انرژی کرنش

انرژی داخلی و قانون اول ترمودینامیک

هنگامی که نیروهای خارجی به یک جسم تغییرشکل‌پذیر اعمال می‌شوند، این نیروها روی جسم کار انجام می‌دهند. طبق قانون اول ترمودینامیک، کار انجام‌شده روی سیستم توسط نیروهای خارجی، $\delta W$، و گرمایی که به سیستم وارد می‌شود، $\delta Q$، برابر با تغییر انرژی داخلی آن، $\delta U$، و انرژی جنبشی، $\delta K$ است: $$\delta W+\delta Q=\delta U+\delta K.$$

تحت شرایط بی‌دررو ($\delta Q=0$) و تعادل شبه‌استاتیکی ($\delta K=0$)، این رابطه به شکل زیر ساده می‌شود: $$\delta W=\delta U$$ بنابراین، کار خارجی بی‌نهایت‌کوچک انجام‌شده روی جسم به‌طور کامل به‌صورت انرژی داخلی ذخیره می‌شود.

کار مجازی نیروهای خارجی

فرض کنید میدان جابجایی در جسم به‌صورت $$𝐮=(u,v,w)$$ و $$\delta 𝐮=(\delta u,\delta v,\delta w)$$ جابجایی‌های مجازی بی‌نهایت‌کوچک باشند، که تغییرات کوچک دلخواهی در میدان جابجایی سازگار با شرایط مرزی هستند.

کرنش‌های مجازی بی‌نهایت‌کوچک متناظر از گرادیان‌های جابجایی مجازی به‌دست می‌آیند: $$\delta {ϵ}_{xx}=\frac{\partial (\delta u)}{\partial x},\delta {ϵ}_{yy}=\frac{\partial (\delta v)}{\partial y},\delta {ϵ}_{zz}=\frac{\partial (\delta w)}{\partial z}$$ و کرنش‌های برشی: $$\delta {\gamma }_{xy}=\frac{\partial (\delta u)}{\partial y}+\frac{\partial (\delta v)}{\partial x},\text{و غیره.}$$

کار خارجی انجام‌شده توسط نیروهای خارجی از دو بخش تشکیل شده است: ۱. کار کشش‌های سطحی، $\delta W_S$، و
۲. کار نیروهای حجمی، $\delta W_B$.

بنابراین، $$\delta W=\delta W_S+\delta W_B$$

کار نیروهای حجمی با رابطه زیر داده می‌شود $$\boxed{\delta W_B={\int }_V\rho 𝐛\cdot \delta 𝐮dV}$$ که در آن $𝐛=[b_x,b_y,b_z]$ نیروی حجمی بر واحد جرم است.

کار کشش سطحی به‌صورت زیر داده می‌شود $$\boxed{\delta W_S={\int }_s𝐭\mathbf{\cdot }\widehat{𝐧}dS}$$

برای یک المان سطح با بردار نرمال بیرونی
$$𝐧=[n_x{n}_y{n}_z],$$ بردار کشش به‌صورت زیر تعریف می‌شود: $$𝐭=𝐧\cdot 𝝈$$ که $𝝈$ ماتریس تنش کوشی است:

و جابجایی مجازی بردار ستونی زیر است: $$\delta 𝐮=\left[\begin{array}{c}\delta u\\ \delta v\\ \delta w\end{array}\right].$$

بنابراین، کار مجازی روی سطح برابر است با: $$\boxed{\delta W_S={\int }_S𝐭\cdot \delta 𝐮dS={\int }_S(𝐧𝝈)\delta 𝐮dS}$$

با بسط صریح این جمله مطابق استخراج شما:

بردار $$𝐅=𝝈\delta 𝐮=\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}\delta u+{\sigma }_{xy}\delta v+{\sigma }_{xz}\delta w\\ {\sigma }_{yx}\delta u+{\sigma }_{yy}\delta v+{\sigma }_{yz}\delta w\\ {\sigma }_{zx}\delta u+{\sigma }_{zy}\delta v+{\sigma }_{zz}\delta w\end{array}\right],$$ را تعریف کنید، سپس $$\boxed{𝐭\cdot \delta 𝐮=n_x{F}_x+n_y{F}_y+n_z{F}_z}$$ این به‌وضوح نشان می‌دهد که عبارت $𝐭\cdot \delta 𝐮$ به‌عنوان ضرب نقطه‌ای بردار نرمال $𝐧$ در بردار $𝐅=𝝈\delta 𝐮$ عمل می‌کند.

