المان خرپا

بیایید ماتریس سختی معروف را برای یک المان خرپای ساده دو گره‌ای (میله) استخراج کنیم. بدین معنی که دو درجه آزادی $q_{1}$ و $q_{2}$ را در دو انتها و نیروهای متناظر $P_{1}$ و $P_{2}$ در نظر می‌گیریم.

از تحلیل ماتریسی استاندارد:

تعادل نیروها ایجاب می‌کند که $P_{1} = - P_{2}$ . از مقاومت مصالح می‌دانیم $\frac{P_{1}}{A} = E \frac{q_{1} - q_{2}}{L}, \frac{P_{2}}{A} = E \frac{q_{2} - q_{1}}{L},$ معادلات فوق را می‌توان به صورت زیر نوشت $P_{1} = \frac{E A}{L} (q_{1} - q_{2}), P_{2} = \frac{E A}{L} (q_{2} - q_{1})$

از تحلیل سازه‌ای می‌دانیم که ماتریس سختی برای یک میله با سطح مقطع ثابت A، مدول یانگ E و طول L برابر است با: $𝐊 = \frac{E A}{L} [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]$

از اصول اولیه FEM: حال بیایید این را با استفاده از انتگرال FEM $𝐊 = \int 𝐁^{𝖳} 𝐄 𝐁 d V$ استخراج کنیم.

میدان جابه‌جایی: جابه‌جایی محوری u(x) در هر نقطه در طول میله را می‌توان با استفاده از توابع شکل خطی از جابه‌جایی‌های گره‌ای q₁ و q₂ درون‌یابی کرد. اگر $q_{1} = 1$ و $q_{2} = 0$ باشد، آنگاه $u (x) = 1 - \frac{x}{L}$ و اگر $q_{1} = 0$ و $q_{2} = 1$ باشد، آنگاه $u (x) = \frac{x}{L}$

با استفاده از اصل برهم‌نهی، به دست می‌آوریم $u (x) = (1 - \frac{x}{L}) q_{1} + (\frac{x}{L}) q_{2} = 𝐍 (x) {\begin{matrix} q_{1} \\ q_{2} \end{matrix}}$ که در آن $𝐍 = ⟨ 1 - \frac{x}{L} \frac{x}{L} ⟩$ ماتریس توابع شکل است.

میدان کرنش: کرنش محوری ε مشتق جابه‌جایی است. $ϵ = \frac{d u}{d x} = \frac{d ٔ 𝐍}{d x} 𝐪 = ⟨ - \frac{1}{L} \frac{1}{L} ⟩ {\begin{matrix} q_{1} \\ q_{2} \end{matrix}}$
ماتریس کرنش-جابه‌جایی (B): از موارد فوق می‌بینیم که برای این المان ساده، ماتریس B ثابت است: $𝐁 = [- \frac{1}{L} \frac{1}{L}]$
ماتریس ماده (E): برای تنش محوری یک‌بعدی، ماتریس ماده E به‌سادگی مقدار اسکالر مدول یانگ، *E*، است.
انتگرال‌گیری: اکنون انتگرال ماتریس سختی را روی حجم المان محاسبه می‌کنیم ( $d V = A d x$ ). $𝐊 = \int_{0}^{L} 𝐁^{T} E 𝐁 A d x$
از آنجایی که همه چیز داخل انتگرال نسبت به x ثابت است: $𝐊 = \frac{E A}{L^{2}} [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}] [x]_{0}^{L} = \frac{E A}{L} [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]$
این امر با موفقیت نتیجه شناخته شده را با استفاده از اصول بنیادی FEM بازتولید می‌کند.

تحلیل یک میله مخروطی

میله‌ای به طول L را در نظر بگیرید که در یک انتها گیردار است و در انتهای دیگر تحت بار نقطه‌ای P₁ قرار دارد. سطح مقطع آن به صورت خطی تغییر می‌کند: $A (x) = A_{0} (1 - \frac{x}{2 L}) .$

1. حل تحلیلی

می‌توانیم جابه‌جایی "دقیق" را با انتگرال‌گیری کرنش در طول میله بیابیم.

