کرنش صفحه‌ای

مفروضات، صلبیت و معادلات حاکم

در مکانیک جامدات، کاهش دیگری به حالت دوبعدی، کرنش صفحه‌ای است. این روش برای مدل‌سازی اجسامی به کار می‌رود که در یک جهت (جهت محوری) نسبت به دو بعد دیگر بسیار طویل هستند و بارگذاری و هندسه در امتداد این محور طویل تغییر نمی‌کند. یک مثال معمول، سد طویل، تونل یا دیوار حائل تحت بارگذاری یکنواخت است.

صفحه مقطع سازه را صفحه $xy$ و جهت طویل (محوری) را محور $z$ در نظر بگیرید.

۱. فرمول‌بندی کلاسیک کرنش صفحه‌ای

مفروضات اولیه: مفروضه اصلی کرنش صفحه‌ای، سینماتیکی (مربوط به تغییر شکل) است. برای یک جسم بسیار طویل که در انتهاها محدود شده و در امتداد طول خود به طور یکنواخت بارگذاری شده باشد، فرض می‌شود که هر مقطع عرضی به طور یکسان تغییر شکل می‌دهد و در جهت محوری طویل جابجایی وجود ندارد.

از نظر ریاضی، این موارد حکم می‌کند: $$w(x,y,z)=0$$ $$u=u(x,y),v=v(x,y)$$ جابجایی‌های درون صفحه‌ای، u و v، فقط توابعی از x و y هستند.

با توجه به این مفروضات سینماتیکی، سه مؤلفه کرنش بلافاصله صفر می‌شوند: $${ϵ}_{zz}=\frac{\partial w}{\partial z}=0$$ $${\gamma }_{xz}=\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}=0$$ $${\gamma }_{yz}=\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}=0$$

تنش محوری (σ_zz): نتیجه مهم شرط کرنش صفحه‌ای این است که اگرچه کرنش محوری (${ϵ}_{zz}$) صفر است، تنش محوری (${\sigma }_{zz}$) صفر نیست. تمایل ماده به انقباض یا انبساط در جهت z به دلیل اثر پواسون ناشی از تنش‌های درون صفحه‌ای، به طور فیزیکی محدود می‌شود. این محدودیت یک تنش واکنشی، ${\sigma }_{zz}$، ایجاد می‌کند.

از قانون هوک تعمیم‌یافته برای ${ϵ}_{zz}$: $${ϵ}_{zz}=\frac{1}{E}[{\sigma }_{zz}-\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})]=0$$ با حل کردن برای ${\sigma }_{zz}$ داریم: $${\sigma }_{zz}=\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})$$ این نشان می‌دهد که یک تنش محوری برای برقراری شرط کرنش محوری صفر ایجاد می‌شود.

سازگاری ریاضی: بر خلاف تنش صفحه‌ای، فرمول‌بندی کلاسیک کرنش صفحه‌ای از نظر سینماتیکی سازگار است. مفروضات مربوط به جابجایی مستقیماً به حالت کرنش تعریف شده منجر می‌شوند بدون اینکه تناقض داخلی با معادلات الاستیسیته سه‌بعدی ایجاد کنند. این فرمول‌بندی یک تقریب مانند تنش صفحه‌ای نیست؛ بلکه یک راه‌حل دقیق برای یک وضعیت فیزیکی ایده‌آل (جسم بی‌نهایت طویل) را نشان می‌دهد.

۲. کرنش صفحه‌ای تعمیم‌یافته

هرچند کرنش صفحه‌ای کلاسیک از نظر ریاضی سازگار است، مفروضه w = 0 آن (و در نتیجه ε_zz = 0) بسیار محدودکننده است. به عنوان مثال، نمی‌تواند یک استوانه طویل با انتهاهای آزاد را که تحت یک تغییر دمای یکنواخت قرار دارد مدل‌سازی کند، زیرا جسم باید در امتداد محور z منبسط یا منقبض شود.

کرنش صفحه‌ای تعمیم‌یافته یک تعمیم است که این محدودیت سخت را کاهش می‌دهد. این اجازه می‌دهد که یک کشش محوری یکنواخت و/یا خمش جسم رخ دهد. ساده‌ترین شکل فرض می‌کند که کرنش محوری ثابت است: $${ϵ}_{zz}={ϵ}_0(\text{یک ثابت})$$ این متناظر با یک میدان جابجایی است که در آن u و v همچنان فقط توابعی از x و y هستند، اما جابجایی محوری w می‌تواند یک تابع خطی از z باشد. این فرمول‌بندی می‌تواند مسائل شامل نیروهای محوری خالص یا انبساط حرارتی یکنواخت را در حالی که معادلات حاکم بر مسئله دوبعدی باقی می‌ماند، مدیریت کند.

