پایه‌های حاصل‌ضرب

پس از یک کلمه دیگر از توضیح مقدماتی، آماده خواهیم بود تا تعریف رسمی ضرب‌های تانسوری را مورد بحث قرار دهیم. از نظر فنی ترجیح داده می‌شود که به طور غیرمستقیم به $𝒰 \otimes 𝒱$ دست یابیم، با تعریف آن به عنوان دوگان فضای دیگر؛ ما از بازتابندگی به طور ضمنی برای به دست آوردن خود $𝒰 \otimes 𝒱$ استفاده خواهیم کرد. از آنجا که بازتابندگی را تنها برای فضاهای با بعد متناهی اثبات کرده‌ایم، تعریف را به چنین فضاهایی محدود خواهیم کرد.

تعریف ۱. ضرب تانسوری $𝒰 \otimes 𝒱$ دو فضای برداری با بعد متناهی $𝒰$ و $𝒱$ (روی یک میدان یکسان) عبارت است از دوگان فضای برداری تمام فرم‌های دوخطی روی $𝒰 \oplus 𝒱$ . برای هر جفت از بردارهای $x$ و $y$ ، که $x$ در $𝒰$ و $y$ در $𝒱$ باشد، ضرب تانسوری $z = x \otimes y$ عنصری از $𝒰 \otimes 𝒱$ است که توسط $z (w) = w (x, y)$ برای هر فرم دوخطی $w$ تعریف می‌شود.

این تعریف یکی از سریع‌ترین رویکردهای دقیق به این نظریه است، اما بعداً منجر به برخی پیچیدگی‌های فنی ناخوشایند می‌شود. با این حال، صرف نظر از معایب آن، مشاهده می‌کنیم که بدیهتاً دارای دو ویژگی مطلوب است: یعنی واضح است که بعد ضرب‌پذیر است (به بخش: فرم‌های دوخطی ، قضیه ۲، و بخش: پایه‌های دوگان ، قضیه ۲ مراجعه کنید)، و واضح است که $x \otimes y$ به طور خطی به هر یک از عوامل خود بستگی دارد.

تعریف ممکن دیگر (و به حق محبوب) برای ضرب تانسوری، از طریق ضرب‌های صوری است. طبق آن تعریف، $𝒰 \otimes 𝒱$ با در نظر گرفتن تمام نمادهایی به فرم $\sum_{i} α_{i} (x_{i} \otimes y_{i})$ و درون مجموعه چنین نمادهایی، با انجام شناسایی‌های مورد نیاز توسط خطی بودن عملیات برداری و دوخطی بودن ضرب تانسوری به دست می‌آید. (برای سخت‌گیران: در این تعریف $x \otimes y$ صرفاً نشان‌دهنده جفت مرتب $x$ و $y$ است؛ علامت ضرب صرفاً یادآوری‌کننده چیزی است که باید انتظار داشت.) هیچ‌یک از تعاریف ساده نیستند؛ ما تعریفی را که ارائه دادیم اتخاذ کردیم زیرا به نظر می‌رسید بیشتر با روحیه بقیه کتاب همخوانی دارد. عیب اصلی تعریف ما این است که به راحتی به مفیدترین تعمیم‌های فضاهای برداری با بعد متناهی، یعنی به پیمانه‌ها و فضاهای با بعد نامتناهی، گسترش نمی‌یابد.

در حال حاضر تنها یک قضیه درباره ضرب‌های تانسوری اثبات می‌کنیم. این قضیه توجیه بیشتری برای اصطلاح‌شناسی ضرب است و اتفاقاً، بیان دقیق‌تری از این ادعاست که بعد ضرب‌پذیر است.

قضیه ۱. اگر $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ و $𝒴 = {y_{1}, \dots, y_{m}}$ به ترتیب پایه‌هایی در $𝒰$ و $𝒱$ باشند، آنگاه مجموعه $𝒵$ از بردارهای $z_{i j} = x_{i} \otimes y_{j}$ ( $i = 1, \dots, n$ ؛ $j = 1, \dots, m$ ) یک پایه در $𝒰 \otimes 𝒱$ است.