با استفاده از قضیه دیورژانس

قضیه دیورژانس را برای تبدیل انتگرال سطحی به انتگرال حجمی به‌کار ببرید: $$\boxed{{\int }_S(F_x{n}_x+F_y{n}_y+F_z{n}_z)dS={\int }_V(\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z})dV}$$

بنابراین، $$\delta W_S={\int }_V(\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z})dV$$

از آنجا که $$\frac{\partial {\sigma }_{xi}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yi}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zi}}{\partial z}+\rho b_i=0,$$ نتیجه می‌گیریم که $$\delta W={\int }_V({\sigma }_{xx}\delta {ϵ}_{xx}+{\sigma }_{yy}\delta {ϵ}_{yy}+{\sigma }_{zz}\delta {ϵ}_{zz}+{\sigma }_{xy}\delta {\gamma }_{xy}+{\sigma }_{xz}\delta {\gamma }_{xz}+{\sigma }_{yz}\delta {\gamma }_{yz})dV.$$ 

چگالی انرژی کرنشی

از قانون اول ترمودینامیک تحت شرایط بی‌دررو و استاتیکی ($\delta W=\delta U$) نتیجه می‌شود که $$\delta U={\int }_V({\sigma }_{xx}\delta {ϵ}_{xx}+{\sigma }_{yy}\delta {ϵ}_{yy}+{\sigma }_{zz}\delta {ϵ}_{zz}+{\sigma }_{xy}\delta {\gamma }_{xy}+{\sigma }_{xz}\delta {\gamma }_{xz}+{\sigma }_{yz}\delta {\gamma }_{yz})dV.$$

تغییر انرژی داخلی (ناشی از نیروهای مکانیکی) در واحد حجم، چگالی انرژی کرنشی نامیده می‌شود و با $U_0$ نشان داده می‌شود: $$\delta U={\int }_V\delta U_{0}dV.$$

با مقایسه دو معادله آخر، به دست می‌آوریم $$\delta U_0={\sigma }_{xx}\delta {ϵ}_{xx}+{\sigma }_{yy}\delta {ϵ}_{yy}+{\sigma }_{zz}\delta {ϵ}_{zz}+{\sigma }_{xy}\delta {\gamma }_{xy}+{\sigma }_{xz}\delta {\gamma }_{xz}+{\sigma }_{yz}\delta {\gamma }_{yz}.$$

معادله فوق را می‌توان به فرم دیفرانسیلی به‌صورت زیر بیان کرد $$\boxed{d{U}_0={\sigma }_{xx}d{ϵ}_{xx}+{\sigma }_{yy}d{ϵ}_{yy}+{\sigma }_{zz}d{ϵ}_{zz}+{\sigma }_{xy}d{\gamma }_{xy}+{\sigma }_{xz}d{\gamma }_{xz}+{\sigma }_{yz}d{\gamma }_{yz}.}$$

توجه کنید که جملات شامل کرنش‌های برشی را می‌توان به‌صورت مجموع دو مؤلفه متناظر با کرنش‌های برشی تانسوری ${ϵ}_{ij}$ نوشت.
به‌عنوان مثال: $${\sigma }_{xy}{\gamma }_{xy}={\sigma }_{xy}{ϵ}_{xy}+{\sigma }_{yx}{ϵ}_{yx}.$$

بنابراین،

از عبارت فوق نتیجه می‌شود که

منابع

1. Boresi, A. P., Schmidt, R. J., & Sidebottom, O. M. (1993). Advanced mechanics of materials (ویرایش ششم). John Wiley & Sons.
2. Malvern, L. E. (1969). Introduction to the mechanics of a continuous medium. Prentice Hall.
3. Sokolnikoff, I. S. (1956). Mathematical theory of elasticity (ویرایش دوم). McGraw-Hill.