تنش صفحهای: تبدیل تنش در دو بعد

تنش مسطح

در بسیاری از مسائل مهندسی، تحلیل سه‌بعدی کامل تنش ضروری نیست. یک مثال ساده و بسیار متداول از چنین حالاتی، هنگامی است که با یک سیستم تنش مسطح سروکار داریم. می‌گوییم یک جسم در تنش مسطح قرار دارد وقتی که تنش‌های روی یک صفحه، فقط تنش‌های عمودی باشند. این صفحه معمولاً عمود بر محور z در نظر گرفته می‌شود. در آن حالت، تنش‌های برشی شامل جهت z صفر می‌شوند: σ_zx=σ_zy=0 و تانسور تنش به صورت زیر است: $[\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{x y} & 0 \\ σ_{y x} & σ_{y y} & 0 \\ 0 & 0 & σ_{z z} \end{matrix}]$ یک حالت خاص از تنش مسطح، وقتی است که علاوه بر تنش‌های برشی، تنش عمودی در جهت z، یعنی σ_zz، نیز صفر شود. در این صورت با مسائل تنش صفحه‌ای سروکار داریم. یعنی در یک مسئله تنش صفحه‌ای، تانسور تنش به این صورت است: $[\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{x y} & 0 \\ σ_{y x} & σ_{y y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$ در این حالت، σ_xx، σ_yy و σ_xy در راستای ضخامت جسم تغییر نمی‌کنند. یعنی فقط تابعی از x و y هستند و به z وابسته نیستند. ¹

دسته مهم دیگری از مسائل تنش مسطح، مسائل کرنش صفحه‌ای هستند که بعداً بحث خواهند شد.

در ادامه، اغلب از نمادهای مهندسی برای مؤلفه‌های تنش استفاده می‌کنیم، یعنی $[\begin{matrix} σ_{x} & τ_{x y} \\ τ_{x y} & σ_{y} \end{matrix}]$

تبدیل تنش

فرض کنید مؤلفه‌های تنش در مختصات x-y برای یک مسئله تنش صفحه‌ای داده شده‌اند. اکنون می‌خواهیم مؤلفه‌های تنش را در دستگاه مختصات جدیدی بیابیم که از دوران محورهای x و y به اندازه زاویه $θ$ حاصل شده است.

اگر طول صفحه مایل $d l$ باشد، آن‌گاه طول اضلاع المان عمود بر محورهای x و y به ترتیب $d l \cos θ$ و $d l \sin θ$ است.

فرض کنید $t_{x}$ و $t_{y}$ مؤلفه‌های بردار تنش وارد بر صفحه مایل باشند. آن‌گاه از مجموع نیروها در راستای محورهای x و y نتیجه می‌شود که $ضخامت$ که در آن $h$ ضخامت المان است. پس از ساده‌سازی، به دست می‌آوریم

همین نتیجه را می‌توان با توجه به این نکته به دست آورد که $𝐭$ بردار تنش روی صفحه‌ای است که بردار یکه نرمال آن $[\begin{matrix} \cos θ & \sin θ \end{matrix}]$ است: مؤلفه‌های $t_{x}$ و $t_{y}$ در جهت عبارت‌اند از $t_{x} \cos θ$ و $t_{y} \sin θ$ . مؤلفه‌های آن‌ها در جهت y' (که مؤلفه‌های برشی روی صفحه مایل هستند) عبارت‌اند از $- t_{x} \sin θ$ و $t_{y} \cos θ$ . بنابراین، با جایگذاری معادلاتی که برای $t_{x}$ و $t_{y}$ به دست آوردیم در معادلات فوق، داریم تنش را می‌توان از فرمول با جایگذاری $θ + π / 2$ به جای $θ$ در آن فرمول یافت، زیرا بر عمود است. و از آنجا که $\sin (θ + π / 2) = \cos θ$ و $\cos (θ + π / 2) = - \sin θ$ ، به دست می‌آوریم به طور خلاصه:

از آنجا که $\sin^{2} θ = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 θ), \cos^{2} θ = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 θ),$

می‌توانیم معادلات (5) را به صورت زیر بنویسیم توجه می‌کنیم که جمله‌های دوم در فرمول‌های و و جمله‌های سوم در آن‌ها یکسان اما با علامت‌های مخالف هستند. بنابراین، این بدان معناست که مجموع تنش‌های عمودی روی دو صفحه عمود بر هم ناوردا است. یعنی در هر دستگاه مختصات جدید، مجموع تنش‌های عمودی یکسان است.

همچنین توجه می‌کنیم که بنابراین، از حساب دیفرانسیل می‌دانیم که ماکزیمم و مینیمم تنش عمودی وقتی به دست می‌آید که تنش برشی روی آن صفحه صفر باشد . دو جهتی که با مقادیر خاص $θ$ حاصل از معادله فوق داده می‌شود، جهت‌های اصلی نامیده می‌شوند و تنش‌های عمودی متناظر (که ماکزیمم و مینیمم مقادیر تنش عمودی روی هر صفحه‌ای هستند) تنش‌های اصلی نام دارند.

