المان‌های تیر

المان‌های تیر اجزای اساسی در تحلیل سازه‌ها هستند که برای مدل‌سازی اعضایی طراحی شده‌اند که بارها را عمدتاً از طریق خمش تحمل می‌کنند. برخلاف المان‌های خرپا که فقط نیروهای محوری را تحمل می‌کنند، المان‌های تیر می‌توانند بارهای عرضی را تحمل کنند که باعث ایجاد نیروهای برشی داخلی و لنگرهای خمشی می‌شوند.

1. مبانی نظری: نظریه تیر اویلر-برنولی

فرمول‌بندی یک المان تیر استاندارد «کلاسیک» بر اساس نظریه تیر اویلر-برنولی است. این نظریه روابط سینماتیکی اساسی را ارائه می‌دهد که تغییر شکل المان را به کرنش‌های داخلی آن مرتبط می‌کند. این نظریه بر چندین فرض کلیدی بنا شده است:

مقاطع مسطح، مسطح و عمود باقی می‌مانند: این حیاتی‌ترین فرض است. بیان می‌کند که یک مقطع که در ابتدا صاف و عمود بر محور مرکزی تیر است، پس از تغییر شکل تیر نیز صاف و عمود بر آن محور باقی خواهد ماند. پیامد مهم این فرض این است که تغییر شکل برشی ناچیز در نظر گرفته می‌شود.
جابجایی‌ها و دوران‌های کوچک: خیزها و شیب‌های تیر کوچک فرض می‌شوند. این امکان تقریب‌های خطی را فراهم می‌کند که ریاضیات را به طور قابل توجهی ساده می‌کند.
ماده الاستیک خطی: ماده تیر همسانگرد فرض می‌شود و از قانون هوک پیروی می‌کند، به این معنی که تنش مستقیماً با کرنش متناسب است.

از این فرضیات، مهم‌ترین معادله برای فرمول‌بندی خود را استخراج می‌کنیم. این معادله خمش فیزیکی تیر را به کرنش داخلی تجربه‌شده توسط الیاف ماده‌اش مرتبط می‌کند.

برای درک این موضوع، تیر را در حال خم شدن به یک قوس صاف تصور کنید. در هر نقطه‌ای در طول آن، می‌توانیم این قوس را با یک دایره «بهترین انطباق» تقریب بزنیم. شعاع این دایره شعاع انحنا نامیده می‌شود و با ρ (رو) نمایش داده می‌شود.

یک خمش بسیار ملایم و جزئی متناظر با دایره‌ای با شعاع بسیار بزرگ است، بنابراین ρ بزرگ است.
یک خمش تیز و محکم متناظر با دایره‌ای با شعاع کوچک است، بنابراین ρ کوچک است.

اکنون، کرنش در یک الیاف در فاصله y از محور خنثی تیر (که در امتداد مرکز این دایره قرار دارد) را در نظر بگیرید. بر اساس هندسه قوس، کرنش محوری (ε_xx) به صورت زیر داده می‌شود: $ϵ_{x x} = - \frac{y}{ρ}$

این رابطه ساده و قدرتمند نشان می‌دهد که کرنش در محور خنثی (y=0) صفر است و با دور شدن از آن به صورت خطی افزایش می‌یابد.

برای راحتی ریاضیاتی در مکانیک سازه، معمولاً با کمیتی به نام انحنا کار می‌شود که با κ (کاپا) نمایش داده می‌شود (نگاه کنید به اینجا). انحنا به سادگی معکوس شعاع انحنا است: $κ = \frac{1}{ρ}$ این بدان معناست که یک خمش ملایم (ρ بزرگ) انحنای کوچکی دارد، در حالی که یک خمش تیز (ρ کوچک) انحنای بزرگی دارد. با استفاده از این تعریف، معادله کرنش ما به صورت زیر درمی‌آید: $ϵ_{x x} = - y κ$

گام نهایی حیاتی، مرتبط کردن این انحنای فیزیکی به تابع جابجایی عرضی تیر، v(x) است. برای خیزهای کوچک مفروض در نظریه اویلر-برنولی، یک تقریب ریاضی مستقیم وجود دارد: $κ = \frac{\frac{d^{2} v}{d x^{2}}}{{[1 + {(\frac{d v}{d x})}^{2}]}^{\frac{3}{2}}} \approx \frac{d^{2} v}{d x^{2}}$

ترکیب این روابط، معادله نهایی و اساسی را به ما می‌دهد که کرنش داخلی را به مشتق دوم میدان جابجایی مرتبط می‌کند. این معادله‌ای است که اساس استخراج المان محدود ما را تشکیل می‌دهد:

$ϵ_{x x} (x, y) = - y \frac{d^{2} v}{d x^{2}}$

2. تعریف المان و درجات آزادی (DOFs)

برای ثبت رفتار خمشی، یک المان تیر دو گرهی تعریف می‌کنیم. هر گره برای توصیف وضعیت خود به دو درجه آزادی (DOF) نیاز دارد:

یک جابجایی عرضی، v.
یک دوران، θ.

