضی یکنواخت که کرنش خارج از صفحه صفر است فرض می‌شود ( $ϵ_{z z} = 0$ ). ماتریس الاستیسیته عبارت است از: $𝐄 = \frac{E (1 - ν)}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} [\begin{matrix} 1 & \frac{ν}{1 - ν} & 0 \\ \frac{ν}{1 - ν} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - 2 ν}{2 (1 - ν)} \end{matrix}]$

2. ماتریس کرنش-جابجایی [B]

فرضیات: میدان جابجایی درون المان، u(x, y) در جهت x و v(x, y) در جهت y، با استفاده از توابع شکل N_i از مقادیر جابجایی گره‌ها درونیابی می‌شود. فرض می‌شود که جابجایی در یک جهت معین تنها به جابجایی‌های گره‌ها در همان جهت بستگی دارد. یعنی،

کرنش‌ها مشتقات میدان جابجایی هستند. برای مسئله دوبعدی، روابط به صورت زیر است:

$ϵ_{x x} = \frac{\partial u}{\partial x}, ϵ_{y y} = \frac{\partial v}{\partial y}, γ_{x y} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}$

با جایگذاری میدان‌های جابجایی درونیابی‌شده در این تعاریف کرنش، می‌توان رابطه‌ای بین بردار کرنش ویت ${ϵ}$ و بردار جابجایی‌های گره‌ها $𝐪$ ساخت. این رابطه ماتریس کرنش-جابجایی، B، را تعریف می‌کند.

${ϵ} = [B] {q}$

برای المان مثلثی سه گره‌ای، بردار جابجایی گره‌ها به صورت زیر مرتب می‌شود:

$𝐪 = {\begin{matrix} u_{1} \\ v_{1} \\ u_{2} \\ v_{2} \\ u_{3} \\ v_{3} \end{matrix}}$

بنابراین ماتریس کرنش-جابجایی B یک ماتریس $3 \times 6$ است که از مشتقات توابع شکل تشکیل شده است:

$𝐁 = [\begin{matrix} \frac{\partial N_{1}}{\partial x} & 0 & \frac{\partial N_{2}}{\partial x} & 0 & \frac{\partial N_{3}}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac{\partial N_{1}}{\partial y} & 0 & \frac{\partial N_{2}}{\partial y} & 0 & \frac{\partial N_{3}}{\partial y} \\ \frac{\partial N_{1}}{\partial y} & \frac{\partial N_{1}}{\partial x} & \frac{\partial N_{2}}{\partial y} & \frac{\partial N_{2}}{\partial x} & \frac{\partial N_{3}}{\partial y} & \frac{\partial N_{3}}{\partial x} \end{matrix}]$

3. استخراج توابع شکل

برای تعیین ماتریس B، ابتدا باید شکل صریح توابع شکل، N_i، را بیابیم. برای المان مثلثی سه گره‌ای، ساده‌ترین میدان جابجایی ممکن، یعنی یک چندجمله‌ای خطی، فرض می‌شود.

ضرایب A₁، A₂ و A₃ ثابت هستند. برای ارتباط آنها با جابجایی‌های فیزیکی گره‌ها، این معادله را در هر یک از سه گره اعمال می‌کنیم:

${\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix}} = [\begin{matrix} 1 & x_{1} & y_{1} \\ 1 & x_{2} & y_{2} \\ 1 & x_{3} & y_{3} \end{matrix}] {\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \\ A_{3} \end{matrix}}$

این دستگاه معادلات را می‌توان برای محاسبه ضرایب A_i بر حسب جابجایی‌های گره‌ها u_i و مختصات گره‌ها وارون کرد.

که $A = \frac{1}{2} | \begin{matrix} 1 & x_{1} & y_{1} \\ 1 & x_{2} & y_{2} \\ 1 & x_{3} & y_{3} \end{matrix} |$ مساحت مثلث است.

