تنش صفحه‌ای

تنش صفحه‌ای یک ساده‌سازی در الاستیسیته است که برای مدل‌سازی اجسامی به کار می‌رود که در آن‌ها

1. یکی از ابعاد (ضخامت) بسیار کوچک‌تر از دو بعد دیگر است، مانند صفحات یا پوسته‌های نازک
2. نیروها فقط در آن صفحه عمل می‌کنند.

صفحه سازه را صفحه $xy$ در نظر بگیرید، و جهت ضخامت را محور $z$.

1. فرضیات اولیه

فرمول‌بندی تنش صفحه‌ای شامل فرضیات هسته‌ای زیر در مورد وضعیت تنش است:

1. نیروهای کششی روی سطوح (در $z=\pm h/2$) صفر هستند.
2. از آنجایی که صفحه نازک است، فرض می‌شود که فضایی برای ایجاد تنش‌های داخلی قابل توجه در جهت $z$ و همچنین تنش‌های برشی مرتبط با وجه $z$ وجود ندارد.

از نظر ریاضی، این امر بیان می‌کند: $${\sigma }_{zz}=0,{\sigma }_{xz}=0,{\sigma }_{yz}=0$$ در نتیجه، مولفه‌های تنش غیر صفر (${\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\sigma }_{xy}$) فقط تابعی از $x$ و $y$ فرض می‌شوند و در سراسر ضخامت یکنواخت هستند.

2. ناسازگاری ریاضی

در حالی که ساده‌سازی تنش صفحه‌ای برای قطعات مهندسی نازک بسیار مفید و دقیق است، اما هنگامی که از طریق تئوری کامل الاستیسیته سه‌بعدی به‌طور دقیق تحلیل شود، دارای یک ناسازگاری نظری است. این ناسازگاری از رابطه بین تنش، کرنش و سازگاری جابه‌جایی ناشی می‌شود.

اثر پواسون و کرنش خارج از صفحه

حتی اگر تنش خارج از صفحه ${\sigma }_{zz}$ صفر فرض شود، کرنش خارج از صفحه ${ϵ}_{zz}$ به دلیل اثر پواسون صفر نیست. با استفاده از قانون هوک تعمیم‌یافته:

$${ϵ}_{zz}=\frac{1}{E}[{\sigma }_{zz}-\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})]$$

از آنجایی که ${\sigma }_{zz}=0$، این عبارت به صورت زیر ساده می‌شود: $${ϵ}_{zz}=-\frac{\nu }{E}({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})$$

از آنجایی که ${\sigma }_{xx}$ و ${\sigma }_{yy}$ با $x$ و $y$ تغییر می‌کنند، ${ϵ}_{zz}$ نیز در سراسر صفحه ورق تغییر می‌کند. این بدان معناست که ورق به‌طور غیر یکنواخت ضخامتش تغییر می‌کند.

تضاد با سازگاری

از روابط کرنش-جابه‌جایی، ${ϵ}_{zz}={\displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}}$ (که در آن $w$ جابه‌جایی در جهت $z$ است). انتگرال‌گیری ${ϵ}_{zz}$ نسبت به $z$ (با فرض تقارن حول صفحه میانی $z=0$) نتیجه می‌دهد: $$w=-\frac{\nu }{E}({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})z$$ از آنجایی که $({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})$ تابعی از $x$ و $y$ است، در نتیجه $w$ تابعی از $x,y,$ و $z$ است. بنابراین، مشتقات ${\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}}$ و ${\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}}$ عموماً غیر صفر هستند.

اکنون کرنش‌های برشی عرضی را در نظر بگیرید که بر اساس فرض تنش باید صفر باشند (${\sigma }_{xz}={\sigma }_{yz}=0$): $${\gamma }_{xz}=\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}=0$$ $${\gamma }_{yz}=\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}=0$$

اگر ${\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}}$ و ${\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}}$ غیر صفر باشند، آن‌گاه برای اینکه این کرنش‌های برشی صفر بمانند، جابه‌جایی‌های درون‌صفحه‌ای $u$ و $v$ باید به $z$ وابسته باشند.

نتیجه‌گیری در مورد ناسازگاری

این فرض که تنش‌های درون‌صفحه‌ای مستقل از $z$ هستند، با الزام سازگاری کرنش تناقض دارد. یک وضعیت تنش با ${\sigma }_{zz}={\sigma }_{xz}={\sigma }_{yz}=0$ در همه جا عموماً امکان‌پذیر نیست، مگر اینکه $({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})$ نسبت به $x$ و $y$ ثابت یا خطی باشد. بنابراین، تنش صفحه‌ای به عنوان یک راه‌حل تقریبی در نظر گرفته می‌شود. در واقعیت، تنش‌های فرض شده به عنوان مقادیر میانگین در سراسر ضخامت ورق در نظر گرفته می‌شوند.

3. معادلات و مجهولات

علیرغم ناسازگاری نظری در مورد جهت $z$، مسئله تنش صفحه‌ای دوبعدی از نظر ریاضی معین است. ما فقط بر متغیرهای موجود در صفحه $xy$ تمرکز می‌کنیم.

مجهولات (مجموع: 8)

برای حل کامل مسئله میدان دوبعدی، باید 8 متغیر میدانی (که همگی تابعی از $x$ و $y$ هستند) را تعیین کنیم:

• جابه‌جایی‌ها (2): $u(x,y),v(x,y)$
• کرنش‌ها (3): ${ϵ}_{xx},{ϵ}_{yy},{\gamma }_{xy}$
• تنش‌ها (3): ${\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\sigma }_{xy}$

معادلات حاکم (مجموع: 8)

برای حل این 8 مجهول، از 8 معادله اساسی الاستیسیته استفاده می‌کنیم (با صرف‌نظر از نیروهای جسمی برای سادگی):

1. معادلات تعادل (2): برگرفته از قانون دوم نیوتن (استاتیک). $$\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial y}=0$$ $$\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}=0$$
2. معادلات سینماتیکی (کرنش-جابه‌جایی) (3): بر اساس هندسه تغییر شکل. $${ϵ}_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x}$$ $${ϵ}_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y}$$ $${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}$$
3. معادلات ساختاری (قانون هوک برای تنش صفحه‌ای) (3): ارتباط تنش به کرنش. به تغییر $E$ به دلیل شرط ${\sigma }_{zz}=0$ توجه کنید. $${ϵ}_{xx}=\frac{1}{E}({\sigma }_{xx}-\nu {\sigma }_{yy})$$ $${ϵ}_{yy}=\frac{1}{E}({\sigma }_{yy}-\nu {\sigma }_{xx})$$ $${\gamma }_{xy}=\frac{1}{G}{\sigma }_{xy}(\text{where }G=\frac{E}{2(1+\nu )})$$

از آنجایی که 8 مجهول و 8 معادله مستقل وجود دارد، سیستم بسته و قابل حل است، به شرطی که شرایط مرزی مناسب اعمال شود.