برای زوایای کوچک، دوران برابر با شیب منحنی جابجایی است، بنابراین θ = dv/dx.

این بدان معناست که یک المان تیر منفرد مجموعاً چهار درجه آزادی دارد. اینها در بردار جابجایی گرهی تعمیم‌یافته المان، q، جمع‌آوری می‌شوند:

3. میدان جابجایی و نیاز به توابع شکل هرمیتی

هسته روش المان محدود تقریب میدان جابجایی پیوسته v(x) با استفاده از تعداد محدودی پارامتر گرهی است. یک تابع خطی ساده ناکافی است زیرا مشتق دوم آن همیشه صفر است، که دلالت بر انحنای صفر و در نتیجه کرنش خمشی صفر دارد.

ساده‌ترین چندجمله‌ای که می‌تواند یک انحنای غیرصفر و متغیر را نمایش دهد یک چندجمله‌ای درجه سه است که چهار ضریب مجهول (a₀ تا a₃) دارد. این به راحتی با چهار درجه آزادی گرهی ما تطابق دارد. $v (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3}$

در حالی که می‌توان با ضرایب a_i کار کرد، اما بسیار مؤثرتر است که مسئله را با استفاده از توابع شکل فرمول‌بندی کنیم که مستقیماً جابجایی v(x) را به درجات آزادی گرهی در بردار q مرتبط می‌کنند. توابع شکل خاصی که برای این منظور استفاده می‌شوند چندجمله‌ای‌های هرمیتی نامیده می‌شوند.

برخلاف توابع شکل لاگرانژ ساده‌تر که فقط مقادیر را درون‌یابی می‌کنند، توابع شکل هرمیتی هم مقادیر و هم مشتقات اول آنها را در گره‌ها درون‌یابی می‌کنند. این دقیقاً همان چیزی است که برای مدیریت هم‌زمان جابجایی (v) و دوران (θ = dv/dx) نیاز داریم. مهم‌ترین پیامد این است که چندجمله‌ای‌های هرمیتی پیوستگی C¹ بین المان‌های مجاور را تضمین می‌کنند، به طوری که شیب در سراسر گره‌ها پیوسته بوده و شکل تغییرشکل‌یافته هموار است.

4. استخراج گام‌به‌گام توابع شکل هرمیتی

چهار تابع شکل N₁(x) تا N₄(x) را به گونه‌ای استخراج خواهیم کرد که:

هر

N_{i} (x)

با فرض

v (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3}

و حل برای چهار ضریب به‌دست می‌آید به طوری که

q_{i} = 1

و تمامی درجات آزادی دیگر (

q_{j} = 0, j \neq i

) صفر باشند.

بیایید N₁(x) را با یافتن یک چندجمله‌ای درجه سه منحصربه‌فرد که متناظر با جابجایی واحد در گره 1 (v₁=1) است، استخراج کنیم در حالی که سایر درجات آزادی گرهی صفر هستند.

گام 1: تعریف شرایط گرهی برای N₁(x) تابع باید موارد زیر را ارضا کند: 1. N₁(0) = 1 (جابجایی واحد در گره 1) 2. N₁'(0) = 0 (شیب صفر در گره 1) 3. N₁(L) = 0 (جابجایی صفر در گره 2) 4. N₁'(L) = 0 (شیب صفر در گره 2)

گام 2: اعمال شرایط به یک چندجمله‌ای درجه سه عمومی فرض کنید N₁(x) = a x³ + b x² + c x + d. مشتق آن N₁'(x) = 3a x² + 2b x + c است.

اعمال چهار شرط: 1. N₁(0) = 1 => a(0) + b(0) + c(0) + d = 1 => d = 1 2. N₁'(0) = 0 => 3a(0) + 2b(0) + c = 0 => c = 0 3. N₁(L) = 0 => aL³ + bL² + 0*L + 1 = 0 => aL³ + bL² = -1 4. N₁'(L) = 0 => 3aL² + 2bL + 0 = 0 => 3aL² + 2bL = 0

گام 3: حل برای ضرایب a و b از شرط (4)، به دست می‌آوریم b = - (3/2)aL. این را در شرط (3) جایگذاری کنید: aL³ + (-3/2 * aL)L² = -1 aL³ - 3/2 * aL³ = -1 -1/2 * aL³ = -1 => a = 2/L³

اکنون b را بیابید: b = -3/2 * (2/L³) * L => b = -3/L²

گام 4: تشکیل تابع شکل N₁(x) ضرایب a, b, c, d را دوباره در فرم چندجمله‌ای جایگذاری کنید:

$N_{1} (x) = (\frac{2}{L^{3}}) x^{3} - (\frac{3}{L^{2}}) x^{2} + 1$

با پیروی از رویه مشابه برای سه حالت واحد دیگر، هر چهار تابع شکل هرمیتی را استخراج می‌کنیم.

