هم‌ریختی

به عنوان کاربردی از مفهوم پایه خطی، یا دستگاه مختصات، اکنون به وعده ضمنی پیشین خود عمل خواهیم کرد و نشان خواهیم داد که هر فضای برداری با بعد متناهی روی یک میدان $𝔽$ اساساً با (به زبان فنی، هم‌ریخت است با) یک ${𝔽}^n$ یکسان است.

به آسانی می‌توان دید که فضاهای برداری با بعد متناهی هم‌ریخت، دارای بعد یکسانی هستند؛ به ازای هر پایه در یک فضا، یک پایه در فضای دیگر متناظر است. بنابراین بعد یک ناوردای هم‌ریختی است؛ اکنون نشان خواهیم داد که این تنها ناوردای هم‌ریختی است، به این معنا که هر دو فضای برداری با بعد متناهی یکسان (البته روی یک میدان) هم‌ریخت هستند. از آنجا که هم‌ریختی $𝒰$ و $𝒱$ از یک سو، و $𝒱$ و $𝒲$ از سوی دیگر، ایجاب می‌کند که $𝒰$ و $𝒲$ هم‌ریخت باشند، کافی است قضیه زیر را اثبات کنیم.

ممکن است وسوسه شویم بگوییم که از این به بعد تلاش برای حفظ ظاهری از کلیت با صحبت کردن درباره فضای برداری $n$ -بعدی کلی، کار احمقانه‌ای خواهد بود، زیرا می‌دانیم که از دیدگاه مطالعه مسائل خطی، فضاهای برداری هم‌ریخت غیرقابل تمایز هستند، و در نتیجه، ممکن است به همان خوبی همیشه ${𝔽}^n$ را مطالعه کنیم. اما یک نکته وجود دارد. مهم‌ترین ویژگی‌های بردارها و فضاهای برداری آن‌هایی هستند که مستقل از دستگاه‌های مختصات هستند، یا به عبارت دیگر، آن‌هایی که تحت هم‌ریختی‌ها ناوردا هستند. با این حال، تناظر میان $𝒱$ و ${𝔽}^n$ با انتخاب یک دستگاه مختصات برقرار شد؛ اگر همیشه ${𝔽}^n$ را مطالعه می‌کردیم، همیشه به آن دستگاه مختصات خاص مقید می‌شدیم، یا иначе همیشه با این کار طاقت‌فرسا مواجه می‌شدیم که نشان دهیم تعاریف و قضایای ما مستقل از دستگاه مختصاتی هستند که اتفاقاً در آن بیان شده‌اند. (این دوراهی وحشتناک بعداً، در معدود مواردی که مجبور خواهیم بود برای ارائه یک تعریف از یک دستگاه مختصات خاص استفاده کنیم، روشن خواهد شد.) بر این اساس، در بخش عمده‌ای از این کتاب، قضیه‌ای را که به تازگی اثبات شد نادیده خواهیم گرفت، و با فضاهای برداری $n$ -بعدی به عنوان موجودیت‌های محترم و مستقل از هر پایه‌ای رفتار خواهیم کرد. علاوه بر دلایلی که به تازگی ذکر شد، دلیل دیگری نیز برای این کار وجود دارد: بسیاری از مثال‌های خاص فضاهای برداری، مانند ${𝒫}_n$ ، اگر آن‌ها را به ${ℂ}^n$ تبدیل کنیم و فقط از مختصات صحبت کنیم، بخش زیادی از محتوای شهودی خود را از دست خواهند داد. در مطالعه فضاهای برداری، مانند ${𝒫}_n$ ، و رابطه آن‌ها با سایر فضاهای برداری، باید بتوانیم با سهولت یکسان با آن‌ها در دستگاه‌های مختصات مختلف کار کنیم، یا، و این اساساً همان چیز است، باید بتوانیم بدون استفاده از هیچ دستگاه مختصاتی با آن‌ها کار کنیم.

تمرین‌ها