از آنجا که $\tan (2 θ + π) = \tan (2 θ)$ ، اگر $θ_{p}$ یک جواب معادله (9) باشد، دیگری $θ_{p} + π / 2$ است. بنابراین، جهت‌های اصلی عمود بر هم هستند (یا به طور معادل، دو صفحه‌ای که تنش برشی ندارند، عمودند).

اگر بخواهیم تنش‌های اصلی را بیابیم، باید $\sin 2 θ$ و $\cos 2 θ$ را در صورت معلوم بودن $\tan 2 θ$ از رابطه (9) به دست آوریم و نتایج را در معادلات (6) جایگذاری کنیم.

از آنجا که $\cos^{2} α = \frac{1}{1 + \tan^{2} α}, \sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ داریم جایگذاری این مقادیر در (6) تنش‌های اصلی (که ماکزیمم و مینیمم مقادیر تنش عمودی هستند) را به دست می‌دهد: برای یافتن حداکثر تنش برشی، باید را حل کنیم:

مقایسه کنید $θ_{s}$ را با زاویه $θ_{p}$ که در آن تنش‌های اصلی رخ می‌دهند: بنابراین می‌بینیم که tan⁡ 2θ_s منفی عکس tan ⁡2θ_p است، به این معنا که 2θ_s و 2θ_p بر هم عمودند. در نتیجه، جهت‌های تنش برشی ماکزیمم و تنش اصلی ۴۵ درجه اختلاف دارند.

با جایگذاری مجدد در معادله تبدیل تنش برشی، حداکثر تنش برشی به دست می‌آید:

دایره مور تنش—دو بعد

اُ مور یک روش نموداری برای نمایش حالت تنش در یک نقطه روی هر صفحه مایل معرفی کرد. این رویکرد نموداری ما را قادر می‌سازد تا

به سرعت تنش‌های اصلی ( $σ_{1}$ ، $σ_{2}$ ) و جهت‌های آن‌ها را تعیین کنیم.
حداکثر تنش برشی درون صفحه ( $τ_{max}$ ) و جهت آن را بیابیم.
مؤلفه‌های تنش روی هر صفحه دلخواه را بدون محاسبات طولانی حل کنیم.

معادلات مربوط به و را در نظر بگیرید. بیایید با کم کردن تنش عمودی متوسط $σ_{avg} = \frac{σ_{x} + σ_{y}}{2}$ از ، جملات مثلثاتی را جدا کنیم:

اگر هر دو معادله را به توان دو برسانیم، به رابطه زیر می‌رسیم:

با مقایسه معادله فوق با معادله یک دایره به شعاع $R$ و مرکز $(h, k)$ : $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = R^{2},$ متوجه می‌شویم که (14) معادله یک دایره با مرکز $(0, σ_{avg}) = (0, \frac{σ_{x} + σ_{y}}{2})$ و شعاع $R = \sqrt{{(\frac{σ_{x} - σ_{y}}{2})}^{2} + τ_{x y}^{2}}$ است.

روش استفاده از دایره مور

وقتی دایره رسم شد، همه حالت‌های تنش ممکن برای هر زاویه‌ای روی محیط آن نمایش داده می‌شود.

تنش‌های اصلی (σ₁ و σ₂):
- این‌ها نقاطی هستند که دایره محور افقی σ را قطع می‌کند. در این نقاط، تنش برشی صفر است.
- σ₁ (تنش اصلی ماکزیمم) راست‌ترین نقطه است: $σ_{1} = C + R$ .
- σ₂ (تنش اصلی مینیمم) چپ‌ترین نقطه است: $σ_{2} = C - R$ .
حداکثر تنش برشی درون صفحه (τ_max):
- این نقطه با بالاترین و پایین‌ترین نقاط روی دایره نمایش داده می‌شود.
- مقدار آن برابر با شعاع است: τ_max = R.
- تنش عمودی در نقاط تنش برشی ماکزیمم، تنش متوسط، یعنی σ_avg، است.
تنش‌های روی یک صفحه دلخواه:
- برای یافتن تنش‌های روی صفحه‌ای که به اندازه زاویه θ در خلاف جهت عقربه‌های ساعت از چهره x روی المان فیزیکی چرخیده است، باید 2θ در خلاف جهت عقربه‌های ساعت از خط مرجع CX روی دایره مور بچرخانید.
- مختصات این نقطه جدید روی دایره، حالت تنش جدید (σ_x’, τ_x’y’) را به شما می‌دهند.

قانون کلیدی: یک دوران به اندازه θ روی المان تنش فیزیکی، متناظر با دورانی به اندازه 2θ در همان جهت روی دایره مور است.

این بیان که تنش‌های درون صفحه مستقل از مختصه z هستند، نتیجه مستقیم صفر بودن تنش‌های برشی σ_xz و σ_yz است. این امر را می‌توان با ترکیب معادلات تعادل با قوانین تنش-کرنش ماده اثبات کرد. با این حال، برای اینکه این مدل از نظر فیزیکی معتبر باشد، بعد z جسم باید نسبت به ابعاد دیگر آن بسیار کوچک باشد.↩︎