اثبات. فرض کنید $w_{p q}$ فرم دوخطی روی $𝒰 \oplus 𝒱$ باشد به طوری که $w_{p q} (x_{i}, y_{j}) = δ_{i p} δ_{j q}$ ( $p = 1, \dots, n$ ؛ $j = 1, \dots, m$ )؛ وجود چنین فرم‌های دوخطی، و این واقعیت که آن‌ها یک پایه برای تمام فرم‌های دوخطی تشکیل می‌دهند، از بخش: فرم‌های دوخطی ، قضیه ۲ نتیجه می‌شود. فرض کنید پایه دوگان در $𝒰 \otimes 𝒱$ باشد، به طوری که . اگر $w = \sum_{p} \sum_{q} α_{p q} w_{p q}$ یک فرم دوخطی دلخواه روی $𝒰 \oplus 𝒱$ باشد، آنگاه نتیجه از این واقعیت ناشی می‌شود که بردارهای واقعاً یک پایه از $𝒰 \otimes 𝒱$ تشکیل می‌دهند. ◻

تمرین‌ها

تمرین ۱. اگر $x = (1, 1)$ و $y = (1, 1, 1)$ به ترتیب بردارهایی در $ℝ^{2}$ و $ℝ^{3}$ باشند، مختصات $x \otimes y$ را در $ℝ^{2} \otimes ℝ^{3}$ نسبت به پایه ضرب ${x_{i} \otimes y_{j}}$ بیابید، که در آن $x_{i} = (δ_{i 1}, δ_{i 2})$ و $y_{j} = (δ_{1 j}, δ_{2 j}, δ_{3 j})$ است.

تمرین ۲. فرض کنید $𝒫_{n, m}$ فضای تمام چندجمله‌ای‌های $z$ با ضرایب مختلط، در دو متغیر $s$ و $t$ باشد، به طوری که یا $z = 0$ باشد یا درجه $z (s, t)$ برای هر $s$ ثابت $\leq m - 1$ و برای هر $t$ ثابت $\leq n - 1$ باشد. ثابت کنید یک ایزومورفیسم بین $𝒫_{n} \otimes 𝒫_{m}$ و $𝒫_{n, m}$ وجود دارد به طوری که عنصر $z$ از $𝒫_{n, m}$ که متناظر با $x \otimes y$ ( $x$ در $𝒫_{n}$ ، $y$ در $𝒫_{m}$ ) است، توسط $z (s, t) = x (s) y (t)$ داده می‌شود.

تمرین ۳. تشکیل ضرب‌های تانسوری تا چه حد جابجایی و شرکت‌پذیر است؟ در مورد قانون توزیع‌پذیری $𝒰 \otimes (𝒱 \oplus 𝒲) = (𝒰 \otimes 𝒱) \oplus (𝒰 \otimes 𝒲)$ چطور؟

تمرین ۴. اگر $𝒱$ یک فضای برداری با بعد متناهی باشد، و اگر $x$ و $y$ در $𝒱$ باشند، آیا درست است که $x \otimes y = y \otimes x$ ؟

تمرین ۵.

فرض کنید $𝒱$ یک فضای برداری حقیقی با بعد متناهی است، و فرض کنید $𝒰$ مجموعه $ℂ$ از تمام اعداد مختلط باشد که به عنوان یک فضای برداری حقیقی (دو بعدی) در نظر گرفته شده است. ضرب تانسوری $𝒱^{+} = 𝒰 \otimes 𝒱$ را تشکیل دهید. ثابت کنید راهی برای تعریف ضرب اعداد مختلط با عناصر $𝒱^{+}$ وجود دارد به طوری که $α (x \otimes y) = (α x) \otimes y$ هرگاه $α$ و $x$ در $ℂ$ و $y$ در $𝒱$ باشند.
ثابت کنید که نسبت به جمع برداری، و نسبت به ضرب اسکالر مختلط همانطور که در (الف) تعریف شد، فضای $𝒱^{+}$ یک فضای برداری مختلط است.
بعد فضای برداری مختلط $𝒱^{+}$ را بر حسب بعد فضای برداری حقیقی $𝒱$ بیابید.
ثابت کنید که فضای برداری $𝒱$ با یک زیرفضا در $𝒱^{+}$ (هنگامی که دومی به عنوان یک فضای برداری حقیقی در نظر گرفته شود) ایزومورف است.

نتیجه اخلاقی این تمرین این است که نه تنها هر فضای برداری مختلط می‌تواند به عنوان یک فضای برداری حقیقی در نظر گرفته شود، بلکه از یک نظر خاص، عکس آن نیز صادق است. فضای برداری مختلط $𝒰^{+}$ را مختلط‌سازی $𝒱$ می‌نامند.

تمرین ۶. اگر $𝒰$ و $𝒱$ فضاهای برداری با بعد متناهی باشند، فضای دوگان چیست؟