تقارن تانسور تنش

مکعبی مستطیلی با ابعاد $\mathrm{\Delta }x$، $\mathrm{\Delta }y$ و $\mathrm{\Delta }z$ را در نظر بگیرید.

از قانون دوم نیوتن برای حرکت دورانی نتیجه می‌شود که $$\sum M_z=I_{zz}{\alpha }_z$$ که در آن $M_z$ گشتاور برآیند حول محور z، $I_{zz}$ ممان اینرسی (یا جرم دورانی) حول محور $z$ و ${\alpha }_z$ شتاب زاویه‌ای است.

از ایستایی به یاد داریم که ممان اینرسی یک بلوک مستطیلی حول محور $z$ مرکزوار برابر است با $$I_{zz}=\frac{1}{12}m[(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2]$$ که در آن $m$ جرم المان است. با بیان $m$ بر حسب چگالی، می‌توان نوشت $$m=\rho \mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z$$ که در آن $\rho$ چگالی جرمی ماده در آن نقطه است.

مولفه‌های تنشی که به $M_z$ کمک می‌کنند تنش‌های برشی در صفحه $xy$ هستند. نیروهای حجمی به گشتاور کمکی نمی‌کنند. بنابراین، گشتاور کل را می‌توان به صورت بیان کرد. با برابر قرار دادن این با عبارت اینرسی، به دست می‌آوریم با چشم‌پوشی از جملات کوچک مرتبه بالاتر، داریم $$0={\sigma }_{xy}\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z-{\sigma }_{yx}\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z,$$ که به
$${\sigma }_{xy}={\sigma }_{yz}$$ منجر می‌شود.

با اعمال منطق مشابه برای دوران حول محورهای x و y، می‌توانیم ثابت کنیم که ${\sigma }_{yz}={\sigma }_{zy}$ و ${\sigma }_{xz}={\sigma }_{zx}$. این بدان معناست که به طور کلی $${\sigma }_{ij}={\sigma }_{ji}$$ و تانسور تنش همواره متقارن است و برای مشخص کردن آن تنها به ۶ مولفه مستقل (به جای ۹) نیاز داریم. این نتیجه مستقل از آن است که جسم در حال سکون، حرکت یکنواخت یا شتاب‌دار باشد. ¹ این نتیجه با نام قانون دوم حرکت کوشی شناخته می‌شود.