با جایگذاری اینها در چندجمله‌ای خطی و بازچینی، شکل نهایی توابع شکل به دست می‌آید:

توابع شکل استخراج‌شده از میدان چندجمله‌ای خطی به شکل زیر است: $N_{i} (x, y) = \frac{1}{2 A} (a_{i} + b_{i} x + c_{i} y)$ که در آن A مساحت المان و a_i، b_i و c_i ضرایبی هستند که از مختصات گره‌ها تشکیل می‌شوند.

توجه کنید که N_i(x, y) معادله یک صفحه است که مقدار آن در گره i برابر 1 و در دو گره دیگر صفر است.

4. ماتریس B کرنش ثابت و سختی المان

مشتقات این توابع شکل عبارت‌اند از: $\frac{\partial N_{i}}{\partial x} = \frac{b_{i}}{2 A}, \frac{\partial N_{i}}{\partial y} = \frac{c_{i}}{2 A}$

یک پیامد حیاتی تابع شکل خطی این است که مشتقات آن ثابت هستند. از آنجایی که ماتریس [B] کاملاً از این مشتقات تشکیل شده است، ماتریس [B] برای این المان نیز ثابت است. از رابطه {ϵ} = [B]{q} نتیجه می‌شود که کرنش {ϵ} در سراسر المان یکنواخت است، به همین دلیل به آن مثلث کرنش ثابت (CST) می‌گویند.

ماتریس سختی المان K با انتگرال‌گیری روی دامنه المان Ω به دست می‌آید: $𝐊 = \int_{Ω} 𝐁^{𝖳} 𝐄 𝐁 d V$

برای المانی با ضخامت ثابت t، این انتگرال حجمی به یک انتگرال سطحی تبدیل می‌شود: $𝐊 = \int_{A} 𝐁^{𝖳} 𝐄 𝐁 t d A$

از آنجا که B، E و t همگی ثابت هستند، می‌توان آنها را از انتگرال خارج کرد که نتیجه آن مساحت A خواهد بود. این کار به عبارت نهایی برای ماتریس سختی المان می‌انجامد:

$𝐊 = (𝐁^{𝖳} 𝐄 𝐁) t A$

5. پیوستگی بین المانی و المان‌های مرتبه بالاتر

سوالی در مورد پیوستگی جابجایی مطرح می‌شود. می‌دانیم که جابجایی در گره‌ها پیوسته است، اما آیا در امتداد لبه‌های بین گره‌ها نیز پیوسته است؟

پاسخ مثبت است. از آنجایی که میدان جابجایی خطی است، تغییرات آن در امتداد هر لبه یک درونیابی خطی بین دو مقدار گره گوشه‌ای است. المان مجاوری که آن لبه را به اشتراک می‌گذارد، میدان جابجایی‌اش با همان درونیابی خطی توصیف می‌شود. این امر سازگاری جابجایی بین المان‌ها را تضمین می‌کند که شرطی به نام $C^{0}$ پیوستگی است.

شرط کامل بودن، که تضمین می‌کند المان قادر به نمایش حرکت جسم صلب باشد، برقرار است، همان‌طور که با خاصیت زیر نشان داده می‌شود:

$\sum N_{i} = 1$

دقت المان CST به دلیل فرض کرنش ثابت محدود است. برای مدل‌سازی دقیق‌تر مسائل با میدان‌های کرنش متغیر، از المان‌های مرتبه بالاتر استفاده می‌شود. این کار با افزودن گره‌ها به المان و استفاده از چندجمله‌ای‌های مرتبه بالاتر برای توابع شکل انجام می‌شود. به عنوان مثال، افزودن گره‌های میانی لبه امکان میدان جابجایی درجه دوم (مثلث 6 گره‌ای) را فراهم می‌کند که منجر به میدان کرنش با تغییرات خطی می‌شود.

این المان‌های مرتبه بالاتر همچنان تنها دارای پیوستگی $C^{0}$ هستند. دستیابی به پیوستگی بالاتر (مثلاً $C^{1}$ ، که مشتقات نیز پیوسته باشند) نیازمند فرمول‌بندی‌های المان پیچیده‌تری است.