از آنجایی که نیروی گسترده وجود ندارد، نیروی داخلی در هر نقطه $A (x) E ϵ (x) = A (x) E \frac{d u}{d x}$ باید ثابت و برابر نیروی محوری $P$ باشد. بنابراین، $A (x) E \frac{d u}{d x} = P$ بنابراین $\int_{0}^{L} \frac{d u}{d x} d x = \int_{0}^{L} \frac{P}{E A (x)} d x$

اما $\int_{0}^{L} \underset{d u}{\underset{⏟}{\frac{d u}{d x} d x}} = u (L) - u (0) = q_{2} - q_{1}$ و $\int_{0}^{L} \frac{P}{E A (x)} d x = \frac{P}{E} \int_{0}^{L} \frac{1}{1 - \frac{x}{2 L}} d x = \frac{P}{E A_{0}} L \ln 4$ از آنجا که $P = P_{2} = - P_{1}$ ، ${\begin{matrix} P_{1} \\ P_{2} \end{matrix}} = \frac{E A_{0}}{L \ln 4} [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}] {\begin{matrix} q_{1} \\ q_{2} \end{matrix}}$ بنابراین ماتریس سختی دقیق برابر است با $𝐊 = 0.7213 \frac{E A_{0}}{L} [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]$

2. حل FEM (المان خطی منفرد)

اکنون همان میله را با یک المان محدود دو گره‌ای مدل می‌کنیم. از توابع شکل خطی مشابه مثال خرپا استفاده می‌کنیم، که بدین معنی است که ماتریس B ما دوباره $𝐁 = \frac{1}{L} [\begin{matrix} 1 & - 1 \end{matrix}]$

تفاوت اصلی این است که اکنون مساحت A(x) درون انتگرال سختی قرار دارد:

$𝐊 = \int_{0}^{L} 𝐁^{T} E 𝐁 A (x) d x = 𝐁^{T} E 𝐁 \int_{0}^{L} A (x) d x$

$\int_{0}^{L} A (x) d x = \int_{0}^{L} A_{0} (1 - \frac{x}{2 L}) d x = A_{0} {[x - \frac{x^{2}}{4 L}]}_{0}^{L} = 0.75 A_{0} L$

با جایگذاری این در عبارت K:

$𝐊 = (\frac{E}{L^{2}} [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]) (0.75 A_{0} L) = \frac{0.75 E A_{0}}{L} [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]$ این نتیجه یک تقریب است. فرض میدان جابه‌جایی خطی (u(x) = Nq) منجر به یک میدان کرنش ثابت (ε = Bq) می‌شود که نمی‌تواند کرنش متغیر واقعی در میله مخروطی را نمایش دهد. این ناهماهنگی منجر به خطا می‌شود (در این حالت، المان بیش از حد سخت است).

در این روش، به نظر می‌رسد که ما میله را با میله‌ای با سطح مقطع ثابت برابر با میانگین سطح مقطع $\frac{3}{4} A$ جایگزین کرده‌ایم. خطا تقریباً فقط 4% است.

3. بهبود دقت FEM: مدل دو المانی میله مخروطی

بیایید میله مخروطی را با دو المان خطی به طول L/2 مدل کنیم. می‌توانیم مساحت را برای هر المان ثابت تقریب بزنیم، با استفاده از مقدار در نقطه میانی آن.

المان 1 (x = 0 تا L/2): نقطه میانی در x=L/4. A₁ = A₀(1 - (L/4)/2L) = (7/8)A₀.
المان 2 (x = L/2 تا L): نقطه میانی در x=3L/4. A₂ = A₀(1 - (3L/4)/2L) = (5/8)A₀.

ماتریس‌های سختی عبارتند از: $𝐊^{(1)} = \frac{E A_{1}}{L / 2} {[\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]}_{1, 2} 𝐊^{(2)} = \frac{E A_{2}}{L / 2} {[\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]}_{2, 3}$

اسمبلی: این‌ها را با اضافه کردن سهم‌های هر درجه آزادی (گره) در یک ماتریس سختی سراسری 3x3 به نام K_global ترکیب می‌کنیم. $𝐊_{g l o b a l} = \frac{2 E}{L} [\begin{matrix} A_{1} & - A_{1} & 0 \\ - A_{1} & A_{1} + A_{2} & - A_{2} \\ 0 & - A_{2} & A_{2} \end{matrix}]$ $𝐊_{g l o b a l} = \frac{E A_{0}}{4} [\begin{matrix} 7 & - 7 & 0 \\ - 7 & 7 + 5 & - 5 \\ 0 & - 5 & 5 \end{matrix}]$

چگالش استاتیکی:

معمولاً ما فقط به رابطه بین درجات آزادی خارجی (گره‌های 1 و 3) علاقه‌مندیم و نه گره داخلی (2). چگالش استاتیکی یک تکنیک کاهش ماتریس است که برای حذف درجات آزادی داخلی به کار می‌رود. سیستم سراسری افراز شده به صورت زیر است: $[\begin{matrix} 𝐏_{e} \\ 𝐏_{i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 𝐊_{e e} & 𝐊_{e i} \\ 𝐊_{i e} & 𝐊_{i i} \end{matrix}] [\begin{matrix} 𝐪_{e} \\ 𝐪_{i} \end{matrix}]$ این را می‌توان به صورت زیر نوشت $𝐏_{e} = 𝐊_{e e} 𝐪_{e} + 𝐊_{e i} 𝐪_{i}$ $𝐏_{i} = 𝐊_{i e} 𝐪_{e} + 𝐊_{i i} 𝐪_{i}$ اگر هیچ نیرویی به گره‌های داخلی اعمال نشود (P_i = 0)، می‌توانیم q_i را حل کرده و آن را جایگذاری کنیم تا یک ماتریس سختی چگالش یافته K_condensed که فقط درجات آزادی خارجی را مرتبط می‌کند، بیابیم. $0 = 𝐊_{i e} 𝐪_{e} + 𝐊_{i i} 𝐪_{i}$ $𝐪_{i} = - 𝐊_{i i}^{- 1} 𝐊_{i e} 𝐪_{e}$

$𝐊_{c o n d e n s e d} = 𝐊_{e e} - 𝐊_{e i} 𝐊_{i i}^{- 1} 𝐊_{i e}$

با اعمال این بر مدل دو المانی ما $𝐊_{e e} = \frac{E A_{0}}{4} [\begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix}], 𝐊_{e i} = \frac{E A_{0}}{4} [\begin{matrix} - 7 \\ - 5 \end{matrix}]$ $𝐊_{e i} = \frac{E A_{0}}{4} [\begin{matrix} - 7 & - 5 \end{matrix}], 𝐊_{i i} = \frac{12 E A_{0}}{4}$ یک ماتریس 2x2 به دست می‌دهد $𝐊_{c o n d e n s e d} = 0.7229 \frac{E A_{0}}{L} [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]$

که نتیجه بسیار دقیق‌تری برای سختی میله فراهم می‌کند و خطا را به طور قابل توجهی کاهش می‌دهد (حدود 0.2%).

4.2. المان‌های مرتبه بالاتر

به جای استفاده از المان‌های ساده بیشتر، می‌توانیم از یک المان منفرد پیچیده‌تر استفاده کنیم. برای مثال، یک المان درجه دوم یک گره سوم در نقطه میانی خود دارد و از چندجمله‌ای‌های درجه دوم برای توابع شکل خود استفاده می‌کند.

برای یک المان میله سه گره‌ای (گره‌ها در x=0, L, L/2)، میدان جابه‌جایی به صورت زیر است: $u (x) = ⟨ \begin{matrix} N_{1} (x) & N_{2} (x) & N_{3} (x) \end{matrix} ⟩ {\begin{matrix} q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3} \end{matrix}}$ که در آن N₁, N₂, N₃ توابع درجه دوم هستند: $N_{1}^{(2)} (x) = \frac{(x - L / 2) (x - L)}{L^{2} / 2},$ $N_{2}^{(2)} (x) = - \frac{x (x - L)}{L^{2} / 4},$ $N_{3}^{(2)} (x) = \frac{x (x - L / 2)}{L^{2} / 2} .$

این منجر به یک میدان کرنش ε(x) می‌شود که به صورت خطی تغییر می‌کند، که تقریب بسیار بهتری برای میله مخروطی است. $ϵ = \frac{d u}{d x} = \underset{𝐁}{\underset{⏟}{⟨ \begin{matrix} \frac{d N_{1}}{d x} & \frac{d N_{2}}{d x} & \frac{d N_{3}}{d x} \end{matrix} ⟩}} {\begin{matrix} q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3} \end{matrix}}$ محاسبه ماتریس سختی 3x3

و سپس با استفاده از چگالش استاتیکی برای به دست آوردن ماتریس سختی خارجی 2x2، به یک حل بسیار دقیق منجر می‌شود (خطای حدود 0.12% در مثال): $𝐊_{2 \times 2}^{cond} = \frac{13}{18} \frac{E A_{0}}{L} [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}] \approx 0.7222 \frac{E A_{0}}{L} [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}] .$

اگر توابع شکل را خطی در نظر بگیریم

آنگاه نتیجه با حالتی که دو المان انتخاب کردیم، یکسان خواهد بود.