۳. خلاصه معادلات و مجهولات (حالت کلاسیک)

برای مسئله کلاسیک کرنش صفحه‌ای (${ϵ}_{zz}=0$)، سیستم از نظر ریاضی معین است.

مجهولات (مجموعاً: ۸): * جابجایی‌ها (۲): $u(x,y),v(x,y)$ * کرنش‌ها (۳): ${ϵ}_{xx},{ϵ}_{yy},{\gamma }_{xy}$ * تنش‌ها (۳): ${\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\sigma }_{xy}$ (توجه: ${\sigma }_{zz}$ نیز یک مجهول است اما مستقیماً توسط ${\sigma }_{xx}$ و ${\sigma }_{yy}$ تعیین می‌شود، بنابراین در حل دوبعدی یک مجهول مستقل نیست).

معادلات حاکم (مجموعاً: ۸):

1. معادلات تعادل (۲): مشابه تنش صفحه‌ای. $$\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial y}=0$$ $$\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}=0$$
2. معادلات سینماتیکی (کرنش-جابجایی) (۳): مشابه تنش صفحه‌ای. $${ϵ}_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x}$$ $${ϵ}_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y}$$ $${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}$$
3. معادلات ساختاری (قانون هوک برای کرنش صفحه‌ای) (۳): این روابط با تنش صفحه‌ای متفاوت هستند زیرا اثر ${\sigma }_{zz}$ غیرصفر را در بر می‌گیرند. اغلب با استفاده از ثابت‌های الاستیک مؤثر نوشته می‌شوند. روابط تنش-کرنش عبارتند از: $${\sigma }_{xx}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu ){ϵ}_{xx}+\nu {ϵ}_{yy}]$$ $${\sigma }_{yy}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu ){ϵ}_{yy}+\nu {ϵ}_{xx}]$$ $${\sigma }_{xy}=G{\gamma }_{xy}(\text{که در آن }G=\frac{E}{2(1+\nu )})$$

با ۸ مجهول و ۸ معادله مستقل، سیستم بسته و قابل حل است و یک توصیف کامل از حالت تنش و کرنش دوبعدی در مقطع عرضی ارائه می‌دهد.

تنش صفحه‌ای در مقابل کرنش صفحه‌ای

1. تنش صفحه‌ای: این شرط برای اجسام نازک مانند صفحات بارگذاری شده در صفحه آن‌ها فرض می‌شود. مفروضه اصلی این است که مؤلفه تنش عمود بر صفحه در سراسر ضخامت صفر است: ${\sigma }_z={\tau }_{xz}={\tau }_{yz}=0$. روابط تنش-کرنش عبارتند از: $${ϵ}_x=\frac{1}{E}({\sigma }_x-\nu {\sigma }_y),{ϵ}_y=\frac{1}{E}({\sigma }_y-\nu {\sigma }_x),$$$${\gamma }_{xy}=\frac{1}{G}{\tau }_{xy}$$
2. کرنش صفحه‌ای: این شرط برای اجسام بسیار طویل یا ضخیم که هندسه و بارگذاری در امتداد طول تغییر نمی‌کند اعمال می‌شود. فرض می‌شود که کرنش در جهت طویل صفر است: ${ϵ}_z={\gamma }_{xz}={\gamma }_{yz}=0$. این محدودیت به این معناست که یک تنش ${\sigma }_z$ می‌تواند ایجاد شود. از آنجا که $${ϵ}_z=0=\frac{1}{E}({\sigma }_z-\nu {\sigma }_x-\nu {\sigma }_y)$$ بدست می‌آوریم$${\sigma }_z=\nu ({\sigma }_x+{\sigma }_y)$$ بنابراین، روابط تنش-کرنش درون صفحه‌ای به صورت زیر در می‌آیند: $${ϵ}_x=\frac{1-{\nu }^2}{E}({\sigma }_x-\frac{\nu }{1-\nu }{\sigma }_y),{ϵ}_y=\frac{1-{\nu }^2}{E}({\sigma }_y-\frac{\nu }{1-\nu }{\sigma }_x),$$$${\gamma }_{xy}=\frac{1}{G}{\tau }_{xy}$$ که در آن $G={\displaystyle \frac{E}{2(1+\nu )}}$ مدول برشی است.

ما می‌توانیم هر دو حالت را به صورت زیر بنویسیم که در آن و مدول یانگ مؤثر و نسبت پواسون مؤثر هستند که در جدول زیر داده شده‌اند.