5. استخراج ماتریس سختی المان

گام نهایی استفاده از این توابع شکل برای استخراج ماتریس سختی المان از انتگرال اساسی است: $𝐊 = \int_{Ω} 𝐁^{𝖳} 𝐄 𝐁 d V$

1. تعریف ماتریس B: کرنش برابر است با $ϵ_{x x} = - y \frac{d^{2} v}{d x^{2}}$ و $v = ⟨ N_{1} N_{2} N_{3} N_{4} ⟩ 𝐪$ . انحنا d²v/dx² به صورت زیر است: بنابراین ماتریس کرنش-جابجایی B برابر است با:

2. تنظیم انتگرال سختی: دیفرانسیل حجم dV = dA dx است. برای حالت تنش یک‌بعدی، ماتریس الاستیسیته E فقط مدول یانگ، E، است. $𝐊 = \int_{0}^{L} \int_{A} (𝐁)_{4 \times 1}^{𝖳} E (𝐁)_{1 \times 4} d A d x$ با جایگذاری عبارت B: جملاتی که به مساحت (A) بستگی ندارند می‌توانند به خارج از انتگرال داخلی منتقل شوند:

3. نتیجه نهایی: تشخیص می‌دهیم که عبارت $\int_{A} y^{2} d A$ تعریف ممان دوم سطح، I است. این انتگرال را به شدت ساده می‌کند: $𝐊 = \int_{0}^{L} {[\frac{d^{2} 𝐍}{d x^{2}}]}^{𝖳} E I [\frac{d^{2} 𝐍}{d x^{2}}] d x$ با محاسبه مشتقات دوم چهار تابع شکل هرمیتی، تشکیل ضرب‌های ماتریسی و انتگرال‌گیری نسبت به x از 0 تا L، در نهایت ماتریس سختی 4×4 تیر اویلر-برنولی کلاسیک به دست می‌آید:

* گاهی اوقات، یک زیرنویس e (به صورت $𝐊_{e}$ ) قرار می‌دهیم تا نشان دهیم که ماتریس فوق ماتریس سختی یک المان است.

تیر با جهت‌گیری دلخواه و ماتریس تبدیل

اگر 6 درجه آزادی در نظر بگیریم (با در نظر گرفتن المان تیر-ستون) که تیر می‌تواند هم کشیده و هم فشرده شود، آنگاه ماتریس سختی المان به صورت زیر است: $𝐊_{e}^{local} = [\begin{matrix} \frac{E A}{L} & 0 & 0 & - \frac{E A}{L} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{12 E I}{L^{3}} & \frac{6 E I}{L^{2}} & 0 & - \frac{12 E I}{L^{3}} & \frac{6 E I}{L^{2}} \\ 0 & \frac{6 E I}{L^{2}} & \frac{4 E I}{L} & 0 & - \frac{6 E I}{L^{2}} & \frac{2 E I}{L} \\ - \frac{E A}{L} & 0 & 0 & \frac{E A}{L} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{12 E I}{L^{3}} & - \frac{6 E I}{L^{2}} & 0 & \frac{12 E I}{L^{3}} & - \frac{6 E I}{L^{2}} \\ 0 & \frac{6 E I}{L^{2}} & \frac{2 E I}{L} & 0 & - \frac{6 E I}{L^{2}} & \frac{4 E I}{L} \end{matrix}]$

حال بیایید تیری را در نظر بگیریم که با محور $x$ سراسری زاویه $α$ می‌سازد. در این حالت، باید سیستم مختصات سراسری (x, y) را به اندازه زاویه $α$ بچرخانیم تا به سیستم محلی (x', y') برسیم.

تبدیل درجات آزادی $u$ و $v$ همانند تبدیل u و v برای یک المان خرپا است. از آنجا که درجه آزادی $θ$ در هر دو سیستم مختصات یکسان است، ماتریس تبدیل به صورت زیر درمی‌آید

$𝐓 = [\begin{matrix} c & s & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - s & c & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c & s & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - s & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$ که در آن $c = \cos α, s = \sin α .$ ماتریس سختی در سیستم مختصات سراسری به صورت زیر درمی‌آید $𝐊_{e}^{global} = 𝐓^{𝖳} 𝐊_{e}^{local} 𝐓$