مؤلفه‌های تنش

بی‌نهایت صفحه می‌توانند از نقطه $P$ عبور کنند، هر کدام با نرمال مخصوص خود $\hat{𝐧}$ و بردار کشش متناظر $𝐭^{(\hat{𝐧})}$ . مجموعه این جفت‌ها وضعیت تنش را در $P$ تعریف می‌کند. در بخش بعدی نشان خواهیم داد که وضعیت تنش را می‌توان به‌طور کامل با دانستن بردارهای کشش روی تنها سه صفحه متقابلاً عمود تعیین کرد. یعنی، اگر مؤلفه‌های بردار کشش را روی سه صفحه متقابلاً عمود بدانیم، می‌توانیم بردار کشش را روی هر صفحه دلخواهی تعیین کنیم.

فرض کنید نرمال‌های یکه این سه صفحه بردارهای پایه ${\hat{𝐞}}_{1}$ ، ${\hat{𝐞}}_{2}$ و ${\hat{𝐞}}_{3}$ باشند.^[1] بردار کشش روی صفحه عمود بر محور x₁ برابر $𝐭^{({\hat{𝐞}}_{1})}$ است. برای سادگی، $𝐭^{({\hat{𝐞}}_{i})}$ را با $𝐭^{(i)}$ نشان می‌دهیم. از آنجا که هر $𝐭^{(i)}$ یک بردار است، دارای سه مؤلفه در پایه است:

مؤلفه jام بردار $𝐭^{(i)}$ را با $σ_{i j}$ نشان می‌دهیم. این نُه مقدار اسکالر مؤلفه‌های تانسور تنش کوشی هستند. معمولاً آن‌ها را به‌صورت یک ماتریس مرتب می‌کنند:

[𝝈] = [\begin{matrix} σ_{11} & σ_{12} & σ_{13} \\ σ_{21} & σ_{22} & σ_{23} \\ σ_{31} & σ_{32} & σ_{33} \end{matrix}]

اگر نرمال یک صفحه ${\hat{𝐞}}_{1}$ باشد، مؤلفه $t_{1}^{(1)} {\hat{𝐞}}_{1} = σ_{11} {\hat{𝐞}}_{1}$ عمود بر سطح است، در حالی که $t_{2}^{(1)} {\hat{𝐞}}_{2} = σ_{12} {\hat{𝐞}}_{2}$ و $t_{3}^{(1)} {\hat{𝐞}}_{3} = σ_{13} {\hat{𝐞}}_{3}$ مؤلفه‌های برشی هستند.

به‌طور کلی، مؤلفه‌های قطری $σ_{i i}$ ( $σ_{11}$ ، $σ_{22}$ ، $σ_{33}$ ) تنش‌های نرمال نامیده می‌شوند، در حالی که مؤلفه‌های غیر قطری $σ_{i j}$ که $i \neq j$ است ( $σ_{12}$ ، $σ_{13}$ و غیره) تنش‌های برشی نامیده می‌شوند.

نمادگذاری‌های دیگر

نمادگذاری‌های رایج دیگر برای ماتریس تانسور تنش عبارت‌اند از:

[\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{x y} & σ_{x z} \\ σ_{y x} & σ_{y y} & σ_{y z} \\ σ_{z x} & σ_{z y} & σ_{z z} \end{matrix}], [\begin{matrix} τ_{x x} & τ_{x y} & τ_{x z} \\ τ_{y x} & τ_{y y} & τ_{y z} \\ τ_{z x} & τ_{z y} & τ_{z z} \end{matrix}],

و نمادگذاری مهندسی که از $σ$ برای تنش‌های نرمال و $τ$ برای تنش‌های برشی استفاده می‌کند:

[\begin{matrix} σ_{x} & τ_{x y} & τ_{x z} \\ τ_{y x} & σ_{y} & τ_{y z} \\ τ_{z x} & τ_{z y} & σ_{z} \end{matrix}]

واحدهای تنش

در سیستم بین‌المللی یا SI:

نیرو با واحد نیوتن (N) اندازه‌گیری می‌شود
مساحت با واحد متر مربع (m $^{2}$ ) اندازه‌گیری می‌شود
از آنجا که تنش نیرو تقسیم بر مساحت است، تنش با واحد N/m $^{2}$ اندازه‌گیری می‌شود. این واحد پاسکال نامیده می‌شود و با Pa نشان داده می‌شود:
$1 Pa = 1 {N/m}^{2}$
از آنجا که یک پاسکال بسیار کوچک است، تنش اغلب بر حسب
- kPa = کیلو (10 $^{3}$ ) پاسکال،
- MPa = مگا (10 $^{6}$ ) پاسکال
- GPa = گیگا (10 $^{9}$ ) پاسکال

در سیستم مرسوم ایالات متحده:

نیرو بر حسب پوند (lb) اندازه‌گیری می‌شود
مساحت بر حسب اینچ مربع (in $^{2}$ ) اندازه‌گیری می‌شود
تنش بر حسب پوند بر اینچ مربع (psi) یا کیلوپوند بر اینچ مربع (ksi) بیان می‌شود $1 ksi = 10^{3} psi = 10^{3} {lb/in}^{2} .$

قرارداد علامت

یک وجه زمانی مثبت تعریف می‌شود که بردار نرمال بیرونی آن با یک محور مختصات مثبت هم‌راستا باشد، و منفی اگر نرمال بیرونی آن با یک محور مختصات منفی هم‌راستا باشد.

یک مؤلفه تنش زمانی مثبت در نظر گرفته می‌شود که در جهت مثبت مختصات روی یک وجه مثبت عمل کند، یا در جهت منفی روی یک وجه منفی عمل کند. یک نتیجه کلیدی این قرارداد این است که تنش‌های نرمال کششی مثبت و تنش‌های فشاری منفی هستند.

یا $\hat{𝐢}$ ، $\hat{𝐣}$ و $\hat{𝐤}$ . ↩